高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート

1.円と弦

定理
[1] 円の中心Oから弦ABに引いた垂線は,その弦を2等分する.
[2] 円の中心Oは弦ABの垂直二等分線上にある.

 

基本事項の確認
  • 線分ABの垂直二等分線とは,2点A,Bから等しい距離にある点の集合である.

証明

[1] △OAM≡△OBM(∵直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい)であるから, \[{\rm AM}={\rm BM}\] [2] OA=OBであるから,直線OMは弦ABの垂直二等分線である.

2.外心

定理
 三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わる.
証明の方針

 2つの辺の垂直二等分線の交点をとる.
   ↓
 この点が残った辺の垂直二等分線上にもあることを示す.

証明

辺ABとACの垂直二等分線の交点をOとする.

上の基本事項により \[\left\{\begin{array}{l} {\rm OA}={\rm OB}\\[5pt] {\rm OA}={\rm OC} \end{array}\right.\] であるから, \[{\rm OB}={\rm OC}\] が成り立つ:

 よって,上の基本事項により,点Oは辺BCの垂直二等分線上にもあるから,3本の垂直二等分線は1点Oで交わることが示された.

補足

 定理の証明過程から,どんな三角形にも3つの頂点を通る円がただ1つ存在することがわかる.何故というに,2本の垂直二等分線は平行でないため,交点が必ず存在するからである.3頂点を通る円をその三角形の外接円といい,外接円の中心を外心という.


高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート