高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート

1.メネラウスの定理

メネラウスの定理
 △ABCの辺BC,CA,ABまたはその延長が,三角形の頂点を通らない直線 $l$ とそれぞれP,Q,Rで交わるとき,
\[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]
直線が△ABCの内部を通るとき
直線が△ABCの外部を通るとき

証明のポイント

 上手い平行線を引き,平行線と線分の比の関係を利用して,比をすべて1つの直線上に寄せてくる.

確認事項

  • 2直線 $l,\ m$ が平行のとき,次のような関係が成り立つ:

\[\rm PA:AB=PC:CD\]

\[\rm PA:PB=PC:PD\]

\[\rm PB:AB=PD:CD\]

証明

1° 直線が△ABCの内部を通るとき

直線が△ABCの内部を通るとき

 点C を通り,$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると, \[\rm BP:PC=BR:RD\] \[\therefore\frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots\ \mbox{①}\]  同様にして, \[\rm CQ:QA=DR:RA\] \[\therefore\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots\ \mbox{②}\]  よって, \[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt] &\hspace{2mm}\mbox{①}\hspace{6mm}\mbox{②}\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]

2° 直線が△ABCの外部を通るとき

 直線が△ABCの内部を通る場合とは図が異なるだけで,式は異なるところが1つもない.

直線が△ABCの外部を通るとき

 点C を通り,$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると, \[\rm BP:PC=BR:RD\] \[\therefore\frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots\ \mbox{③}\]  同様にして, \[\rm CQ:QA=DR:RA\] \[\therefore\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots\ \mbox{④}\]  よって, \[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt] &\hspace{2mm}\mbox{③}\hspace{6mm}\mbox{④}\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]

補足

  • 分子→分母→分子→分母→ … という順でアルファベットがしりとり式に続いていく.
  • 加えて,頂点→分点→頂点→分点→… の順でアルファベットを書く.

高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート