1.メネラウスの定理

メネラウスの定理
 △ABCの辺BC,CA,ABまたはその延長が,三角形の頂点を通らない直線 $l$ とそれぞれP,Q,Rで交わるとき,
\[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]
直線が△ABCの内部を通るとき
直線が△ABCの外部を通るとき

証明のポイント

 上手い平行線を引き,平行線と線分の比の関係を利用して,比をすべて1つの直線上に寄せてくる.

確認事項

  • 2直線 $l,\ m$ が平行のとき,次のような関係が成り立つ:

\[\rm PA:AB=PC:CD\]

\[\rm PA:PB=PC:PD\]

\[\rm PB:AB=PD:CD\]

証明

1° 直線が△ABCの内部を通るとき

直線が△ABCの内部を通るとき

 点C を通り,$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると, \[\rm BP:PC=BR:RD\] \[\therefore\frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots\ \mbox{①}\]  同様にして, \[\rm CQ:QA=DR:RA\] \[\therefore\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots\ \mbox{②}\]  よって, \[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt] &\hspace{2mm}\mbox{①}\hspace{6mm}\mbox{②}\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]

2° 直線が△ABCの外部を通るとき

 直線が△ABCの内部を通る場合とは図が異なるだけで,式は異なるところが1つもない.

直線が△ABCの外部を通るとき

 点C を通り,$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると, \[\rm BP:PC=BR:RD\] \[\therefore\frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots\ \mbox{③}\]  同様にして, \[\rm CQ:QA=DR:RA\] \[\therefore\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots\ \mbox{④}\]  よって, \[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt] &\hspace{2mm}\mbox{③}\hspace{6mm}\mbox{④}\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]

補足

  • 分子→分母→分子→分母→ … という順でアルファベットがしりとり式に続いていく.
  • 加えて,頂点→分点→頂点→分点→… の順でアルファベットを書く.