三角形の五心 – 重心(ノート)

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

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8. 三角形の五心
重心
外心
垂心
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傍心

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中学校の範囲

1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆

1．中線とは

　三角形の頂点と，その頂点に対応する辺の中点とを結んだ線分を中線という．三角形には3本の中線がある．

2．重心

補足

　3中線の交点を，三角形の重心という．

証明の方針

・この証明に使う道具は，中点連結定理と平行線と線分の比の関係．
・3本の中線から2本組を選びその交点をG，別の組の交点をG’ とする．GとG’が一致することを示す．
　　　↓どうやって？
　中点連結定理を用いて，AG:GLとAG’:G’Lが共に2:1であることを示す．

証明

　△ABCにおいて，辺BC，CA，ABの中点をそれぞれL，M，Nとし，
　　　中線ALとBMの交点をG
　　　中線ALとCNの交点をG’
とする．

まずGについて

　M，Lはそれぞれ辺CA，CBの中点だから，△CABにおいて中点連結定理により，

\[{\rm ML}//{\rm AB},\ {\rm ML}=\frac12{\rm AB}\]

　よって，

\[{\rm AG}:{\rm GL}={\rm AB}:{\rm ML}=2:1\ \ \cdots\mbox{①}\]

次にG’について

　N，Lはそれぞれ辺BA，BCの中点だから，△BACにおいて中点連結定理により，

\[{\rm NL}//{\rm AC},\ {\rm NL}=\frac12{\rm AC}\]

　よって，

\[{\rm AG’}:{\rm G’L}={\rm AC}:{\rm NL}=2:1\ \ \cdots\mbox{②}\]

　①，②より，2点GとG’は同じ点であるから，3つの中線は1点で交わり，

\[{\rm AG}:{\rm GL} =2:1\]

　同様にして，BG:GM=2:1，CG:GN=2:1も示される．

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