7．方べきの定理とその逆(ノート)
スライドで学ぶ高校数学

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高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

中学校の範囲

1．方べきの定理

方べきの定理
　下の図の①～③について，次が成り立つ：

\[\begin{array}{cll} \mbox{①},\mbox{②}&:&4\mbox{点A，B，C，Dが同一円周上}\\[5pt] &&\Rightarrow{\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PC}\cdot{\rm PD} \end{array}\]

③：PTが△ABTの外接円の接線
（従ってTは接点）

\[\Rightarrow{\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PT}^2\]

証明の方針

　三角形の相似を示す．
　　　↓
　「対応する辺の比は等しい」を利用．

証明

①，②

　△PAC∽△PDB（∵2角相等）より \[{\rm PA}:{\rm PD}={\rm PC}:{\rm PB}\] \[\therefore {\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PC}\cdot{\rm PD}\]

③

　△PATと△PTBについて，∠Pは共通，接弦定理により∠PTA$=$∠PBTであるから，△PAT∽△PTB (2角相等)．よって， \[{\rm PA}:{\rm PT}={\rm PT}:{\rm PB}\] \[\therefore {\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PT}^2\]

■

2．方べきの定理の逆

方べきの定理の逆
下の図の①～③について，次が成り立つ：

\[\begin{array}{cll} \mbox{①},\mbox{②}&:&{\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PC}\cdot{\rm PD}\\[5pt] &&\Rightarrow 4\mbox{点A，B，C，Dは同一円周上} \end{array}\]

\[\begin{array}{cll} \mbox{③}&:&{\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PT}^2\\[5pt] &&\Rightarrow {\rm PT}\mbox{は}\triangle{\rm ABT}\mbox{の外接円の接線}\\ &&\hspace{10mm}(\mbox{従って}{\rm T}\mbox{は接点}) \end{array}\]

証明の方針

①と②
　△ABCの外接円と半直線PDの交点D’をとる．
　　　↓
　DとD’が一致することを示す．

③
　三角形の相似を示す．
　　　↓
　接弦定理の逆 を利用．

証明

①，②

　△ABCの外接円と半直線PDとの交点をD’とする．

　方べきの定理により

PA $\cdot$ PB $=$ PC $\cdot$ PD’

　また仮定より

PA $\cdot$ PB $=$ PC $\cdot$ PD

　従ってPD’$=$PDであるから，半直線PD上の2点DとD’は一致する．
　よって，4点A，B，C，Dは同一円周上にある．

③

　△PTAと△PBTにおいて，

∠Pは共通　$\cdots$ ①

　仮定よりPA $\cdot$ PB $=$ PT$^2$であるから，

$\dfrac{\rm PA}{\rm PT}=\dfrac{\rm PT}{\rm PB}$

　よって，

PA：PT $=$ PT：PB　$\cdots$ ②

　①，②より，△PTA∽△PBT（∵2辺比夾角相等)．

　従って∠PTA $=$ ∠PBTとなるから，接弦定理の逆 により，直線PTは円の接線である．

■

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