高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート

1.内心

定理
 三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わる.
基本事項の確認

 角の二等分線 $l$ は,2直線 $m, n$ から等しい距離にある点の集合である.

証明の方針

 2つの内角の二等分線の交点をとる
   ↓
 その交点から各辺までの距離が等しい.
   ↓
 その交点が,残りの角の二等分線上にもある.

証明

 △ABCの$\angle{\rm B}$と$\angle{\rm C}$ の二等分線の交点を $\rm I$ とし,$\rm I$ から辺BC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとする.

 上の基本事項により, \[{\rm ID}={\rm IE}\ \mbox{かつ}\ {\rm ID}={\rm IF}\]  よって, \[{\rm IE}={\rm IF}\]  このことは,$\rm I$ が$\angle{\rm A}$の二等分線上にもあることを意味する.
 故に,3本の角の二等分線は1点で交わる.

補足

 この定理の証明過程により,どんな三角形にも3辺に接する円がただ1つ存在する.その円を三角形の内接円といい,内接円の中心を内心という.


高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート