三角形の五心 – 傍心(ノート)

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

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重心
外心
垂心
内心
傍心

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中学校の範囲

1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆

1．傍心

基本事項の確認

　角の二等分線 $l$ は，2直線 $m, n$ から等しい距離にある点の集合である．

証明の方針

・2つの外角の二等分線の交点をとる．
　　　↓
・その交点が，内角の二等分線上にあることを示す．

証明

　△ABCにおいて，$\angle{\rm B}$の外角の二等分線と$\angle{\rm C}$の外角の二等分線との交点を${\rm I}_1$とし，${\rm I}_1$から直線BC，CA，ABに下ろした垂線の足をそれぞれD，E，Fとすると， \[{\rm I_1D}={\rm I_1E},\hspace{5mm} {\rm I_1D}={\rm I_1F}\] \[\therefore {\rm I_1E}={\rm I_1F}\]

　これは，${\rm I_1}$が$\angle{\rm A}$の二等分線上にあることを意味するから，三角形の1つの内角の二等分線と，他の2つの角の外角の二等分線は1点で交わる．

■

補足

　すぐ上の図において，

\[\begin{gather} {\rm I_1D=I_1E=I_1F}\\[5pt] {\rm I_1D\perp BC,\ \ I_1E\perp CE,\ \ I_1F\perp BF} \end{gather}\]

であるから，1辺と他の2辺の延長線に接する円が存在する．

　この円を傍接円といい，傍接円の中心を傍心という．1つの三角形に対して，傍接円，傍心が3個ずつ存在する．

例題　△ABCの内心をI，3つの傍心を ${\rm I_1,\ I_2,\ I_3}$ とすると，Iは$\triangle{\rm I_1I_2I_3}$ の垂心であることを示せ．

こたえ

　解答例を表示する >

　図のように $\rm I_1\ ,I_2\ ,I_3$ をとると，直線BIは∠ABCの二等分線であるから点 ${\rm I_2}$ を通る．図の点Bにある2個の $\circ$ の角の大きさが等しく，また対頂角が等しいことに注意をすると，${\rm I_2B\perp I_3I_1}$．同様にして，${\rm I_3C\perp I_1I_2}$，${\rm I_1A\perp I_2I_3}$もいえるから，点 $\rm I$ は$\triangle{\rm I_1\,I_2\,I_3}$ の垂心である．

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