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高校数学[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

第3章 図形の性質

  スライド ノート
1. チェバの定理 [無料]  
2. メネラウスの定理 [無料]  
3. チェバの定理の逆 [無料]  
4. メネラウスの定理の逆 [会員]  
5. 円に内接する四角形 [会員]  
6. 接弦定理とその逆 [会員]  
7. 方べきの定理とその逆 [会員]  
8. 三角形の五心    
  重心    
  外心    
  垂心    
  内心    
  傍心    


中学校の範囲

1. 円周角の定理    
2. 円周角の定理の逆    

1.メネラウスの定理

メネラウスの定理
 △ABCの辺BC,CA,ABまたはその延長が,三角形の頂点を通らない直線 $l$ とそれぞれP,Q,Rで交わるとき,
\[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]

直線が△ABCの内部を通るとき
直線が△ABCの外部を通るとき

証明のポイント

 上手い平行線を引き,平行線と線分の比の関係を利用して,比をすべて1つの直線上に寄せてくる.

基本事項の確認

  • 2直線 $l,\ m$ が平行のとき,次のような関係が成り立つ.
    【これらの証明はスライド
    参照】

\[\rm PA:AB=PC:CD\]

\[\rm PA:PB=PC:PD\]

\[\rm PB:AB=PD:CD\]

証明

1° 直線が△ABCの内部を通るとき

直線が△ABCの内部を通るとき

 点C を通り,$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると,
\[\rm BP:PC=BR:RD\]
\[\therefore\frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots\ \mbox{①}\]
 同様にして,
\[\rm CQ:QA=DR:RA\]
\[\therefore\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots\ \mbox{②}\]
 よって,
\[\begin{align*}
&\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt]
=\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt]
&\hspace{2mm}\mbox{①}\hspace{6mm}\mbox{②}\\[5pt]
=\ &1
\end{align*}\]

2° 直線が△ABCの外部を通るとき

 直線が△ABCの内部を通る場合とは図が異なるだけで,式は異なるところが1つもない.

直線が△ABCの外部を通るとき

 点C を通り,$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると,
\[\rm BP:PC=BR:RD\]
\[\therefore\frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots\ \mbox{③}\]
 同様にして,
\[\rm CQ:QA=DR:RA\]
\[\therefore\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots\ \mbox{④}\]
 よって,
\[\begin{align*}
&\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt]
=\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt]
&\hspace{2mm}\mbox{③}\hspace{6mm}\mbox{④}\\[5pt]
=\ &1
\end{align*}\]

補足

  • 分子→分母→分子→分母→ … という順でアルファベットがしりとり式に続いていく.
  • 加えて,頂点→分点→頂点→分点→… の順でアルファベットを書く.

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演習問題

(1) [難易度 易]
 △ABCにおいて,辺ABを $1:2$ に内分する点をD,辺BCを $4:1$ に外分する点をEとする.ACとDEの交点をPとするとき,$\rm{AP:PC}$ を求めよ.

(2) [難易度 標準]
 △ABCにおいて,辺ABを $3:1$ に外分する点をDとし,辺BCを $5:2$ に外分する点をEとする.直線ACとDEの交点をPとするとき,$\rm{AC:CP}$ を求めよ.

(3) [難易度 やや難]
 △ABCにおいて,辺ABの中点をD,辺BCを $3:2$ に内分する点をEとし,AEとCDの交点をPとする.直線BPと辺ACとの交点をQとするとき,△PCQの面積は△ABCの面積の何倍か.

解答

 メネラウスの定理の式は辺の長さを用いた式になっていますが,例えば $\rm{\dfrac{BQ}{QC}}$ という部分は $\rm{BQ:QC}$ の比の値です.従って辺の長さそのものがわからなくても,比の値さえわかればよいという訳です. POINT