高校数学[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

第3章 図形の性質

  スライド ノート
1. チェバの定理 [無料]  
2. メネラウスの定理 [無料]  
3. チェバの定理の逆 [無料]  
4. メネラウスの定理の逆 [会員]  
5. 円に内接する四角形 [会員]  
6. 接弦定理とその逆 [会員]  
7. 方べきの定理とその逆 [会員]  
8. 三角形の五心    
  重心    
  外心    
  垂心    
  内心    
  傍心    

中学校の範囲
1. 円周角の定理    
2. 円周角の定理の逆    

1.傍心

定理
   三角形の1つの内角の二等分線と,他の2つの角の外角の二等分線は1点で交わる.
基本事項の確認

 角の二等分線 $l$ は,2直線 $m, n$ から等しい距離にある点の集合である.

証明の方針

・2つの外角の二等分線の交点をとる.
   ↓
・その交点が,内角の二等分線上にあることを示す.

証明

 △ABCにおいて,$\angle{\rm B}$の外角の二等分線と$\angle{\rm C}$の外角の二等分線との交点を${\rm I}_1$とし,${\rm I}_1$から直線BC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとすると, \[{\rm I_1D}={\rm I_1E},\hspace{5mm} {\rm I_1D}={\rm I_1F}\] \[\therefore {\rm I_1E}={\rm I_1F}\]

 これは,${\rm I_1}$が$\angle{\rm A}$の二等分線上にあることを意味するから,三角形の1つの内角の二等分線と,他の2つの角の外角の二等分線は1点で交わる.

補足

 すぐ上の図において,

\[\begin{gather} {\rm I_1D=I_1E=I_1F}\\[5pt] {\rm I_1D\perp BC,\ \ I_1E\perp CE,\ \ I_1F\perp BF} \end{gather}\]

であるから,1辺と他の2辺の延長線に接する円が存在する.

 この円を傍接円といい,傍接円の中心を傍心という.1つの三角形に対して,傍接円,傍心が3個ずつ存在する.

例題 △ABCの内心をI,3つの傍心を ${\rm I_1,\ I_2,\ I_3}$ とすると,Iは$\triangle{\rm I_1I_2I_3}$ の垂心であることを示せ.

 図のように $\rm I_1\ ,I_2\ ,I_3$ をとると,直線BIは∠ABCの二等分線であるから点 ${\rm I_2}$ を通る.図の点Bにある2個の $\circ$ の角の大きさが等しく,また対頂角が等しいことに注意をすると,${\rm I_2B\perp I_3I_1}$.同様にして,${\rm I_3C\perp I_1I_2}$,${\rm I_1A\perp I_2I_3}$もいえるから,点 $\rm I$ は$\triangle{\rm I_1\,I_2\,I_3}$ の垂心である.


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