1.チェバの定理の逆

チェバの定理の逆
 △ABCにおいて,直線BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり,このうち1個または3個が辺上の点とする.このとき,BQとCRが交わり,かつ \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] ならば,3直線AP,BQ,CRは1点で交わる.
3点P,Q,Rが△ABCの辺上
1点Pのみが△ABCの辺上

証明の方針

[1] BQとCRの交点Oをとる.
    ↓
[2] 直線AOとBCの交点 P$’$ をとる.
    ↓
[3] △ABCと3点
P$’$,Q,Rでチェバの定理の式を作る.
    ↓
[4] [3] の式と与えられた式を比較
    ↓
[5] PとP$’$ が一致
 よって直線APはOを通るから,AP,BQ,CRは1点Oで交わる.

証明

1° 3点P,Q,R がすべて△ABC の辺上のとき

 線分BQとCRの交点をOとする.(←方針の[1])

 直線AOとBCとの交点をP$’$とする.(←方針の [2])

 このときチェバの定理により
\[\frac{{\rm BP}’}{{\rm P}’\rm C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]が成り立つ.(←方針の[3])

これと,与えられた式 \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] を比較すると, \[\frac{{\rm BP}’}{{\rm P}’\rm C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}\] が成り立つから,$\rm BP’:P’C=BP:PC$.(←方針の[4])

 よって,PとP$’$ が一致する.つまり,直線AP が点Oを通るから,3直線AP,BQ,CR は1点Oで交わる.(←方針の[5])

2° 1点Pのみが△ABC の辺上のとき

 ※ 1° との違いは図のみ.記述部分は一字一句同じ.

 線分BQとCRの交点をOとする.(←方針の[1])

 直線AOとBCとの交点をP$’$とする.(←方針の[2])

 このときチェバの定理により
\[\frac{{\rm BP}’}{{\rm P}’\rm C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]が成り立つ.(←方針の[3])

これと,与えられた式 \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] を比較すると, \[\frac{{\rm BP}’}{{\rm P}’\rm C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}\] が成り立つから,$\rm BP’:P’C=BP:PC$.(←方針の[4])

 よって,PとP$’$ が一致する.つまり,直線AP が点Oを通るから,3直線AP,BQ,CR は1点Oで交わる.(←方針の[5])

補足

メネラウスの定理の逆」との主な違いは次の赤線部分である:

メネラウスの定理の逆
 △ABCにおいて,直線BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり,このうち1個または3個が辺の延長上の点とする.このとき, \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] ならば,3点P,Q,Rは一直線上にある.