円周角の定理(ノート)

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

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中学校の範囲

1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆

1．中心角と円周角

定理

中心角が等しい $\iff$　弧の長さが等しい

証明

　中心角が等しいとき，回転移動させると2つの扇形はぴったりと重なるから，弧の長さも等しい．
　弧の長さが等しいとき，回転移動させると2つの扇形はぴったりと重なるから，中心角も等しい．

■

　上の定理から，中心角を2倍，3倍とすれば，弧の長さも2倍，3倍になる．
　逆に，弧の長さを2倍，3倍とすれば，中心角も2倍，3倍となる．

　一般に次が成り立つ：

定理

弧の長さは中心角に比例する．

注意

　弦の長さは中心角に比例しない．

定理

弧の長さが等しい $\iff$ 弦の長さが等しい

証明の概要

$\Rightarrow$)　弧の長さが等しいならば，中心角が等しい．(∵上の定理)
　　　　　↓
　　2つの二等辺三角形は合同(∵ 2辺夾角相等)．
　　　　　↓
　　対応する辺(弦)の長さが等しい．
$\Leftarrow$)　弦の長さが等しいならば，2つの二等辺三角形は合同(∵ 3辺相等)．
　　　　　↓
　　対応する角(中心角)が等しいから弧の長さが等しい．(∵上の定理)

■

2．円周角の定理

円周角の定理

同じ弧に対する円周角は等しい．
(円周角) $=\dfrac12\times$(中心角)

証明の流れ

1．「(円周角) =$\boldsymbol{\dfrac12}$×(中心角)」を示す．: 円の中心Oがどの位置にあるかで3通りに場合分け．

2．「同じ弧に対する円周角は等しい」を示す．: 中心角を経由して示す．

証明

まず，「(円周角) $\boldsymbol{=\dfrac12\times}$(中心角)」を示す．

[1] 中心Oが∠APBの内側にあるとき

　図のように直径PQをとると，三角形の内角と外角の関係により， \[\begin{align*} \angle {\rm AOQ}&=2\ \angle {\rm APO}\ \ \cdots\mbox{①}\\[5pt] \angle {\rm BOQ}&=2\ \angle {\rm BPO}\ \ \cdots\mbox{②} \end{align*}\] 　よって， \[\begin{align*} \angle {\rm AOB}&=\angle {\rm AOQ}+\angle {\rm BOQ}\\[5pt] &=2\ \angle {\rm APO}+2\ \angle {\rm BPO}\ \ (\because\mbox{①，②})\\[5pt] &=2\ (\angle {\rm APO}+\angle {\rm BPO})\ \ (\mbox{2でくくった})\\[5pt] &=2\ \angle {\rm APB} \end{align*}\] \[\therefore \angle {\rm APB}=\frac12\angle {\rm AOB}\]

[2] 中心Oが線分APまたはBP上にあるとき

　三角形の内角と外角の関係より$\angle {\rm APB}=\dfrac12\angle {\rm AOB}$．

[3] 中心Oが∠APBの外側にあるとき

　図のように直径PQをとると，弧AQについて \[\angle{\rm APQ}=\frac12\angle{\rm AOQ}\ \ \cdots\mbox{①}\] が成り立つ(∵[2])．同様に弧BQについても \[\angle{\rm BPQ}=\frac12\angle{\rm BOQ}\ \ \cdots\mbox{②}\] が成り立つ．よって， \[\begin{align*} \angle{\rm APB}&=\angle{\rm APQ}-\angle{\rm BPQ}\\[5pt] &=\frac12\angle{\rm AOQ}-\frac12\angle{\rm BOQ}\ \ (\because\mbox{①，②})\\[5pt] &=\frac12(\angle{\rm AOQ}-\angle{\rm BOQ})\ \ (\frac12\mbox{でくくった})\\[5pt] &=\frac12\angle{\rm AOB} \end{align*}\]

　以上により，
\[(\mbox{円周角}) =\frac12\times(\mbox{中心角})\]
が示された．

次に，「同じ弧に対する円周角は等しい」を示す．

　同じ弧に対する円周角は，常にその弧の中心角の半分であるからどれも等しい．

　以上により，円周角の定理が示された．

■