三角形の五心 – 外心(ノート)

数学A　第3章　図形の性質

1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆

1．円と弦

定理
[1]　円の中心Oから弦ABに引いた垂線は，その弦を2等分する．
[2]　円の中心Oは弦ABの垂直二等分線上にある．

[1]　△OAM≡△OBM（∵直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい）であるから， \[{\rm AM}={\rm BM}\] [2]　OA=OBであるから，直線OMは弦ABの垂直二等分線である．

■

定理
　三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わる．

　2つの辺の垂直二等分線の交点をとる．
　　　↓
　この点が残った辺の垂直二等分線上にもあることを示す．

辺ABとACの垂直二等分線の交点をOとする．

上の基本事項により \[\left\{\begin{array}{l} {\rm OA}={\rm OB}\\[5pt] {\rm OA}={\rm OC} \end{array}\right.\] であるから， \[{\rm OB}={\rm OC}\] が成り立つ：

　よって，上の基本事項により，点Oは辺BCの垂直二等分線上にもあるから，3本の垂直二等分線は1点Oで交わることが示された．

■

　定理の証明過程から，どんな三角形にも3つの頂点を通る円がただ1つ存在することがわかる．何故というに，2本の垂直二等分線は平行でないため，交点が必ず存在するからである．3頂点を通る円をその三角形の外接円といい，外接円の中心を外心という．

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数学A　第3章　図形の性質

1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆