高校数学[総目次]
数学A 第3章 図形の性質
第3章 図形の性質
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1. チェバの定理 | [無料] | |
2. メネラウスの定理 | [無料] | |
3. チェバの定理の逆 | [無料] | |
4. メネラウスの定理の逆 | [会員] | |
5. 円に内接する四角形 | [会員] | |
6. 接弦定理とその逆 | [会員] | |
7. 方べきの定理とその逆 | [会員] | |
8. 三角形の五心 | ||
重心 | ||
外心 | ||
垂心 | ||
内心 | ||
傍心 |
中学校の範囲
1. 円周角の定理 | ||
2. 円周角の定理の逆 |
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1.中線とは
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三角形の頂点と,その頂点に対応する辺の中点とを結んだ線分を中線という.三角形には3本の中線がある.
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2.重心
定理
三角形の3本の中線は1点で交わり,その点は各中線を$2:1$に内分する.![](https://www.himawari-math.com/wp-content/uploads/2021/01/gravity2.png)
三角形の3本の中線は1点で交わり,その点は各中線を$2:1$に内分する.
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3本の中線が1点で交わる
補足
3中線の交点を,三角形の重心という.
証明の方針
・この証明に使う道具は,中点連結定理と平行線と線分の比の関係.
・3本の中線から2本組を選びその交点をG,別の組の交点をG’ とする.GとG’が一致することを示す.
↓どうやって?
中点連結定理を用いて,AG:GLとAG’:G’Lが共に2:1であることを示す.
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証明
△ABCにおいて,辺BC,CA,ABの中点をそれぞれL,M,Nとし,
中線ALとBMの交点をG
中線ALとCNの交点をG’
とする.
まずGについて
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M,Lはそれぞれ辺CA,CBの中点だから,△CABにおいて中点連結定理により,
\[{\rm ML}//{\rm AB},\ {\rm ML}=\frac12{\rm AB}\]よって,
\[{\rm AG}:{\rm GL}={\rm AB}:{\rm ML}=2:1\ \ \cdots\mbox{①}\]次にG’について
![](https://www.himawari-math.com/wp-content/uploads/2021/01/gravity6.png)
N,Lはそれぞれ辺BA,BCの中点だから,△BACにおいて中点連結定理により,
\[{\rm NL}//{\rm AC},\ {\rm NL}=\frac12{\rm AC}\]よって,
\[{\rm AG’}:{\rm G’L}={\rm AC}:{\rm NL}=2:1\ \ \cdots\mbox{②}\]①,②より,2点GとG’は同じ点であるから,3つの中線は1点で交わり,
\[{\rm AG}:{\rm GL} =2:1\]同様にして,BG:GM=2:1,CG:GN=2:1も示される.
■
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