高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

第3章 図形の性質

  スライド ノート
1. チェバの定理 [無料]  
2. メネラウスの定理 [無料]  
3. チェバの定理の逆 [無料]  
4. メネラウスの定理の逆 [会員]  
5. 円に内接する四角形 [会員]  
6. 接弦定理とその逆 [会員]  
7. 方べきの定理とその逆 [会員]  
8. 三角形の五心    
  重心    
  外心    
  垂心    
  内心    
  傍心    

中学校の範囲
1. 円周角の定理    
2. 円周角の定理の逆    

1.傍心

定理
   三角形の1つの内角の二等分線と,他の2つの角の外角の二等分線は1点で交わる.
基本事項の確認

 角の二等分線 $l$ は,2直線 $m, n$ から等しい距離にある点の集合である.

証明の方針

・2つの外角の二等分線の交点をとる.
   ↓
・その交点が,内角の二等分線上にあることを示す.

証明

 △ABCにおいて,$\angle{\rm B}$の外角の二等分線と$\angle{\rm C}$の外角の二等分線との交点を${\rm I}_1$とし,${\rm I}_1$から直線BC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとすると, \[{\rm I_1D}={\rm I_1E},\ {\rm I_1D}={\rm I_1F}\] \[\therefore {\rm I_1E}={\rm I_1F}\]

 これは,${\rm I_1}$が$\angle{\rm A}$の二等分線上にあることを意味するから,三角形の1つの内角の二等分線と,他の2つの角の外角の二等分線は1点で交わる.

補足

 この定理の証明過程により,1辺と他の2辺の延長線に接する円が存在する.

 この円を傍接円といい,傍接円の中心を傍心という.1つの三角形に対して,傍接円,傍心が3個ずつ存在する.

 図の点 ${\rm I}$ は,△ABCの内心であり,また対頂角が等しいことなどに注意をすると,△${\rm I_1\,I_2\,I_3}$ の垂心でもある.


高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

第3章 図形の性質

  スライド ノート
1. チェバの定理 [無料]  
2. メネラウスの定理 [無料]  
3. チェバの定理の逆 [無料]  
4. メネラウスの定理の逆 [会員]  
5. 円に内接する四角形 [会員]  
6. 接弦定理とその逆 [会員]  
7. 方べきの定理とその逆 [会員]  
8. 三角形の五心    
  重心    
  外心    
  垂心    
  内心    
  傍心    

中学校の範囲
1. 円周角の定理    
2. 円周角の定理の逆