このページにある内容は,こちらのスライドでわかり易く説明しています.

高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

スライド↓        ノート↓
1. チェバの定理 無料  【ノート
2. メネラウスの定理 無料ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

1.チェバの定理

チェバの定理
 直線AB,BC,CA上にない点Oをとる.△ABCの頂点A,B,Cと点Oを結ぶ各直線が対辺,またはその延長とそれぞれP,Q,Rで交わるとき,次が成り立つ: \[\boldsymbol{\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1}\]
点O が△ABC の内部にあるとき
点O が△ABC の外部にあるとき

証明のポイント

 3つの線分比の値(分数)を,三角形の面積比の値で表す.

確認事項

  •  比 $a:b$ について,$\dfrac ab$ を比の値という.$\dfrac ab=\dfrac cd$ が成り立つとき,$a:b=c:d$ と表す.

証明

1° 点Oが△ABCの内部にあるとき

\[\rm BP:PC=\triangle OAB:\triangle OCA\] \[ \therefore \frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\ \ \cdots\ \mbox{①}\]   同様にして,

\[\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\ \ \cdots\ \mbox{②}\]

\[\frac{\rm AR}{\rm RB}=\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\ \ \cdots\ \mbox{③} \]   ①,②,③を辺々掛けて \[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =&\ \frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\cdot\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\cdot\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\\[5pt] =&\ 1 \end{align*}\]

2° 点Oが△ABCの外部にあるとき

 点Oが△ABCの内部にある場合とは図が異なるだけで,式は異なるところが1つもない.

辺OAが共通の底辺→高さの比が面積比

\[\rm BP:PC=\triangle OAB:\triangle OCA\] \[ \therefore \frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\ \ \cdots\ \mbox{④}\]

辺OBが共通の底辺→高さの比が面積比

\[\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\ \ \cdots\ \mbox{⑤}\]

辺OCが共通の底辺→高さの比が面積比

\[\frac{\rm AR}{\rm RB}=\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\ \ \cdots\ \mbox{⑥} \]   ④,⑤,⑥を辺々掛けて \[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =&\ \frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\cdot\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\cdot\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\\[5pt] =&\ 1 \end{align*}\]

補足

  • 分子→分母→分子→分母→ … という順でアルファベットがしりとり式に続いていく.
  • 加えて,頂点→分点→頂点→分点→… の順でアルファベットを書く.

高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

スライド↓        ノート↓
1. チェバの定理 無料  【ノート
2. メネラウスの定理 無料ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.