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高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

  スライド ノート
1. チェバの定理 [無料]  
2. メネラウスの定理 [無料]  
3. チェバの定理の逆 [無料]  
4. メネラウスの定理の逆 [会員]  
5. 円に内接する四角形 [会員]  
6. 接弦定理とその逆 [会員]  
7. 方べきの定理とその逆 [会員]  
8. 三角形の五心    
　　重心    
　　外心    
　　垂心    
　　内心    
　　傍心    

中学校の範囲

1. 円周角の定理    
2. 円周角の定理の逆    

1．メネラウスの定理

メネラウスの定理
　△ABCの辺BC，CA，ABまたはその延長が，三角形の頂点を通らない直線 $l$ とそれぞれP，Q，Rで交わるとき，
\[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]

直線が△ABCの内部を通るとき
直線が△ABCの外部を通るとき

証明のポイント

　上手い平行線を引き，平行線と線分の比の関係を利用して，比をすべて1つの直線上に寄せてくる．

基本事項の確認

  • 2直線 $l,\ m$ が平行のとき，次のような関係が成り立つ．
    【これらの証明はスライド
    参照】

\[\rm PA:AB=PC:CD\]

\[\rm PA:PB=PC:PD\]

\[\rm PB:AB=PD:CD\]

証明

1°　直線が△ABCの内部を通るとき

直線が△ABCの内部を通るとき

　点C を通り，$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると，
\[\rm BP:PC=BR:RD\]
\[\therefore\frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots\ \mbox{①}\]
　同様にして，
\[\rm CQ:QA=DR:RA\]
\[\therefore\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots\ \mbox{②}\]
　よって，
\[\begin{align*}
&\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt]
=\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt]
&\hspace{2mm}\mbox{①}\hspace{6mm}\mbox{②}\\[5pt]
=\ &1
\end{align*}\]

2°　直線が△ABCの外部を通るとき

　直線が△ABCの内部を通る場合とは図が異なるだけで，式は異なるところが1つもない．

直線が△ABCの外部を通るとき

　点C を通り，$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると，
\[\rm BP:PC=BR:RD\]
\[\therefore\frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots\ \mbox{③}\]
　同様にして，
\[\rm CQ:QA=DR:RA\]
\[\therefore\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots\ \mbox{④}\]
　よって，
\[\begin{align*}
&\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt]
=\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt]
&\hspace{2mm}\mbox{③}\hspace{6mm}\mbox{④}\\[5pt]
=\ &1
\end{align*}\]

■

補足

  • 分子→分母→分子→分母→ … という順でアルファベットがしりとり式に続いていく．

  • 加えて，頂点→分点→頂点→分点→… の順でアルファベットを書く．

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演習問題

(1)　[難易度 易]
　△ABCにおいて，辺ABを $1:2$ に内分する点をD，辺BCを $4:1$ に外分する点をEとする．ACとDEの交点をPとするとき，$\rm{AP:PC}$ を求めよ．

(2)　[難易度 標準]
　△ABCにおいて，辺ABを $3:1$ に外分する点をDとし，辺BCを $5:2$ に外分する点をEとする．直線ACとDEの交点をPとするとき，$\rm{AC:CP}$ を求めよ．

(3)　[難易度 やや難]
　△ABCにおいて，辺ABの中点をD，辺BCを $3:2$ に内分する点をEとし，AEとCDの交点をPとする．直線BPと辺ACとの交点をQとするとき，△PCQの面積は△ABCの面積の何倍か．

解答

　メネラウスの定理の式は辺の長さを用いた式になっていますが，例えば $\rm{\dfrac{BQ}{QC}}$ という部分は $\rm{BQ:QC}$ の比の値です．従って辺の長さそのものがわからなくても，比の値さえわかればよいという訳です． POINT