高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート

1.方べきの定理

方べきの定理
 下の図の①~③について,次が成り立つ:
①弦が交点をもつとき
②弦の延長上に交点があるとき
\[\begin{array}{cll} \mbox{①},\mbox{②}&:&4\mbox{点A,B,C,Dが同一円周上}\\[5pt] &&\Rightarrow{\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PC}\cdot{\rm PD} \end{array}\]
③Tが円の接点のとき
③:PTが△ABTの外接円の接線
(従ってTは接点)
\[\Rightarrow{\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PT}^2\]
証明の方針

 三角形の相似を示す.
   ↓
 「対応する辺の比は等しい」を利用.

証明

①,②

①弦が交点をもつとき
②弦の延長上に交点があるとき

 △PAC∽△PDB(∵2角相等)より \[{\rm PA}:{\rm PD}={\rm PC}:{\rm PB}\] \[\therefore {\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PC}\cdot{\rm PD}\]

③Tが円の接点のとき

 △PATと△PTBについて,∠Pは共通,接弦定理により∠PTA$=$∠PBTであるから,△PAT∽△PTB (2角相等).よって, \[{\rm PA}:{\rm PT}={\rm PT}:{\rm PB}\] \[\therefore {\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PT}^2\]

2.方べきの定理の逆

方べきの定理の逆
下の図の①~③について,次が成り立つ:
①ABとCDが交点をもつとき
②AB,CDの延長上に交点があるとき
\[\begin{array}{cll} \mbox{①},\mbox{②}&:&{\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PC}\cdot{\rm PD}\\[5pt] &&\Rightarrow 4\mbox{点A,B,C,Dは同一円周上} \end{array}\]
\[\begin{array}{cll} \mbox{③}&:&{\rm PA}\cdot{\rm PB}={\rm PT}^2\\[5pt] &&\Rightarrow {\rm PT}\mbox{は}\triangle{\rm ABT}\mbox{の外接円の接線}\\ &&\hspace{10mm}(\mbox{従って}{\rm T}\mbox{は接点}) \end{array}\]
証明の方針

①と②
 △ABCの外接円と半直線PDの交点D’をとる.
   ↓
 DとD’が一致することを示す.


 三角形の相似を示す.
   ↓
 接弦定理の逆を利用.

証明

①,②

 △ABCの外接円と半直線PDとの交点をD’とする.

 方べきの定理により

PA $\cdot$ PB $=$ PC $\cdot$ PD’

 また仮定より

PA $\cdot$ PB $=$ PC $\cdot$ PD

 従ってPD’$=$PDであるから,半直線PD上の2点DとD’は一致する.
 よって,4点A,B,C,Dは同一円周上にある.

 △PTAと△PBTにおいて,

∠Pは共通 $\cdots$ ①

 仮定よりPA $\cdot$ PB $=$ PT$^2$であるから,

$\dfrac{\rm PA}{\rm PT}=\dfrac{\rm PT}{\rm PB}$

 よって,

PA:PT $=$ PT:PB $\cdots$ ②

 ①,②より,△PTA∽△PBT(∵2辺比夾角相等).

 従って∠PTA $=$ ∠PBTとなるから,接弦定理の逆により,直線PTは円の接線である.


高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート