1.垂心

定理
 三角形の各頂点から対辺に引いた垂線は1点で交わる.

補足

 定理中の3垂線の交点を垂心という.

証明の方針

・三角形の外側に,各辺とそれぞれ平行となる一回り大きい三角形をかく.
    ↓
・定理中の3垂線が,今作った三角形の各辺の垂直二等分線と一致することを示す.
 (3辺の垂直二等分線が1点で交わることは,外心のところで証明済み.)
    ↓どうやって示すか?
 図の中にある3つの平行四辺形を利用.
  平行四辺形の性質
   1. 対辺がそれぞれ平行
   2. 対辺がそれぞれ等しい

証明

BC//QR,CA//RP,AB//PQ となる図のような△PQRを作る.

 四角形ABCQ,ACBRは平行四辺形であるから, \[{\rm AQ}={\rm BC},\ {\rm AR}={\rm BC}\] \[\therefore {\rm AQ}={\rm AR}\]  よって,Aは辺QRの中点である.

 ここで,Aから対辺BCに垂線ADを引くと,BC//QRにより \[{\rm AD}\perp {\rm QR}\]  従って,ADは辺QRの垂直二等分線である.

 同様にして,B,Cから対辺に引いた垂線についても,それぞれ辺RP,PQの垂直二等分線となる.つまり,△ABCにおける3つの垂線は,△PQRにおける垂直二等分線である.

 3辺の垂直二等分線が1点で交わることは外心のところで証明済みであるから,定理中の3垂線も1点で交わる.