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高校数学[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

第3章 図形の性質

  スライド ノート
1. チェバの定理 [無料]  
2. メネラウスの定理 [無料]  
3. チェバの定理の逆 [無料]  
4. メネラウスの定理の逆 [会員]  
5. 円に内接する四角形 [会員]  
6. 接弦定理とその逆 [会員]  
7. 方べきの定理とその逆 [会員]  
8. 三角形の五心    
  重心    
  外心    
  垂心    
  内心    
  傍心    


中学校の範囲

1. 円周角の定理    
2. 円周角の定理の逆    

1.チェバの定理

チェバの定理
 直線AB,BC,CA上にない点Oをとる.△ABCの頂点A,B,Cと点Oを結ぶ各直線が対辺,またはその延長とそれぞれP,Q,Rで交わるとき,次が成り立つ:
\[\boldsymbol{\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1}\]

点O が△ABC の内部にあるとき
点O が△ABC の外部にあるとき

アニメーション
(スライドから抜粋)
点が△ABCの内部にある場合

アニメーション
(スライドから抜粋)
点が△ABCの外部にある場合

証明のポイント

 3つの線分比の値(分数)を,三角形の面積比の値で表す.

確認事項

  •  比 $a:b$ について,$\dfrac ab$ を比の値という.$\dfrac ab=\dfrac cd$ が成り立つとき,$a:b=c:d$ と表す.

証明

1° 点Oが△ABCの内部にあるとき

\[\rm BP:PC=\triangle OAB:\triangle OCA\]
\[ \therefore \frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\ \ \cdots\ \mbox{①}\]
  同様にして,

\[\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\ \ \cdots\ \mbox{②}\]

\[\frac{\rm AR}{\rm RB}=\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\ \ \cdots\ \mbox{③}
\]
  ①,②,③を辺々掛けて
\[\begin{align*}
&\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt]
=&\ \frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\cdot\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\cdot\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\\[5pt]
=&\ 1
\end{align*}\]

2° 点Oが△ABCの外部にあるとき

 点Oが△ABCの内部にある場合とは図が異なるだけで,式は異なるところが1つもない.

辺OAが共通の底辺→高さの比が面積比

\[\rm BP:PC=\triangle OAB:\triangle OCA\]
\[ \therefore \frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\ \ \cdots\ \mbox{④}\]

辺OBが共通の底辺→高さの比が面積比

\[\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\ \ \cdots\ \mbox{⑤}\]

辺OCが共通の底辺→高さの比が面積比

\[\frac{\rm AR}{\rm RB}=\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\ \ \cdots\ \mbox{⑥}
\]
  ④,⑤,⑥を辺々掛けて
\[\begin{align*}
&\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt]
=&\ \frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\cdot\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\cdot\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\\[5pt]
=&\ 1
\end{align*}\]

補足

  • 分子→分母→分子→分母→ … という順でアルファベットがしりとり式に続いていく.
  • 加えて,頂点→分点→頂点→分点→… の順でアルファベットを書く.

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演習問題

(1) [難易度 易]
 △ABCにおいて,辺ABを $2:1$ に内分する点をD,辺ACを $2:3$ に内分する点をEとし,BE,CDの交点をPとする.直線APと辺BCとの交点をQとするとき,$\rm{BQ:QC}$ を求めよ.

(2) [難易度 標準]
 △ABCにおいて,辺ABを $3:1$ に外分する点をD,辺ACを $5:2$ に外分する点をEとし,BE,CDの交点をPとする.直線APとBCとの交点をQとするとき,$\rm{BQ:QC}$ を求めよ.

(3) [難易度 標準]
 △ABCにおいて,辺AB上を $2:1$ に内分する点をDとし,Dを通ってBCに平行な直線とACとの交点をEとする.BE,CDの交点をPとし,直線APとBCとの交点をQとするとき,QはBCの中点であることを示せ.

解答

 チェバの定理の式は辺の長さを用いた式になっていますが,例えば $\rm{\dfrac{BQ}{QC}}$ という部分は $\rm{BQ:QC}$ の比の値です.従って辺の長さそのものがわからなくても,比の値さえわかればよいという訳です. POINT