1．チェバの定理(ノート)
スライドで学ぶ高校数学

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高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

中学校の範囲

1．チェバの定理

チェバの定理
　直線AB，BC，CA上にない点Oをとる．△ABCの頂点A，B，Cと点Oを結ぶ各直線が対辺，またはその延長とそれぞれP，Q，Rで交わるとき，次が成り立つ： \[\boldsymbol{\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1}\]

証明のポイント

　3つの線分比の値(分数)を，三角形の面積比の値で表す．

確認事項

• 　比 $a:b$ について，$\dfrac ab$ を比の値という．$\dfrac ab=\dfrac cd$ が成り立つとき，$a:b=c:d$ と表す．

証明

1°　点Oが△ABCの内部にあるとき

\[\rm BP:PC=\triangle OAB:\triangle OCA\] \[ \therefore \frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\ \ \cdots\ \mbox{①}\] 　　同様にして，

\[\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\ \ \cdots\ \mbox{②}\]

\[\frac{\rm AR}{\rm RB}=\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\ \ \cdots\ \mbox{③} \] 　　①，②，③を辺々掛けて \[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =&\ \frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\cdot\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\cdot\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\\[5pt] =&\ 1 \end{align*}\]

2°　点Oが△ABCの外部にあるとき

　点Oが△ABCの内部にある場合とは図が異なるだけで，式は異なるところが1つもない．

\[\rm BP:PC=\triangle OAB:\triangle OCA\] \[ \therefore \frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\ \ \cdots\ \mbox{④}\]

\[\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\ \ \cdots\ \mbox{⑤}\]

\[\frac{\rm AR}{\rm RB}=\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\ \ \cdots\ \mbox{⑥} \] 　　④，⑤，⑥を辺々掛けて \[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =&\ \frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\cdot\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\cdot\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\\[5pt] =&\ 1 \end{align*}\]

補足

• 分子→分母→分子→分母→ … という順でアルファベットがしりとり式に続いていく．
• 加えて，頂点→分点→頂点→分点→… の順でアルファベットを書く．

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