高校数学[総目次]
数学A 第3章 図形の性質
第3章 図形の性質
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. チェバの定理 | |||
| 2. メネラウスの定理 | |||
| 3. チェバの定理の逆 | |||
| 4. メネラウスの定理の逆 | |||
| 5. 円に内接する四角形 | |||
| 6. 接弦定理とその逆 | |||
| 7. 方べきの定理とその逆 | |||
| 8. 三角形の五心 | |||
| 重心 | |||
| 外心 | |||
| 垂心 | |||
| 内心 | |||
| 傍心 |
中学校の範囲
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 円周角の定理 | |||
| 2. 円周角の定理の逆 |
1．接弦定理
証明の方針
1．∠TABが鋭角，直角，鈍角の3通りに場合分け．
↓
2．半円の弧に対する円周角が90°であることを利用．
証明
[1] ∠TABが鋭角のとき
直径AODをとると，∠ACB$=$∠ADB（∵円周角の定理）より，
\[\angle{\rm TAB}=\angle{\rm ADB}\ \ \cdots(*)\]
を示せばよい．
\[\begin{align*}
\angle{\rm TAB}&=\angle{\rm DAT}-\angle{\rm DAB}\\[5pt]
&=\ 90^\circ-\angle{\rm DAB}\ \ \cdots\mbox{①}
\end{align*}\]
また，半円の弧に対する円周角は90°であるから∠ABD$=$90°．よって△ABDの内角の関係より，
\[\begin{align*}
\angle{\rm ADB}&=180^\circ-(\angle{\rm ABD}+\angle{\rm DAB})\\[5pt]
&=180^\circ-(\ 90^\circ+\angle{\rm DAB})\\[5pt]
&=\ 90^\circ-\angle{\rm DAB}\ \ \cdots\mbox{②}
\end{align*}\]
よって，①，②より $(*)$ が示された．
[2] ∠TABが直角のとき
半円の弧に対する円周角は90°であるから∠TAB$=$∠ACBは成り立つ．
[3] ∠TABが鈍角のとき
図のように点Sをとると，∠SACは鋭角であるから，先に示した[1]により
\[\angle{\rm SAC}=\angle{\rm ABC}\]
よって，∠SAT$=$180°であるから，
\[\begin{align*}
\angle{\rm TAB}&=180^\circ-(\angle{\rm SAC}+\angle{\rm CAB})\\[5pt]
&=180^\circ-(\angle{\rm ABC}+\angle{\rm CAB})\ \ \cdots\mbox{③}
\end{align*}\]
一方，△ABCの内角の関係より
\[\angle{\rm ACB}=180^\circ-(\angle{\rm ABC}+\angle{\rm CAB})\ \ \cdots\mbox{④}\]
③，④より∠TAB$=$∠ACBが示された．
■
2．接弦定理の逆
