高校数学[総目次]
数学A 第3章 図形の性質
第3章 図形の性質
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1．中心角と円周角
証明
中心角が等しいとき，回転移動させると2つの扇形はぴったりと重なるから，弧の長さも等しい．
弧の長さが等しいとき，回転移動させると2つの扇形はぴったりと重なるから，中心角も等しい．
■
上の定理から，中心角を2倍，3倍とすれば，弧の長さも2倍，3倍になる．
逆に，弧の長さを2倍，3倍とすれば，中心角も2倍，3倍となる．
一般に次が成り立つ：
注意
弦の長さは中心角に比例しない．
証明の概要
$\Rightarrow$) 弧の長さが等しいならば，中心角が等しい．(∵上の定理)
↓
2つの二等辺三角形は合同(∵ 2辺夾角相等)．
↓
対応する辺(弦)の長さが等しい．
$\Leftarrow$) 弦の長さが等しいならば，2つの二等辺三角形は合同(∵ 3辺相等)．
↓
対応する角(中心角)が等しいから弧の長さが等しい．(∵上の定理)
2．円周角の定理
- 同じ弧に対する円周角は等しい．
- (円周角) $=\dfrac12\times$(中心角)
証明の流れ
1．「(円周角) $=\dfrac12\times$(中心角)」を示す．
→ 円の中心Oがどの位置にあるかで3通りに場合分け．
↓
2．「同じ弧に対する円周角は等しい」は，中心角を経由して示す．
証明
まず，「(円周角) $\boldsymbol{=\dfrac12\times}$(中心角)」を示す．
[1] 中心Oが∠APBの内側にあるとき
図のように点Qをとると，三角形の内角と外角の関係により， \[\begin{align*} \angle {\rm AOQ}&=2\ \angle {\rm APO}\ \ \cdots\mbox{①}\\[5pt] \angle {\rm BOQ}&=2\ \angle {\rm BPO}\ \ \cdots\mbox{②} \end{align*}\] よって， \[\begin{align*} \angle {\rm AOB}&=\angle {\rm AOQ}+\angle {\rm BOQ}\\[5pt] &=2\ \angle {\rm APO}+2\ \angle {\rm BPO}\ \ (\because\mbox{①，②})\\[5pt] &=2\ (\angle {\rm APO}+\angle {\rm BPO})\ \ (\mbox{2でくくった})\\[5pt] &=2\ \angle {\rm APB} \end{align*}\] \[\therefore \angle {\rm APB}=\frac12\angle {\rm AOB}\]
[2] 中心Oが線分APまたはBP上にあるとき
三角形の内角と外角の関係より$\angle {\rm APB}=\dfrac12\angle {\rm AOB}$．
[3] 中心Oが∠APBの外側にあるとき
図のように点Qをとると，弧AQについて \[\angle{\rm APQ}=\frac12\angle{\rm AOQ}\ \ \cdots\mbox{①}\] が成り立つ(∵[2])．同様に弧BQについても \[\angle{\rm BPQ}=\frac12\angle{\rm BOQ}\ \ \cdots\mbox{②}\] が成り立つ．よって， \[\begin{align*} \angle{\rm APB}&=\angle{\rm APQ}-\angle{\rm BPQ}\\[5pt] &=\frac12\angle{\rm AOQ}-\frac12\angle{\rm BOQ}\ \ (\because\mbox{①，②})\\[5pt] &=\frac12(\angle{\rm AOQ}-\angle{\rm BOQ})\ \ (\frac12\mbox{でくくった})\\[5pt] &=\frac12\angle{\rm AOB} \end{align*}\]
以上により， \[(\mbox{円周角}) =\frac12\times(\mbox{中心角})\] が示された．
次に，「同じ弧に対する円周角は等しい」を示す．
同じ弧に対する円周角は，常にその弧の中心角の半分であるからどれも等しい．
以上により，円周角の定理が示された．
補足
円周角の定理から直ちに次が成り立つ：
証明
半円の弧に対する中心角は180°であるから，円周角の定理により円周角はその半分の90°である．
3．弧と円周角
証明の概要
「中心角が等しい $\iff$ 弧の長さが等しい」及び「(円周角) $=\dfrac12\times$ (中心角)」を利用して示す．
証明
円周角が等しい
$\iff$ 中心角が等しい(∵円周角の定理)
$\iff$ 弧の長さが等しい (∵上の定理)
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