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高校数学[総目次]
数学A 第3章 図形の性質
第3章 図形の性質
スライド | ノート | |
1. チェバの定理 | [無料] | |
2. メネラウスの定理 | [無料] | |
3. チェバの定理の逆 | [無料] | |
4. メネラウスの定理の逆 | [会員] | |
5. 円に内接する四角形 | [会員] | |
6. 接弦定理とその逆 | [会員] | |
7. 方べきの定理とその逆 | [会員] | |
8. 三角形の五心 | ||
重心 | ||
外心 | ||
垂心 | ||
内心 | ||
傍心 |
中学校の範囲
1. 円周角の定理 | ||
2. 円周角の定理の逆 |
1.メネラウスの定理
△ABCの辺BC,CA,ABまたはその延長が,三角形の頂点を通らない直線 $l$ とそれぞれP,Q,Rで交わるとき,
\[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]


証明のポイント
上手い平行線を引き,平行線と線分の比の関係を利用して,比をすべて1つの直線上に寄せてくる.
確認事項
- 2直線 $l,\ m$ が平行のとき,次のような関係が成り立つ:

\[\rm PA:AB=PC:CD\]
\[\rm PA:PB=PC:PD\]
\[\rm PB:AB=PD:CD\]
証明
1° 直線が△ABCの内部を通るとき

点C を通り,$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると, \[\rm BP:PC=BR:RD\] \[\therefore\frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots\ \mbox{①}\] 同様にして, \[\rm CQ:QA=DR:RA\] \[\therefore\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots\ \mbox{②}\] よって, \[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt] &\hspace{2mm}\mbox{①}\hspace{6mm}\mbox{②}\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]
2° 直線が△ABCの外部を通るとき
直線が△ABCの内部を通る場合とは図が異なるだけで,式は異なるところが1つもない.

点C を通り,$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると, \[\rm BP:PC=BR:RD\] \[\therefore\frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots\ \mbox{③}\] 同様にして, \[\rm CQ:QA=DR:RA\] \[\therefore\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots\ \mbox{④}\] よって, \[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt] &\hspace{2mm}\mbox{③}\hspace{6mm}\mbox{④}\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]
■
補足
- 分子→分母→分子→分母→ … という順でアルファベットがしりとり式に続いていく.
- 加えて,頂点→分点→頂点→分点→… の順でアルファベットを書く.
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