高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

第3章 図形の性質

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1. チェバの定理 [無料]  
2. メネラウスの定理 [無料]  
3. チェバの定理の逆 [無料]  
4. メネラウスの定理の逆 [会員]  
5. 円に内接する四角形 [会員]  
6. 接弦定理とその逆 [会員]  
7. 方べきの定理とその逆 [会員]  
8. 三角形の五心    
  重心    
  外心    
  垂心    
  内心    
  傍心    

中学校の範囲
1. 円周角の定理    
2. 円周角の定理の逆    

1.円と弦

定理
[1] 円の中心Oから弦ABに引いた垂線は,その弦を2等分する.
[2] 円の中心Oは弦ABの垂直二等分線上にある.

 

基本事項の確認
  • 線分ABの垂直二等分線とは,2点A,Bから等しい距離にある点の集合である.

証明

[1] △OAM≡△OBM(∵直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい)であるから, \[{\rm AM}={\rm BM}\] [2] OA=OBであるから,直線OMは弦ABの垂直二等分線である.

2.外心

定理
 三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わる.
証明の方針

 2つの辺の垂直二等分線の交点をとる.
   ↓
 この点が残った辺の垂直二等分線上にもあることを示す.

証明

辺ABとACの垂直二等分線の交点をOとする.

上の基本事項により \[\left\{\begin{array}{l} {\rm OA}={\rm OB}\\[5pt] {\rm OA}={\rm OC} \end{array}\right.\] であるから, \[{\rm OB}={\rm OC}\] が成り立つ:

 よって,上の基本事項により,点Oは辺BCの垂直二等分線上にもあるから,3本の垂直二等分線は1点Oで交わることが示された.

補足

 定理の証明過程から,どんな三角形にも3つの頂点を通る円がただ1つ存在することがわかる.何故というに,2本の垂直二等分線は平行でないため,交点が必ず存在するからである.3頂点を通る円をその三角形の外接円といい,外接円の中心を外心という.


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