高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート

1.中線とは

 三角形の頂点と,その頂点に対応する辺の中点とを結んだ線分を中線という.三角形には3本の中線がある.

2.重心

定理
 三角形の3本の中線は1点で交わり,その点は各中線を$2:1$に内分する.

補足

 3中線の交点を,三角形の重心という.

証明の方針

・この証明に使う道具は,中点連結定理平行線と線分の比の関係
・3本の中線から2本組を選びその交点をG,別の組の交点をG’ とする.GとG’が一致することを示す.
   ↓どうやって?
 中点連結定理を用いて,AG:GLとAG’:G’Lが共に2:1であることを示す.

証明

 △ABCにおいて,辺BC,CA,ABの中点をそれぞれL,M,Nとし,
   中線ALとBMの交点をG
   中線ALとCNの交点をG’
とする.

まずGについて

 M,Lはそれぞれ辺CA,CBの中点だから,△CABにおいて中点連結定理により,

\[{\rm ML}//{\rm AB},\ {\rm ML}=\frac12{\rm AB}\]

 よって,

\[{\rm AG}:{\rm GL}={\rm AB}:{\rm ML}=2:1\ \ \cdots\mbox{①}\]
次にG’について

 N,Lはそれぞれ辺BA,BCの中点だから,△BACにおいて中点連結定理により,

\[{\rm NL}//{\rm AC},\ {\rm NL}=\frac12{\rm AC}\]

 よって,

\[{\rm AG’}:{\rm G’L}={\rm AC}:{\rm NL}=2:1\ \ \cdots\mbox{②}\]

 ①,②より,2点GとG’は同じ点であるから,3つの中線は1点で交わり

\[{\rm AG}:{\rm GL} =2:1\]

 同様にして,BG:GM=2:1,CG:GN=2:1も示される.


高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート