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高校数学ノート[総目次]
数学B 第1章 ベクトル
スライド | ノート | |
1. ベクトルと有向線分 | [無料] | |
2. ベクトルの演算 | [無料] | |
3. ベクトルの成分 | [無料] | |
4. ベクトルの内積 | [会員] | |
5. 位置ベクトル | [会員] | |
6. ベクトル方程式 | [会員] | |
7. 平面ベクトルの応用 | [会員] | |
8. 空間ベクトル | [会員] | |
9. 空間ベクトルの成分 | [会員] | |
10. 空間ベクトルの内積 | [会員] | |
11. 空間の位置ベクトル | [会員] | |
12. 空間ベクトルの応用 | [会員] | |
13. 空間のベクトル方程式 | [会員] |
7.平面ベクトルの応用
7.1 線分上の点の存在範囲

$\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}$ のとき,
Pが線分AB上 $\iff 0\leqq t\leqq 1$
よって, \[\begin{align*} &\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+t(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a})\ \ (0\leqq t\leqq 1)\\[5pt] \iff & \overrightarrow{\mathstrut p}=(1-t)\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\ \ (0\leqq t\leqq 1)\\[5pt] \iff & \overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\ \ (s+t=1,0\leqq t\leqq1)\\[5pt] \iff & \overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\ \ (s+t=1,s\geqq0,t\geqq0) \end{align*}\]
まとめ\begin{align*} \mbox{点P が線分AB上 }\iff &\overrightarrow{\rm{OP}}=s\overrightarrow{\rm{OA}}+t\overrightarrow{\rm{OB}} \\[5pt] &(s+t=1,\ s\geqq 0,\ t\geqq 0) \end{align*}
7.2 三角形の内部を表すベクトル
$\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=s\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+t\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}$ (ただし,$s+t=k$,$s> 0$,$t> 0$)で表される点Pを考えよう.
\[\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=\frac sk\cdot k\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\frac tk\cdot k\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\] \[\left(\frac sk+\frac tk=1,\ \frac sk>0,\ \frac tk>0\right)\]

であるから,$k\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AB\,’}$,$k\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AC\,’}$ となる点 $\rm B\,’,\ C\,’$ をとると,Pは線分 $\rm B\,’C\,’$ 上にある.(ただし線分の両端の2点を除く.)
そこで今,$0 < k < 1$ の範囲で $k$ を動かすと,Pは△ABCの内部にあることがわかる.
例題 △OABにおいて,$\overrightarrow{\rm{OP}}\!=\!s\overrightarrow{\rm{OA}}\!+\!t\overrightarrow{\rm{OB}}\ (s+t\leqq\dfrac12,\ s\geqq 0,\ t\geqq 0)$を満たす点Pは,どのような図形上にあるか.
答

$0<k\leqq\dfrac12$ なる $k$ を1つ固定し,$s+t=k$,$s\geqq 0$,$t\geqq 0$ で考える.
$\dfrac sk+\dfrac tk=1$ より,
\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut\rm OP}&=s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}\\[5pt] &=\frac sk\cdot k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+\frac tk\cdot k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}\\[5pt] &=s’\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA\,’}+t’\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB\,’}\\[5pt] &(s’+t’=1,\ s’\geqq 0,\ t’\geqq 0) \end{align*}\]
ただし,A$’$,B$’$ は $\overrightarrow{\mathstrut\rm OA\,’}=k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}$,$\overrightarrow{\mathstrut\rm OB\,’}=k\,\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}$ を満たす点である.
この結果により,Pは線分 $\rm A\,’B\,’$ 上を動くことがわかる.
ここで,固定していた $k$ を $0 < k\leqq \dfrac12$ で動かし,また $k=0$ のとき,PはOと一致するから,Pの存在領域は,辺OA,OBの中点をそれぞれM,Nとすると,△OMNの周及び内部である.
7.3 2直線の交点を表すベクトル(3つの解法)
例題 △ABCにおいて,辺ABを $2:1$ に内分する点をD,辺ACの中点をEとし,BE,CDの交点をPとするとき,$\overrightarrow{\rm{AP}}$ を $\overrightarrow{\rm{AB}}$,$\overrightarrow{\rm{AC}}$ で表せ.
答その1
解法のポイント
$\overrightarrow{\mathstrut 0}$ でなく,平行でない2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a},\overrightarrow{\mathstrut b}$ について,
\[\begin{align*}
s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}&=s’\overrightarrow{\mathstrut a}+t’\overrightarrow{\mathstrut b}\\[5pt]
\iff s=s’,\ &\ t=t’
\end{align*}\]

$\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}$ を2通りに表し,係数比較.
\[\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=\left\{\begin{array}{l} (1-s)\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+s\,\overrightarrow{\mathstrut\rm AE}=(1-s)\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\dfrac s2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\\[5pt] t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+(1-t)\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}=\dfrac23t\,\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+(1-t)\overrightarrow{\mathstrut\rm AC} \end{array}\right.\]
$\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}\neq\overrightarrow{\mathstrut 0}$,$\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\neq\overrightarrow{\mathstrut 0}$,かつ $\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}$ と $\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}$ は平行ではないから,
\[\left\{ \begin{array}{l} 1-s=\dfrac23t\\[5pt] \dfrac s2=1-t \end{array} \right.\]
これを解いて,$s=\dfrac12$,$t=\dfrac34$.
よって,$\underline{\boldsymbol{\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\dfrac14\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}}}$
答その2
解法のポイント
Pが線分AB上
$\iff \overrightarrow{\mathstrut\rm OP}=s\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}\ \ (s+t=1)$
\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut\rm AP}&=(1-s)\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\frac s2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\\[5pt] &=(1-s)\frac32\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\frac s2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\\[5pt] &=\frac32(1-s)\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\frac s2\overrightarrow{\mathstrut\rm AC} \end{align*}\]
PはCD上にもあるから,
\[\frac32(1-s)+\frac s2=1\ \ \therefore s=\frac12\]
よって,$\underline{\boldsymbol{\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\dfrac14\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}}}$
答その3
解法のポイント
メネラウスの定理を利用

△ADCと直線BEについてメネラウスの定理により,
\[\begin{align*} \frac{\rm AB}{\rm BD}\cdot\frac{\rm DP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CE}{\rm EA}&=1\\[5pt] \therefore \frac31\cdot\frac{\rm DP}{\rm PC}\cdot\frac11&=1\\[5pt] \therefore \frac{\rm DP}{\rm PC}&=\frac13\\[5pt] \therefore {\rm DP}:{\rm PC}&=1:3 \end{align*}\]
よって,
\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut\rm AP}&=\frac{3\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}}{1+3}\\[5pt] &=\frac34\overrightarrow{\mathstrut\rm AD}+\frac14\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac12\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\frac14\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}}} \end{align*}\]
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