高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート

1.接弦定理

接弦定理
直線ATが円の接線 $\Rightarrow \angle{\rm TAB}=\angle{\rm ACB}$
証明の方針

1.∠TABが鋭角,直角,鈍角で3通りの場合分け.
  ↓
2. 半円の弧に対する円周角が90°であることを利用.

証明

[1] ∠TABが鋭角のとき

 直径AODをとると,∠ACB$=$∠ADB(∵円周角の定理)より,

\[\angle{\rm BAT}=\angle{\rm ADB}\ \ \cdots(*)\]

を示せばよい.

\[\begin{align*} \angle{\rm BAT}&=\angle{\rm DAT}-\angle{\rm DAB}\\[5pt] &=\ 90^\circ-\angle{\rm DAB}\ \ \cdots\mbox{①} \end{align*}\]

 また,半円の弧に対する円周角は90°であるから∠ABD$=$90°.よって△ABDの内角の関係より,

\[\begin{align*} \angle{\rm ADB}&=180^\circ-(\angle{\rm ABD}+\angle{\rm DAB})\\[5pt] &=180^\circ-(\ 90^\circ+\angle{\rm DAB})\\[5pt] &=\ 90^\circ-\angle{\rm DAB}\ \ \cdots\mbox{②} \end{align*}\]

 よって,①,②より $(*)$ が示された.

[2] ∠TABが直角のとき

 半円の弧に対する円周角は90°であるから∠TAB$=$∠ACBは成り立つ.

[3] ∠TABが鈍角のとき

 図のように点Sをとると, ∠SAT$=$180°であるから,

\[\angle{\rm TAB}=180^\circ-(\angle{\rm SAC}+\angle{\rm CAB})\ \ \cdots\mbox{③}\]

 また∠SACは鋭角であるから,先に示した[1]により

\[\angle{\rm SAC}=\angle{\rm ABC}\]

 よって△ABCの内角の関係より

\[\begin{align*} \angle{\rm ACB}&=180^\circ-(\angle{\rm ABC}+\angle{\rm CAB})\\[5pt] &=180^\circ-(\angle{\rm SAC}+\angle{\rm CAB})\ \ \cdots\mbox{④} \end{align*}\]

 ③,④より∠TAB$=$∠ACBが示された.

2.接弦定理の逆

接弦定理の逆
$\angle{\rm TAB}=\angle{\rm ACB}\Rightarrow$ 直線ATは円の接線
証明の方針

1.点Aを通る接線上に点T$’$をとる.
  ↓
2. 上で示した接弦定理を利用

証明

 図のように点Aを通る円の接線上に点T$’$をとると,接弦定理により

\[\angle{\rm T’AB}=\angle{\rm ACB}\]

が成り立つ.よって仮定の式とから,

\[\angle{\rm TAB}=\angle{\rm T’AB}\]

 従って2直線AT,AT’は一致するから,直線ATは円の接線である.


高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート