高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート

1.チェバの定理の逆

チェバの定理の逆
 △ABCにおいて,直線BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり,このうち1個または3個が辺上の点とする.このとき,BQとCRが交わり,かつ \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] ならば,3直線AP,BQ,CRは1点で交わる.
3点P,Q,Rが△ABCの辺上
1点Pのみが△ABCの辺上

証明の方針

[1] BQとCRの交点Oをとる.
    ↓
[2] 直線AOとBCの交点 P$’$ をとる.
    ↓
[3] △ABCと3点
P$’$,Q,Rでチェバの定理の式を作る.
    ↓
[4] [3] の式と与えられた式を比較
    ↓
[5] PとP$’$ が一致
 よって直線APはOを通るから,AP,BQ,CRは1点Oで交わる.

証明

1° 3点P,Q,R がすべて△ABC の辺上のとき

 線分BQとCRの交点をOとする.(←方針の[1])

 直線AOとBCとの交点をP$’$とする.(←方針の [2])

 このときチェバの定理により
\[\frac{{\rm BP}’}{{\rm P}’\rm C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]が成り立つ.(←方針の[3])

これと,与えられた式 \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] を比較すると, \[\frac{{\rm BP}’}{{\rm P}’\rm C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}\] が成り立つから,$\rm BP’:P’C=BP:PC$.(←方針の[4])

 よって,PとP$’$ が一致する.つまり,直線AP が点Oを通るから,3直線AP,BQ,CR は1点Oで交わる.(←方針の[5])

2° 1点Pのみが△ABC の辺上のとき

 ※ 1° との違いは図のみ.記述部分は一字一句同じ.

 線分BQとCRの交点をOとする.(←方針の[1])

 直線AOとBCとの交点をP$’$とする.(←方針の[2])

 このときチェバの定理により
\[\frac{{\rm BP}’}{{\rm P}’\rm C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]が成り立つ.(←方針の[3])

これと,与えられた式 \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] を比較すると, \[\frac{{\rm BP}’}{{\rm P}’\rm C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}\] が成り立つから,$\rm BP’:P’C=BP:PC$.(←方針の[4])

 よって,PとP$’$ が一致する.つまり,直線AP が点Oを通るから,3直線AP,BQ,CR は1点Oで交わる.(←方針の[5])

補足

メネラウスの定理の逆」との主な違いは次の赤線部分である:

メネラウスの定理の逆
 △ABCにおいて,直線BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり,このうち1個または3個が辺の延長上の点とする.このとき, \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] ならば,3点P,Q,Rは一直線上にある.
 

高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート