1．チェバの定理(ノート)
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数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

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中学校の範囲

1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆

1．チェバの定理

チェバの定理
　直線AB，BC，CA上にない点Oをとる．△ABCの頂点A，B，Cと点Oを結ぶ各直線が対辺，またはその延長とそれぞれP，Q，Rで交わるとき，次が成り立つ：
\[\boldsymbol{\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1}\]

点O が△ABC の外部にあるとき

証明のポイント

　3つの線分比の値(分数)を，三角形の面積比の値で表す．

確認事項

　比 $a:b$ について，$\dfrac ab$ を比の値という．$\dfrac ab=\dfrac cd$ が成り立つとき，$a:b=c:d$ と表す．

証明

1°　点Oが△ABCの内部にあるとき

\[\rm BP:PC=\triangle OAB:\triangle OCA\]
\[ \therefore \frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\ \ \cdots\ \mbox{①}\]
　　同様にして，

\[\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\ \ \cdots\ \mbox{②}\]

\[\frac{\rm AR}{\rm RB}=\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\ \ \cdots\ \mbox{③}
\]
　　①，②，③を辺々掛けて
\[\begin{align*}
&\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt]
=&\ \frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\cdot\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\cdot\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\\[5pt]
=&\ 1
\end{align*}\]

2°　点Oが△ABCの外部にあるとき

　点Oが△ABCの内部にある場合とは図が異なるだけで，式は異なるところが1つもない．

\[\rm BP:PC=\triangle OAB:\triangle OCA\]
\[ \therefore \frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\ \ \cdots\ \mbox{④}\]

\[\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\ \ \cdots\ \mbox{⑤}\]

\[\frac{\rm AR}{\rm RB}=\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\ \ \cdots\ \mbox{⑥}
\]
　　④，⑤，⑥を辺々掛けて
\[\begin{align*}
&\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt]
=&\ \frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\cdot\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\cdot\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\\[5pt]
=&\ 1
\end{align*}\]

■

補足

分子→分母→分子→分母→ … という順でアルファベットがしりとり式に続いていく．

加えて，頂点→分点→頂点→分点→… の順でアルファベットを書く．

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演習問題

(1)　[難易度易]
　△ABCにおいて，辺ABを $2:1$ に内分する点をD，辺ACを $2:3$ に内分する点をEとし，BE，CDの交点をPとする．直線APと辺BCとの交点をQとするとき，$\rm{BQ:QC}$ を求めよ．

(2)　[難易度標準]
　△ABCにおいて，辺ABを $3:1$ に外分する点をD，辺ACを $5:2$ に外分する点をEとし，BE，CDの交点をPとする．直線APとBCとの交点をQとするとき，$\rm{BQ:QC}$ を求めよ．

(3)　[難易度標準]
　△ABCにおいて，辺AB上を $2:1$ に内分する点をDとし，Dを通ってBCに平行な直線とACとの交点をEとする．BE，CDの交点をPとし，直線APとBCとの交点をQとするとき，QはBCの中点であることを示せ．

解答

　チェバの定理の式は辺の長さを用いた式になっていますが，例えば $\rm{\dfrac{BQ}{QC}}$ という部分は $\rm{BQ:QC}$ の比の値です．従って辺の長さそのものがわからなくても，比の値さえわかればよいという訳です． POINT

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第3章 図形の性質