1.円と弦

定理
[1] 円の中心Oから弦ABに引いた垂線は,その弦を2等分する.
[2] 円の中心Oは弦ABの垂直二等分線上にある.

 

基本事項の確認
  • 線分ABの垂直二等分線とは,2点A,Bから等しい距離にある点の集合である.

証明

[1] △OAM≡△OBM(∵直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい)であるから, \[{\rm AM}={\rm BM}\] [2] OA=OBであるから,直線OMは弦ABの垂直二等分線である.

2.外心

定理
 三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わる.
証明の方針

 2つの辺の垂直二等分線の交点をとる.
   ↓
 この点が残った辺の垂直二等分線上にもあることを示す.

証明

辺ABとACの垂直二等分線の交点をOとする.

上の基本事項により \[\left\{\begin{array}{l} {\rm OA}={\rm OB}\\[5pt] {\rm OA}={\rm OC} \end{array}\right.\] であるから, \[{\rm OB}={\rm OC}\] が成り立つ:

 よって,上の基本事項により,点Oは辺BCの垂直二等分線上にもあるから,3本の垂直二等分線は1点Oで交わることが示された.

補足

 定理の証明過程から,どんな三角形にも3つの頂点を通る円がただ1つ存在することがわかる.何故というに,2本の垂直二等分線は平行でないため,交点が必ず存在するからである.3頂点を通る円をその三角形の外接円といい,外接円の中心を外心という.