高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

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1. チェバの定理 無料  【ノート
2. メネラウスの定理 無料ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート

1.中心角と円周角

定理
中心角が等しい $\iff$ 弧の長さが等しい

∠AOB$=$∠COD $\iff$ 弧AB$=$弧CD

証明

 中心角が等しいとき,回転移動させると2つの扇形はぴったりと重なるから,弧の長さも等しい.
 弧の長さが等しいとき,回転移動させると2つの扇形はぴったりと重なるから,中心角も等しい.

 上の定理から,中心角を2倍,3倍とすれば,弧の長さも2倍,3倍になる.
 逆に,弧の長さを2倍,3倍とすれば,中心角も2倍,3倍となる.

 一般に次が成り立つ:

定理
弧の長さは中心角に比例する.

注意

 の長さは中心角に比例しない

定理
弧の長さが等しい $\iff$ 弦の長さが等しい

証明の概要

$\Rightarrow$) 弧の長さが等しいならば,中心角が等しい.(∵上の定理)
     ↓
  2つの二等辺三角形は合同(∵ 2辺夾角相等).
     ↓
  対応する辺(弦)の長さが等しい.
$\Leftarrow$) 弦の長さが等しいならば,2つの二等辺三角形は合同(∵ 3辺相等).
     ↓
  対応する角(中心角)が等しいから弧の長さが等しい.(∵上の定理)

2.円周角の定理

円周角の定理
  • 同じ弧に対する円周角は等しい.
  • (円周角) $=\dfrac12\times$(中心角)

証明の流れ

1.「(円周角) $=\dfrac12\times$(中心角)」を示す.
    → 円の中心Oがどの位置にあるかで3通りに場合分け.

2.「同じ弧に対する円周角は等しい」は,中心角を経由して示す.

証明

まず,「(円周角) $=\dfrac12\times$(中心角)」を示す.

[1] 中心Oが∠APBの内側にあるとき

 図のように点Qをとると,三角形の内角と外角の関係により, \[\begin{align*} \angle {\rm AOQ}&=2\ \angle {\rm APO}\ \ \cdots\mbox{①}\\[5pt] \angle {\rm BOQ}&=2\ \angle {\rm BPO}\ \ \cdots\mbox{②} \end{align*}\]  よって, \[\begin{align*} \angle {\rm AOB}&=\angle {\rm AOQ}+\angle {\rm BOQ}\\[5pt] &=2\ \angle {\rm APO}+2\ \angle {\rm BPO}\ \ (\because\mbox{①,②})\\[5pt] &=2\ (\angle {\rm APO}+\angle {\rm BPO})\ \ (\mbox{2でくくった})\\[5pt] &=2\ \angle {\rm APB} \end{align*}\] \[\therefore \angle {\rm APB}=\frac12\angle {\rm AOB}\]

[2] 中心Oが線分APまたはBP上にあるとき

 三角形の内角と外角の関係より$\angle {\rm APB}=\dfrac12\angle {\rm AOB}$.

[3] 中心Oが∠APBの外側にあるとき

 図のように点Qをとると,弧AQについて \[\angle{\rm APQ}=\frac12\angle{\rm AOQ}\ \ \cdots\mbox{①}\] が成り立つ(∵[2]).同様に弧BQについても \[\angle{\rm BPQ}=\frac12\angle{\rm BOQ}\ \ \cdots\mbox{②}\] が成り立つ.よって, \[\begin{align*} \angle{\rm APB}&=\angle{\rm APQ}-\angle{\rm BPQ}\\[5pt] &=\frac12\angle{\rm AOQ}-\frac12\angle{\rm BOQ}\ \ (\because\mbox{①,②})\\[5pt] &=\frac12(\angle{\rm AOQ}-\angle{\rm BOQ})\ \ (\frac12\mbox{でくくった})\\[5pt] &=\frac12\angle{\rm AOB} \end{align*}\]

 以上により, \[(\mbox{円周角}) =\frac12\times(\mbox{中心角})\] が示された.

次に,同じ弧に対する円周角は等しいことを示す.

 同じ弧に対する円周角は,常にその弧の中心角の半分であるからどれも等しい.

 以上により,円周角の定理が示された.

補足

 円周角の定理から直ちに次が成り立つ:


半円の弧に対する円周角は90°である.
証明

 半円の弧に対する中心角は180°であるから,円周角の定理により円周角はその半分の90°である.

3.弧と円周角

定理
円周角が等しい $\iff$ 弧の長さが等しい

証明の概要

「中心角が等しい $\iff$ 弧の長さが等しい」及び「(円周角) $=\dfrac12\times$ (中心角)」を利用して示す.

証明

    円周角が等しい
$\iff$ 中心角が等しい(∵円周角の定理)
$\iff$ 弧の長さが等しい (∵上の定理)


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