7. 平面ベクトルの応用(ノート)

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数学B　第1章　ベクトル

スライド↓　　　　　　ノート↓
1. ベクトルと有向線分　無料　　【ノート】
2. ベクトルの演算　無料　　　　【ノート】
3. ベクトルの成分　無料　　　　【ノート】
4. ベクトルの内積　　　　　　　　【ノート】
5. 位置ベクトル　　　　　　　　　【ノート】
6. ベクトル方程式　　　　　　　　【ノート】
7. 平面ベクトルの応用　　　　　　【ノート】
8. 空間ベクトル　　　　　　　　　【ノート】
9. 空間ベクトルの成分　　　　　　【ノート】
10. 空間ベクトルの内積　　　　　【ノート】
11. 空間の位置ベクトル　　　　　【ノート】
12. 空間ベクトルの応用　　　　　【ノート】
13. 空間のベクトル方程式　　　　【ノート】

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです．

7．平面ベクトルの応用

7.1　線分上の点の存在範囲

　$\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}$ のとき，

Pが線分AB上 $\iff 0\leqq t\leqq 1$

　よって， \[\begin{align*} &\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+t(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a})\ \ (0\leqq t\leqq 1)\\[5pt] \iff & \overrightarrow{\mathstrut p}=(1-t)\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\ \ (0\leqq t\leqq 1)\\[5pt] \iff & \overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\ \ (s+t=1,0\leqq t\leqq1)\\[5pt] \iff & \overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\ \ (s+t=1,s\geqq0,t\geqq0) \end{align*}\]

まとめ\begin{align*} \mbox{点P が線分AB上 }\iff &\overrightarrow{\rm{OP}}=s\overrightarrow{\rm{OA}}+t\overrightarrow{\rm{OB}} \\[5pt] &(s+t=1,\ s\geqq 0,\ t\geqq 0) \end{align*}

7.2　三角形の内部を表すベクトル

　$\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=s\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+t\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}$ (ただし，$s+t=k$，$s> 0$，$t> 0$)で表される点Pを考えよう．

\[\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=\frac sk\cdot k\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\frac tk\cdot k\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\] \[\left(\frac sk+\frac tk=1,\ \frac sk>0,\ \frac tk>0\right)\]

であるから，$k\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AB\,’}$，$k\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AC\,’}$ となる点 $\rm B\,’,\ C\,’$ をとると，Pは線分 $\rm B\,’C\,’$ 上にある．(ただし線分の両端の2点を除く．)
　そこで今，$0 < k < 1$ の範囲で $k$ を動かすと，Pは△ABCの内部にあることがわかる．

例題　△OABにおいて，$\overrightarrow{\rm{OP}}\!=\!s\overrightarrow{\rm{OA}}\!+\!t\overrightarrow{\rm{OB}}\ (s+t\leqq\dfrac12,\ s\geqq 0,\ t\geqq 0)$を満たす点Pは，どのような図形上にあるか．

答

　$0<k\leqq\dfrac12$ なる $k$ を1つ固定し，$s+t=k$，$s\geqq 0$，$t\geqq 0$ で考える．
　$\dfrac sk+\dfrac tk=1$ より，

\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut\rm OP}&=s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}\\[5pt] &=\frac sk\cdot k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+\frac tk\cdot k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}\\[5pt] &=s’\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA\,’}+t’\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB\,’}\\[5pt] &(s’+t’=1,\ s’\geqq 0,\ t’\geqq 0) \end{align*}\]

　ただし，A$’$，B$’$ は $\overrightarrow{\mathstrut\rm OA\,’}=k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}$，$\overrightarrow{\mathstrut\rm OB\,’}=k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}$ を満たす点である．
　この結果により，Pは線分 $\rm A\,’B\,’$ 上を動くことがわかる．
　ここで，固定していた $k$ を $0 < k\leqq \dfrac12$ で動かし，また $k=0$ のとき，PはOと一致するから，Pの存在領域は，辺OA，OBの中点をそれぞれM，Nとすると，△OMNの周及び内部である．

7.3　2直線の交点を表すベクトル（3つの解法）

例題　△ABCにおいて，辺ABを $2:1$ に内分する点をD，辺ACの中点をEとし，BE，CDの交点をPとするとき，$\overrightarrow{\rm{AP}}$ を $\overrightarrow{\rm{AB}}$，$\overrightarrow{\rm{AC}}$ で表せ．

答その1

　解法のポイント
　$\overrightarrow{\mathstrut 0}$ でなく，平行でない2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a},\overrightarrow{\mathstrut b}$ について， \[\begin{align*} s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}&=s’\overrightarrow{\mathstrut a}+t’\overrightarrow{\mathstrut b}\\[5pt] \iff s=s’,\ &\ t=t’ \end{align*}\]

　$\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}$ を2通りに表し，係数比較．

\[\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=\left\{\begin{array}{l} (1-s)\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm AE}=(1-s)\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\dfrac s2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\\[5pt] t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+(1-t)\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}=\dfrac23t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+(1-t)\overrightarrow{\mathstrut\rm AC} \end{array}\right.\]

　$\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}\neq\overrightarrow{\mathstrut 0}$，$\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\neq\overrightarrow{\mathstrut 0}$，かつ $\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}$ と $\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}$ は平行ではないから，

\[\left\{ \begin{array}{l} 1-s=\dfrac23t\\[5pt] \dfrac s2=1-t \end{array} \right.\]

　これを解いて，$s=\dfrac12$，$t=\dfrac34$．
　よって，$\underline{\boldsymbol{\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\dfrac14\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}}}$

答その2

　解法のポイント
　Pが線分AB上
　$\iff \overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=s\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}\ \ (s+t=1)$

\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut\rm AP}&=(1-s)\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\frac s2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\\[5pt] &=(1-s)\frac32\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\frac s2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\\[5pt] &=\frac32(1-s)\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\frac s2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC} \end{align*}\]

　PはCD上にもあるから，

\[\frac32(1-s)+\frac s2=1\ \ \therefore s=\frac12\]

　よって，$\underline{\boldsymbol{\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\dfrac14\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}}}$

答その3

　解法のポイント
　　メネラウスの定理を利用

　△ADCと直線BEについてメネラウスの定理により，

\[\begin{align*} \frac{\rm AB}{\rm BD}\cdot\frac{\rm DP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CE}{\rm EA}&=1\\[5pt] \therefore \frac31\cdot\frac{\rm DP}{\rm PC}\cdot\frac11&=1\\[5pt] \therefore \frac{\rm DP}{\rm PC}&=\frac13\\[5pt] \therefore {\rm DP}:{\rm PC}&=1:3 \end{align*}\]

　よって，

\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut\rm AP}&=\frac{3\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}}{1+3}\\[5pt] &=\frac34\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\frac14\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac12\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\frac14\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}}} \end{align*}\]

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