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高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

第3章 図形の性質

  スライド ノート
1. チェバの定理 [無料]  
2. メネラウスの定理 [無料]  
3. チェバの定理の逆 [無料]  
4. メネラウスの定理の逆 [会員]  
5. 円に内接する四角形 [会員]  
6. 接弦定理とその逆 [会員]  
7. 方べきの定理とその逆 [会員]  
8. 三角形の五心    
  重心    
  外心    
  垂心    
  内心    
  傍心    

中学校の範囲
1. 円周角の定理    
2. 円周角の定理の逆    

1.接弦定理

接弦定理
直線ATが円の接線 $\Rightarrow \angle{\rm TAB}=\angle{\rm ACB}$
証明の方針

1.∠TABが鋭角,直角,鈍角の3通りに場合分け.
  ↓
2.半円の弧に対する円周角が90°であることを利用.

証明

[1] ∠TABが鋭角のとき

 直径AODをとると,∠ACB$=$∠ADB(∵円周角の定理)より,

\[\angle{\rm TAB}=\angle{\rm ADB}\ \ \cdots(*)\]

を示せばよい.

\[\begin{align*} \angle{\rm TAB}&=\angle{\rm DAT}-\angle{\rm DAB}\\[5pt] &=\ 90^\circ-\angle{\rm DAB}\ \ \cdots\mbox{①} \end{align*}\]

 また,半円の弧に対する円周角は90°であるから∠ABD$=$90°.よって△ABDの内角の関係より,

\[\begin{align*} \angle{\rm ADB}&=180^\circ-(\angle{\rm ABD}+\angle{\rm DAB})\\[5pt] &=180^\circ-(\ 90^\circ+\angle{\rm DAB})\\[5pt] &=\ 90^\circ-\angle{\rm DAB}\ \ \cdots\mbox{②} \end{align*}\]

 よって,①,②より $(*)$ が示された.

[2] ∠TABが直角のとき

 半円の弧に対する円周角は90°であるから∠TAB$=$∠ACBは成り立つ.

[3] ∠TABが鈍角のとき

 図のように点Sをとると,∠SACは鋭角であるから,先に示した[1]により

\[\angle{\rm SAC}=\angle{\rm ABC}\]

 よって,∠SAT$=$180°であるから,

\[\begin{align*} \angle{\rm TAB}&=180^\circ-(\angle{\rm SAC}+\angle{\rm CAB})\\[5pt] &=180^\circ-(\angle{\rm ABC}+\angle{\rm CAB})\ \ \cdots\mbox{③} \end{align*}\]

 一方,△ABCの内角の関係より

\[\angle{\rm ACB}=180^\circ-(\angle{\rm ABC}+\angle{\rm CAB})\ \ \cdots\mbox{④}\]

 ③,④より∠TAB$=$∠ACBが示された.

2.接弦定理の逆

接弦定理の逆
$\angle{\rm TAB}=\angle{\rm ACB}\Rightarrow$ 直線ATは円の接線
証明の流れ

1.点Aを通る接線上に点T$’$をとる.
  ↓
2. 上で示した接弦定理を利用

証明

 図のように点Aを通る円の接線上に点T$’$をとると,接弦定理により

\[\angle{\rm T’AB}=\angle{\rm ACB}\]

が成り立つ.よって仮定の式とから,

\[\angle{\rm TAB}=\angle{\rm T’AB}\]

 従って2直線AT,AT’は一致するから,直線ATは円の接線である.


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