高校数学[総目次]
数学A 第3章 図形の性質
第3章 図形の性質
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. チェバの定理 | |||
| 2. メネラウスの定理 | |||
| 3. チェバの定理の逆 | |||
| 4. メネラウスの定理の逆 | |||
| 5. 円に内接する四角形 | |||
| 6. 接弦定理とその逆 | |||
| 7. 方べきの定理とその逆 | |||
| 8. 三角形の五心 | |||
| 重心 | |||
| 外心 | |||
| 垂心 | |||
| 内心 | |||
| 傍心 |
中学校の範囲
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 円周角の定理 | |||
| 2. 円周角の定理の逆 |
1．メネラウスの定理の逆
メネラウスの定理 は，1本の直線が，三角形の辺(またはその延長線)と交わる3点について成り立つ定理で，大雑把に言えば
3点が同一直線上 $\Longrightarrow \dfrac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\dfrac{\rm AR}{\rm RB}=1$
が成り立つというものであった．
この定理は逆も成り立つ．それが次に示すメネラウスの定理の逆である．
メネラウスの定理の逆
△ABCにおいて，直線BC，CA，AB上にそれぞれ点P，Q，Rがあり，このうち1個または3個が辺の延長上の点とする．このとき，
\[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\]
ならば，3点P，Q，Rは一直線上にある．
証明の流れ
[1] 直線QRと直線BCとの交点P$’$ をとる．
[3点P$’$ ，Q，Rは一直線上]
↓
[2] △ABCと直線P$’$Q でメネラウスの定理の式を作る．
↓
[3] [2] の式と与えられた式を比較
↓
[5] PとP$’$ が一致
つまり，[1]よりP，Q，Rは一直線上にある．
証明
1° 1点Pのみが辺の延長上にあるとき
直線QR，BCとの交点をP$’$とする．(←流れの[1])
[3点P$’$ ，Q，Rは一直線上]
△ABCと直線P$’$Q でメネラウスの定理 により \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] が成り立つ．(←流れの[2])
これと，与えられた式 \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] を比較すると， \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}\] が成り立つから， \[\rm BP’:P’C=BP:PC\] である．(←流れの[3])
よって，2点P$’$，Pは共に，線分BCを同じ比で外分する点であるから一致する．P$’$ は直線QR上に取ったのであるから，3点P，Q，Rは1直線上にある．(←流れの[4])