1.メネラウスの定理の逆

メネラウスの定理の逆
 △ABCにおいて,直線BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり,このうち1個または3個が辺の延長上の点とする.このとき, \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] ならば,3点P,Q,Rは一直線上にある.
1点Pだけが辺の延長上
P,Q,Rの3点すべてが辺の延長上

証明の方針

[1] 直線QRと直線BCとの交点P$’$ をとる.
   [3点P$’$ ,Q,Rは一直線上]
    ↓
[2] △ABCと直線P$’$Q でメネラウスの定理の式を作る.
    ↓
[3] [2] の式と与えられた式を比較
    ↓
[5] PとP$’$ が一致
つまり,[1]よりP,Q,Rは一直線上にある.

証明

1° 1点Pのみが辺の延長上にあるとき

 直線QR,BCとの交点をP$’$とする.(←方針の[1])
 [3点P$’$ ,Q,Rは一直線上]

 △ABCと直線P$’$Q でメネラウスの定理により \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] が成り立つ.(←方針の[2])

 これと,与えられた式 \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] を比較すると, \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}\] が成り立つから, \[\rm BP’:P’C=BP=PC\] である.(←方針の[3])

 つまり,2点P$’$,Pは一致するから,3点P,Q,Rは1直線上にある.(←方針の[4])

2° 3点P,Q,Rが円の延長上にあるとき

 ※ 1°との違いは図のみ.記述部分は一字一句同じ.

 直線QR,BCとの交点をP$’$とする.(←方針の[1])
 [3点P$’$ ,Q,Rは一直線上]

 △ABCと直線P$’$Q でメネラウスの定理により \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] が成り立つ.(←方針の[2])

 これと,与えられた式 \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] を比較すると, \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}\] が成り立つから, \[\rm BP’:P’C=BP=PC\] である.(←方針の[3])

 つまり,2点P$’$,Pは一致するから,3点P,Q,Rは1直線上にある.(←方針の[4])

補足

チェバの定理の逆」との主な違いは次の赤線部分である:

チェバの定理の逆
 △ABCにおいて,直線BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり,このうち1個または3個が辺上の点とする.このとき,BQとCRが交わり,かつ \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] ならば,3直線AP,BQ,CRは1点で交わる.