1.中心角と円周角

定理
中心角が等しい $\iff$ 弧の長さが等しい

∠AOB$=$∠COD $\iff$ 弧AB$=$弧CD

証明

 (弧の長さ)$=$(円周)$\times\dfrac{\mbox{中心角}}{360^\circ}$より明らか.

定理
弧の長さは中心角に比例する.
基本事項の確認

 $y=ax$(ただし$a$は定数)と表されるとき,「$y$は$x$に比例する」という.

証明

 (弧の長さ)$=$(円周)$\times\dfrac{\mbox{中心角}}{360^\circ}$であるから示された.

注意

 の長さは中心角に比例しない

定理
弧の長さが等しい $\iff$ 弦の長さが等しい

証明の概要

$\Rightarrow$) 弧の長さが等しいならば,中心角が等しい.(∵上の定理)
     ↓
  2つの二等辺三角形は合同(∵ 2辺夾角相等).
     ↓
  対応する辺(弦)の長さが等しい.
$\Leftarrow$) 弦の長さが等しいならば,2つの二等辺三角形は合同(∵ 3辺相等).
     ↓
  対応する角(中心角)が等しいから弧の長さが等しい.(∵上の定理)

2.円周角の定理

円周角の定理
  • 同じ弧に対する円周角は等しい.
  • (円周角) $=\dfrac12\times$(中心角)

証明の流れ

1.「(円周角) $=\dfrac12\times$(中心角)」を示す.
    → 円の中心Oがどの位置にあるかで3通りに場合分け.

2.「同じ弧に対する円周角は等しい」は,中心角を経由して示す.

証明

まず,「(円周角) $=\dfrac12\times$(中心角)」を示す.

[1] 中心Oが∠APBの内側にあるとき

 図のように点Qをとると,三角形の内角と外角の関係により, \[\begin{align*} \angle {\rm AOQ}&=2\ \angle {\rm APO}\ \ \cdots\mbox{①}\\[5pt] \angle {\rm BOQ}&=2\ \angle {\rm BPO}\ \ \cdots\mbox{②} \end{align*}\]  よって, \[\begin{align*} \angle {\rm AOB}&=\angle {\rm AOQ}+\angle {\rm BOQ}\\[5pt] &=2\ \angle {\rm APO}+2\ \angle {\rm BPO}\ \ (\because\mbox{①,②})\\[5pt] &=2\ (\angle {\rm APO}+\angle {\rm BPO})\ \ (\mbox{2でくくった})\\[5pt] &=2\ \angle {\rm APB} \end{align*}\] \[\therefore \angle {\rm APB}=\frac12\angle {\rm AOB}\]

[2] 中心Oが線分APまたはBP上にあるとき

 三角形の内角と外角の関係より$\angle {\rm APB}=\dfrac12\angle {\rm AOB}$.

[3] 中心Oが∠APBの外側にあるとき

 図のように点Qをとると,弧AQについて \[\angle{\rm APQ}=\frac12\angle{\rm AOQ}\ \ \cdots\mbox{①}\] が成り立つ(∵[2]).同様に弧BQについても \[\angle{\rm BPQ}=\frac12\angle{\rm BOQ}\ \ \cdots\mbox{②}\] が成り立つ.よって, \[\begin{align*} \angle{\rm APB}&=\angle{\rm APQ}-\angle{\rm BPQ}\\[5pt] &=\frac12\angle{\rm AOQ}-\frac12\angle{\rm BOQ}\ \ (\because\mbox{①,②})\\[5pt] &=\frac12(\angle{\rm AOQ}-\angle{\rm BOQ})\ \ (\frac12\mbox{でくくった})\\[5pt] &=\frac12\angle{\rm AOB} \end{align*}\]

 以上により, \[(\mbox{円周角}) =\frac12\times(\mbox{中心角})\] が示された.

次に,同じ弧に対する円周角は等しいことを示す.

 同じ弧に対する円周角は,常にその弧の中心角の半分であるからどれも等しい.

 以上により,円周角の定理が示された.

補足

 円周角の定理から直ちに次が成り立つ:


半円の弧に対する円周角は90°である.
証明

 半円の弧に対する中心角は180°であるから,円周角の定理により円周角はその半分の90°である.

3.弧と円周角

定理
円周角が等しい $\iff$ 弧の長さが等しい

証明の概要

「中心角が等しい $\iff$ 弧の長さが等しい」及び「(円周角) $=\dfrac12\times$ (中心角)」を利用して示す.

証明

    円周角が等しい
$\iff$ 中心角が等しい(∵円周角の定理)
$\iff$ 弧の長さが等しい (∵上の定理)