高校数学[総目次]
数学A 第3章 図形の性質
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1．中線とは
三角形の頂点と，その頂点に対応する辺の中点とを結んだ線分を中線という．三角形には3本の中線がある．
2．重心
2本の直線は平行でなければ必ず1点で交わる．ところがここにもう1本追加して3本の直線を考えると，必ずしも1点で交わるとは限らない．
ところが三角形においてはその形状にかかわらず，いつでも例外なく3本の中線が1点で交わるというのである．
定理
三角形の3本の中線は1点で交わり，その点は各中線を$2:1$に内分する．
三角形の3本の中線は1点で交わり，その点は各中線を$2:1$に内分する．
3本の中線が1点で交わる
補足
三角形の重心とは
3中線の交点を，三角形の重心という．
証明の方針
- この証明に使う道具は，中点連結定理と平行線と線分の比の関係．
- 3本の中線から2本組を選びその交点をG，別の組の交点をG$\,’$ とする．GとG$\,’$ が一致することを示す．
↓どうやって？
中点連結定理を用いて，AG:GLとAG$\,’$:G$\,’$Lが共に2:1であることを示す．
証明
△ABCにおいて，辺BC，CA，ABの中点をそれぞれL，M，Nとし，
中線ALとBMの交点をG
中線ALとCNの交点をG$\,’$
とする．
まずGについて
M，Lはそれぞれ辺CA，CBの中点だから，△CABにおいて中点連結定理により，
\[{\rm ML}//{\rm AB},\ {\rm ML}=\frac12{\rm AB}\]よって，
\[{\rm AG}:{\rm GL}={\rm AB}:{\rm ML}=2:1\ \ \cdots\mbox{①}\]次にG$\,’$ について
N，Lはそれぞれ辺BA，BCの中点だから，△BACにおいて中点連結定理により，
\[{\rm NL}//{\rm AC},\ {\rm NL}=\frac12{\rm AC}\]よって，
\[{\rm AG\,’}:{\rm G\,’L}={\rm AC}:{\rm NL}=2:1\ \ \cdots\mbox{②}\]①，②より，2点GとG$\,’$ は同じ点であるから，3つの中線は1点で交わり，
$\boldsymbol{{\rm AG}:{\rm GL} =2:1}$
同様にして，BG:GM=2:1，CG:GN=2:1も示される．
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