高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート

1.垂心

定理
 三角形の各頂点から対辺に引いた垂線は1点で交わる.

補足

 定理中の3垂線の交点を垂心という.

証明の方針

・三角形の外側に,各辺とそれぞれ平行となる一回り大きい三角形をかく.
    ↓
・定理中の3垂線が,今作った三角形の各辺の垂直二等分線と一致することを示す.
 (3辺の垂直二等分線が1点で交わることは,外心のところで証明済み.)
    ↓どうやって示すか?
 図の中にある3つの平行四辺形を利用.
  平行四辺形の性質
   1. 対辺がそれぞれ平行
   2. 対辺がそれぞれ等しい

証明

BC//QR,CA//RP,AB//PQ となる図のような△PQRを作る.

 四角形ABCQ,ACBRは平行四辺形であるから, \[{\rm AQ}={\rm BC},\ {\rm AR}={\rm BC}\] \[\therefore {\rm AQ}={\rm AR}\]  よって,Aは辺QRの中点である.

 ここで,Aから対辺BCに垂線ADを引くと,BC//QRにより \[{\rm AD}\perp {\rm QR}\]  従って,ADは辺QRの垂直二等分線である.

 同様にして,B,Cから対辺に引いた垂線についても,それぞれ辺RP,PQの垂直二等分線となる.つまり,△ABCにおける3つの垂線は,△PQRにおける垂直二等分線である.

 3辺の垂直二等分線が1点で交わることは外心のところで証明済みであるから,定理中の3垂線も1点で交わる.


高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート