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高校数学[総目次]

数学B 第1章 ベクトル

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3. ベクトルの成分 [無料]  
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7. 平面ベクトルの応用 [会員]  
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7.平面ベクトルの応用

7.1 線分上の点の存在範囲

 $\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}$ のとき,

Pが線分AB上 $\iff 0\leqq t\leqq 1$

 よって, \[\begin{align*} &\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+t(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a})\ \ (0\leqq t\leqq 1)\\[5pt] \iff & \overrightarrow{\mathstrut p}=(1-t)\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\ \ (0\leqq t\leqq 1)\\[5pt] \iff & \overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\ \ (s+t=1,0\leqq t\leqq1)\\[5pt] \iff & \overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\ \ (s+t=1,s\geqq0,t\geqq0) \end{align*}\]

まとめ\begin{align*} \mbox{点P が線分AB上 }\iff &\overrightarrow{\rm{OP}}=s\overrightarrow{\rm{OA}}+t\overrightarrow{\rm{OB}} \\[5pt] &(s+t=1,\ s\geqq 0,\ t\geqq 0) \end{align*}

7.2 三角形の内部を表すベクトル

 $\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=s\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+t\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}$ (ただし,$s+t=k$,$s> 0$,$t> 0$)で表される点Pを考えよう.

\[\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=\frac sk\cdot k\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\frac tk\cdot k\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\] \[\left(\frac sk+\frac tk=1,\ \frac sk>0,\ \frac tk>0\right)\]

であるから,$k\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AB\,’}$,$k\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AC\,’}$ となる点 $\rm B\,’,\ C\,’$ をとると,Pは線分 $\rm B\,’C\,’$ 上にある.(ただし線分の両端の2点を除く.)
 そこで今,$0 < k < 1$ の範囲で $k$ を動かすと,Pは△ABCの内部にあることがわかる.

例題 △OABにおいて,$\overrightarrow{\rm{OP}}\!=\!s\overrightarrow{\rm{OA}}\!+\!t\overrightarrow{\rm{OB}}\ (s+t\leqq\dfrac12,\ s\geqq 0,\ t\geqq 0)$を満たす点Pは,どのような図形上にあるか.

 $0<k\leqq\dfrac12$ なる $k$ を1つ固定し,$s+t=k$,$s\geqq 0$,$t\geqq 0$ で考える.
 $\dfrac sk+\dfrac tk=1$ より,

\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut\rm OP}&=s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}\\[5pt] &=\frac sk\cdot k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+\frac tk\cdot k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}\\[5pt] &=s’\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA\,’}+t’\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB\,’}\\[5pt] &(s’+t’=1,\ s’\geqq 0,\ t’\geqq 0) \end{align*}\]

 ただし,A$’$,B$’$ は $\overrightarrow{\mathstrut\rm OA\,’}=k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}$,$\overrightarrow{\mathstrut\rm OB\,’}=k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}$ を満たす点である.
 この結果により,Pは線分 $\rm A\,’B\,’$ 上を動くことがわかる.
 ここで,固定していた $k$ を $0 < k\leqq \dfrac12$ で動かし,また $k=0$ のとき,PはOと一致するから,Pの存在領域は,辺OA,OBの中点をそれぞれM,Nとすると,△OMNの周及び内部である.

7.3 2直線の交点を表すベクトル(3つの解法)

例題 △ABCにおいて,辺ABを $2:1$ に内分する点をD,辺ACの中点をEとし,BE,CDの交点をPとするとき,$\overrightarrow{\rm{AP}}$ を $\overrightarrow{\rm{AB}}$,$\overrightarrow{\rm{AC}}$ で表せ.

答その1

 解法のポイント
 $\overrightarrow{\mathstrut 0}$ でなく,平行でない2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a},\overrightarrow{\mathstrut b}$ について, \[\begin{align*} s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}&=s’\overrightarrow{\mathstrut a}+t’\overrightarrow{\mathstrut b}\\[5pt] \iff s=s’,\ &\ t=t’ \end{align*}\]

 $\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}$ を2通りに表し,係数比較.

\[\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=\left\{\begin{array}{l} (1-s)\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm AE}=(1-s)\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\dfrac s2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\\[5pt] t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+(1-t)\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}=\dfrac23t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+(1-t)\overrightarrow{\mathstrut\rm AC} \end{array}\right.\]

 $\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}\neq\overrightarrow{\mathstrut 0}$,$\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\neq\overrightarrow{\mathstrut 0}$,かつ $\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}$ と $\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}$ は平行ではないから,

\[\left\{ \begin{array}{l} 1-s=\dfrac23t\\[5pt] \dfrac s2=1-t \end{array} \right.\]

 これを解いて,$s=\dfrac12$,$t=\dfrac34$.
 よって,$\underline{\boldsymbol{\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\dfrac14\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}}}$

答その2

 解法のポイント
 Pが直線AB上
 $\iff \overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=s\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}\ \ (s+t=1)$

\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut\rm AP}&=(1-s)\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\frac s2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\\[5pt] &=(1-s)\frac32\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\frac s2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\\[5pt] &=\frac32(1-s)\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\frac s2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC} \end{align*}\]

 PはCD上にもあるから,

\[\frac32(1-s)+\frac s2=1\ \ \therefore s=\frac12\]

 よって,$\underline{\boldsymbol{\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\dfrac14\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}}}$

答その3

 解法のポイント
  メネラウスの定理を利用

※メネラウスの定理についてはこちら

 △ADCと直線BEについてメネラウスの定理により,

\[\begin{align*} \frac{\rm AB}{\rm BD}\cdot\frac{\rm DP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CE}{\rm EA}&=1\\[5pt] \therefore \frac31\cdot\frac{\rm DP}{\rm PC}\cdot\frac11&=1\\[5pt] \therefore \frac{\rm DP}{\rm PC}&=\frac13\\[5pt] \therefore {\rm DP}:{\rm PC}&=1:3 \end{align*}\]

 よって,

\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut\rm AP}&=\frac{3\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}}{1+3}\\[5pt] &=\frac34\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\frac14\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac12\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\frac14\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}}} \end{align*}\]

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