2．メネラウスの定理(ノート)
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高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

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中学校の範囲

1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆

1．メネラウスの定理

証明のポイント

　上手い平行線を引き，平行線と線分の比の関係を利用して，比をすべて1つの直線上に寄せてくる．

確認事項

• 2直線 $l,\ m$ が平行のとき，次のような関係が成り立つ：

\[\rm PA:AB=PC:CD\]

\[\rm PA:PB=PC:PD\]

\[\rm PB:AB=PD:CD\]

証明

1°　直線が△ABCの内部を通るとき

　点C を通り，$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると， \[\rm BP:PC=BR:RD\] \[\therefore\frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots\ \mbox{①}\] 　同様にして， \[\rm CQ:QA=DR:RA\] \[\therefore\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots\ \mbox{②}\] 　よって， \[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt] &\hspace{2mm}\mbox{①}\hspace{6mm}\mbox{②}\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]

2°　直線が△ABCの外部を通るとき

　直線が△ABCの内部を通る場合とは図が異なるだけで，式は異なるところが1つもない．

　点C を通り，$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると， \[\rm BP:PC=BR:RD\] \[\therefore\frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots\ \mbox{③}\] 　同様にして， \[\rm CQ:QA=DR:RA\] \[\therefore\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots\ \mbox{④}\] 　よって， \[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt] &\hspace{2mm}\mbox{③}\hspace{6mm}\mbox{④}\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]

■

補足

• 分子→分母→分子→分母→ … という順でアルファベットがしりとり式に続いていく．
• 加えて，頂点→分点→頂点→分点→… の順でアルファベットを書く．

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