高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート

1.傍心

定理
   三角形の1つの内角の二等分線と,他の2つの角の外角の二等分線は1点で交わる.
基本事項の確認

 角の二等分線 $l$ は,2直線 $m, n$ から等しい距離にある点の集合である.

証明の方針

・2つの外角の二等分線の交点をとる.
   ↓
・その交点が,内角の二等分線上にあることを示す.

証明

 △ABCにおいて,$\angle{\rm B}$の外角の二等分線と$\angle{\rm C}$の外角の二等分線との交点を${\rm I}_1$とし,${\rm I}_1$から直線BC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとすると, \[{\rm I_1D}={\rm I_1E},\ {\rm I_1D}={\rm I_1F}\] \[\therefore {\rm I_1E}={\rm I_1F}\]

 これは,${\rm I_1}$が$\angle{\rm A}$の二等分線上にあることを意味するから,三角形の1つの内角の二等分線と,他の2つの角の外角の二等分線は1点で交わる.

補足

 この定理の証明過程により,1辺と他の2辺の延長線に接する円が存在する.

 この円を傍接円といい,傍接円の中心を傍心という.1つの三角形に対して,傍接円,傍心が3個ずつ存在する.

 図の点 ${\rm I}$ は,△ABCの内心であり,また対頂角が等しいことなどに注意をすると,△${\rm I_1\,I_2\,I_3}$ の垂心でもある.


高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート