高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

第3章 図形の性質

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6. 接弦定理とその逆 [会員]  
7. 方べきの定理とその逆 [会員]  
8. 三角形の五心    
  重心    
  外心    
  垂心    
  内心    
  傍心    

中学校の範囲
1. 円周角の定理    
2. 円周角の定理の逆    

1.中線とは

 三角形の頂点と,その頂点に対応する辺の中点とを結んだ線分を中線という.三角形には3本の中線がある.

2.重心

定理
 三角形の3本の中線は1点で交わり,その点は各中線を$2:1$に内分する.

補足

 3中線の交点を,三角形の重心という.

証明の方針

・この証明に使う道具は,中点連結定理平行線と線分の比の関係
・3本の中線から2本組を選びその交点をG,別の組の交点をG’ とする.GとG’が一致することを示す.
   ↓どうやって?
 中点連結定理を用いて,AG:GLとAG’:G’Lが共に2:1であることを示す.

証明

 △ABCにおいて,辺BC,CA,ABの中点をそれぞれL,M,Nとし,
   中線ALとBMの交点をG
   中線ALとCNの交点をG’
とする.

まずGについて

 M,Lはそれぞれ辺CA,CBの中点だから,△CABにおいて中点連結定理により,

\[{\rm ML}//{\rm AB},\ {\rm ML}=\frac12{\rm AB}\]

 よって,

\[{\rm AG}:{\rm GL}={\rm AB}:{\rm ML}=2:1\ \ \cdots\mbox{①}\]
次にG’について

 N,Lはそれぞれ辺BA,BCの中点だから,△BACにおいて中点連結定理により,

\[{\rm NL}//{\rm AC},\ {\rm NL}=\frac12{\rm AC}\]

 よって,

\[{\rm AG’}:{\rm G’L}={\rm AC}:{\rm NL}=2:1\ \ \cdots\mbox{②}\]

 ①,②より,2点GとG’は同じ点であるから,3つの中線は1点で交わり

\[{\rm AG}:{\rm GL} =2:1\]

 同様にして,BG:GM=2:1,CG:GN=2:1も示される.


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