高校数学[総目次]
数学A 第3章 図形の性質
第3章 図形の性質
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中学校の範囲
| 1. 円周角の定理 | ||
| 2. 円周角の定理の逆 |
1．傍心
三角形の1つの内角の二等分線と，他の2つの角の外角の二等分線は1点で交わる．
基本事項の確認
角の二等分線 $l$ は，2直線 $m, n$ から等しい距離にある点の集合である．
証明の方針
・2つの外角の二等分線の交点をとる．
↓
・その交点が，内角の二等分線上にあることを示す．
証明
△ABCにおいて，$\angle{\rm B}$の外角の二等分線と$\angle{\rm C}$の外角の二等分線との交点を${\rm I}_1$とし，${\rm I}_1$から直線BC，CA，ABに下ろした垂線の足をそれぞれD，E，Fとすると， \[{\rm I_1D}={\rm I_1E},\hspace{5mm} {\rm I_1D}={\rm I_1F}\] \[\therefore {\rm I_1E}={\rm I_1F}\]
これは，${\rm I_1}$が$\angle{\rm A}$の二等分線上にあることを意味するから，三角形の1つの内角の二等分線と，他の2つの角の外角の二等分線は1点で交わる．
■
補足
すぐ上の図において，
\[\begin{gather} {\rm I_1D=I_1E=I_1F}\\[5pt] {\rm I_1D\perp BC,\ \ I_1E\perp CE,\ \ I_1F\perp BF} \end{gather}\]
であるから，1辺と他の2辺の延長線に接する円が存在する．
この円を傍接円といい，傍接円の中心を傍心という．1つの三角形に対して，傍接円，傍心が3個ずつ存在する．
例題 △ABCの内心をI，3つの傍心を ${\rm I_1,\ I_2,\ I_3}$ とすると，Iは$\triangle{\rm I_1I_2I_3}$ の垂心であることを示せ．
答
図のように $\rm I_1\ ,I_2\ ,I_3$ をとると，直線BIは∠ABCの二等分線であるから点 ${\rm I_2}$ を通る．図の点Bにある2個の $\circ$ の角の大きさが等しく，また対頂角が等しいことに注意をすると，${\rm I_2B\perp I_3I_1}$．同様にして，${\rm I_3C\perp I_1I_2}$，${\rm I_1A\perp I_2I_3}$もいえるから，点 $\rm I$ は$\triangle{\rm I_1\,I_2\,I_3}$ の垂心である．
■
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