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高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

  スライド ノート 問題
1. チェバの定理 [会員]   [会員]
2. メネラウスの定理 [会員]   [会員]
3. チェバの定理の逆 [会員]    
4. メネラウスの定理の逆 [会員]    
5. 円に内接する四角形 [会員]   [会員]
6. 接弦定理とその逆 [会員]    
7. 方べきの定理とその逆 [会員]    
8. 三角形の五心      
　　重心      
　　外心      
　　垂心      
　　内心      
　　傍心      
中学校の範囲
  スライド ノート 問題
1. 円周角の定理     [会員]
2. 円周角の定理の逆     [会員]

1．メネラウスの定理

　チェバの定理と非常に内容の似通った定理にメネラウスの定理というものがある．チェバの定理以上に適用範囲が広く，しばしば数学Bで学ぶベクトルではこのメネラウスの定理を使うのが最速の解法だという問題 まである．

　メネラウスの定理は，三角形と1本の直線によってできるいくつかの線分比についての関係を述べたものであるが，その直線が三角形の内部を通る場合と外部を通る場合の2つのタイプがあるが，一般的によく知られ，かつよく用いられているのは直線が三角形の内部を通るタイプである．

　メネラウスの定理が使える典型的な状況というのは，次のキツネのイラストのような図が現れたときであり，このキツネが出てきたら，「もしかしてメネラウスの定理が使えるのでは？」という直感が働くようにしておきたい．

「キツネが出てきたらメネラウス」

メネラウスの定理
　△ABCの辺BC，CA，ABまたはその延長が，三角形の頂点を通らない直線 $l$ とそれぞれP，Q，Rで交わるとき，
\[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]
直線が△ABCの内部を通るとき
直線が△ABCの外部を通るとき
アニメーション
(スライドから抜粋)
直線が△ABCの内部を通る場合
アニメーション
(スライドから抜粋)
直線が△ABCの外部を通る場合

証明のポイント

　上手い平行線を引き，平行線と線分の比の関係を利用して，比をすべて1つの直線上に寄せてくる．

基本事項の確認

  • 2直線 $l,\ m$ が平行のとき，次のような関係が成り立つ．
    (これらの証明は スライド 参照)

\[\rm PA:AB=PC:CD\] \[\rm PA:PB=PC:PD\] \[\rm PB:AB=PD:CD\]

証明

1°　直線が△ABCの内部を通るとき

①式のアニメーション

　点C を通り，$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると，\[\rm BP:PC=BR:RD\]

$\therefore\dfrac{\rm BP}{\rm PC}=\dfrac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots$ ①

直線が△ABCの内部を通るとき

　同様にして，\[\rm CQ:QA=DR:RA\]

$\therefore\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}=\dfrac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots$ ②

②式のアニメーション

　よって，メネラウスの定理の左辺を，①，②によって書き換えると，次々と約分ができて， \[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt] &\hspace{2mm}\mbox{①}\hspace{6mm}\mbox{②}\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]

2°　直線が△ABCの外部を通るとき

　直線が△ABCの内部を通る場合とは図が異なるだけで，式は異なるところが1つもない．

①式のアニメーション

　点C を通り，$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると，\[\rm BP:PC=BR:RD\]

$\therefore\dfrac{\rm BP}{\rm PC}=\dfrac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots$ ①

直線が△ABCの外部を通るとき

　同様にして，\[\rm CQ:QA=DR:RA\]

$\therefore\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}=\dfrac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots$ ②

②式のアニメーション

　よって，メネラウスの定理の左辺を，①，②によって書き換えると，次々と約分ができて， \[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt] &\hspace{2mm}\mbox{①}\hspace{6mm}\mbox{②}\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]

■

補足

  • 【覚え方】分子→分母→分子→分母→ … という順でアルファベットがしりとり式に続いていく．
  • 【書き方】頂点→分点→頂点→分点→… の順でアルファベットを書く．
  • 【融通性】メネラウスの定理の左辺は3つの分数の積になっている．積は計算の順序が自由にできるから，掛ける順番をローテーションして\[\begin{align*}&\dfrac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\dfrac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt]=&\dfrac{\rm AR}{\rm RB}\cdot\dfrac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}\\[5pt]=&\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\dfrac{\rm AR}{\rm RB}\cdot\dfrac{\rm BP}{\rm PC}\end{align*}\]などが成り立つ．つまり，スタート地点は頂点Bである必要はなく，三角形の3頂点のどれでもよいのである．

問題　△ABCにおいて，辺ABを $1:2$ に内分する点をD，辺BCを $4:1$ に外分する点をEとする．ACとDEの交点をPとするとき，$\rm{AP:PC}$ を求めよ．

答えは 演習問題 参照．

コラム　チェバの定理とメネラウスの定理の違いは何か

　メネラウスの定理とチェバの定理 は式が完全に同一である．一筆書きの要領で作っていった3つの線分比を掛けるという操作も同じである．それでは2つの定理の違いはどこにあるかというと，それは線分比を作るときの

外分の回数

である．3回の線分比をとる操作の中に外分の回数は

　チェバの定理：
　　　　0回（交点が三角形の内部）
　　　　2回（交点が三角形の外部）

　メネラウスの定理：
　　　　1回（直線が三角形の内部を通過）
　　　　3回（直線が三角形の外部を通過）

となっている．3回の操作でとれる外分の回数は，0，1，2，3のいずれかであるから，チェバの定理とメネラウスの定理ですべての場合が尽くされている．この事実から，チェバの定理，またはメネラウスの定理を適用しようというときには，

ある頂点からスタートして，内分・外分を自由にとりながら3回で元の頂点に戻るようにして線分比を書いていくと，チェバの定理かメネラウスの定理のいずれかになっている

ということがいえる．この感覚があれば，チェバの定理やメネラウスの定理は割と気楽に使えるものであることがわかる．

定理の内容が理解出来たら，次は演習問題 で理解の確認しましょう．

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