1.チェバの定理

チェバの定理
 直線AB,BC,CA上にない点Oをとる.△ABCの頂点A,B,Cと点Oを結ぶ各直線が対辺,またはその延長とそれぞれP,Q,Rで交わるとき,次が成り立つ: \[\boldsymbol{\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1}\]
点O が△ABC の内部にあるとき
点O が△ABC の外部にあるとき

証明のポイント

 3つの線分比の値(分数)を,三角形の面積比の値で表す.

確認事項

  •  比 $a:b$ について,$\dfrac ab$ を比の値という.$\dfrac ab=\dfrac cd$ が成り立つとき,$a:b=c:d$ と表す.

証明

1° 点Oが△ABCの内部にあるとき

\[\rm BP:PC=\triangle OAB:\triangle OCA\] \[ \therefore \frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\ \ \cdots\ \mbox{①}\]   同様にして,

\[\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\ \ \cdots\ \mbox{②}\]

\[\frac{\rm AR}{\rm RB}=\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\ \ \cdots\ \mbox{③} \]   ①,②,③を辺々掛けて \[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =&\ \frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\cdot\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\cdot\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\\[5pt] =&\ 1 \end{align*}\]

2° 点Oが△ABCの外部にあるとき

 点Oが△ABCの内部にある場合とは図が異なるだけで,式は異なるところが1つもない.

辺OAが共通の底辺→高さの比が面積比

\[\rm BP:PC=\triangle OAB:\triangle OCA\] \[ \therefore \frac{\rm BP}{\rm PC}=\frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\ \ \cdots\ \mbox{④}\]

辺OBが共通の底辺→高さの比が面積比

\[\frac{\rm CQ}{\rm QA}=\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\ \ \cdots\ \mbox{⑤}\]

辺OCが共通の底辺→高さの比が面積比

\[\frac{\rm AR}{\rm RB}=\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\ \ \cdots\ \mbox{⑥} \]   ④,⑤,⑥を辺々掛けて \[\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =&\ \frac{\triangle \rm OAB}{\triangle \rm OCA}\cdot\frac{\triangle \rm OCB}{\triangle \rm OAB}\cdot\frac{\triangle \rm OCA}{\triangle \rm OCB}\\[5pt] =&\ 1 \end{align*}\]

補足

  • 分子→分母→分子→分母→ … という順でアルファベットがしりとり式に続いていく.
  • 加えて,頂点→分点→頂点→分点→… の順でアルファベットを書く.