高校数学[総目次]
数学A 第3章 図形の性質
第3章 図形の性質
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. チェバの定理 | |||
| 2. メネラウスの定理 | |||
| 3. チェバの定理の逆 | |||
| 4. メネラウスの定理の逆 | |||
| 5. 円に内接する四角形 | |||
| 6. 接弦定理とその逆 | |||
| 7. 方べきの定理とその逆 | |||
| 8. 三角形の五心 | |||
| 重心 | |||
| 外心 | |||
| 垂心 | |||
| 内心 | |||
| 傍心 |
中学校の範囲
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 円周角の定理 | |||
| 2. 円周角の定理の逆 |
1．チェバの定理の逆
チェバの定理 は，三角形の各頂点を通る3つの直線が，1点で交わる場合に成り立つ定理で，大雑把に述べれば，
1点で交わる $\Longrightarrow \dfrac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\dfrac{\rm AR}{\rm RB}=1$
が成り立つというものであった．
この定理は逆も成り立つ．それが次に示すチェバの定理の逆である．
チェバの定理の逆
△ABCにおいて，直線BC，CA，AB上にそれぞれ点P，Q，Rがあり，このうち1個または3個が辺上の点とする．
このとき，BQとCRが交わり，かつ
\[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]
ならば，3直線AP，BQ，CRは1点で交わる．
証明の流れ
[1] BQとCRの交点Oをとる．
↓
[2] 直線AOとBCの交点 P$’$ をとる．
↓
[3] △ABCと3点 P$’$，Q，Rでチェバの定理の式を作る．
↓
[4] [3] の式と与えられた式を比較
↓
[5] PとP$’$ が一致
よって直線APはOを通るから，AP，BQ，CRは1点Oで交わる．
証明
1° 3点P,Q,R がすべて△ABC の辺上のとき
線分BQとCRの交点をOとする．(←流れの[1])
直線AOとBCとの交点をP$’$とする．(←流れの [2])
このときチェバの定理 により
\[\frac{{\rm BP}’}{{\rm P}’\rm C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]が成り立つ．(←流れの[3])
これと，与えられた式 \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] を比較すると， \[\frac{{\rm BP}’}{{\rm P}’\rm C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}\] が成り立つから，$\rm BP’:P’C=BP:PC$．(←流れの[4])
P と P$’$ はともに辺BC上にあるから，PとP$’$ が一致する．つまり，直線AP が点Oを通るから，3直線AP，BQ，CR は1点Oで交わる．(←流れの[5])