高校数学[総目次]
数学A 第3章 図形の性質
第3章 図形の性質
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1. チェバの定理 | [無料] | |
2. メネラウスの定理 | [無料] | |
3. チェバの定理の逆 | [無料] | |
4. メネラウスの定理の逆 | [会員] | |
5. 円に内接する四角形 | [会員] | |
6. 接弦定理とその逆 | [会員] | |
7. 方べきの定理とその逆 | [会員] | |
8. 三角形の五心 | ||
重心 | ||
外心 | ||
垂心 | ||
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中学校の範囲
1. 円周角の定理 | ||
2. 円周角の定理の逆 |
1.内心
定理
三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わる.
三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わる.

基本事項の確認
角の二等分線 $l$ は,2直線 $m, n$ から等しい距離にある点の集合である.

証明の方針
2つの内角の二等分線の交点をとる
↓
その交点から各辺までの距離が等しい.
↓
その交点が,残りの角の二等分線上にもある.
証明
△ABCの$\angle{\rm B}$と$\angle{\rm C}$ の二等分線の交点を $\rm I$ とし,$\rm I$ から辺BC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとする.

上の基本事項により, \[{\rm ID}={\rm IE}\ \mbox{かつ}\ {\rm ID}={\rm IF}\] よって, \[{\rm IE}={\rm IF}\] このことは,$\rm I$ が$\angle{\rm A}$の二等分線上にもあることを意味する.
故に,3本の角の二等分線は1点で交わる.
■
補足
この定理の証明過程により,どんな三角形にも3辺に接する円がただ1つ存在する.その円を三角形の内接円といい,内接円の中心を内心という.

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