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高校数学[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

第3章 図形の性質

  スライド ノート
1. チェバの定理 [無料]  
2. メネラウスの定理 [無料]  
3. チェバの定理の逆 [無料]  
4. メネラウスの定理の逆 [会員]  
5. 円に内接する四角形 [会員]  
6. 接弦定理とその逆 [会員]  
7. 方べきの定理とその逆 [会員]  
8. 三角形の五心    
  重心    
  外心    
  垂心    
  内心    
  傍心    

中学校の範囲
1. 円周角の定理    
2. 円周角の定理の逆    

1.メネラウスの定理の逆

メネラウスの定理の逆
 △ABCにおいて,直線BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり,このうち1個または3個が辺の延長上の点とする.このとき, \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] ならば,3点P,Q,Rは一直線上にある.
1点Pだけが辺の延長上
P,Q,Rの3点すべてが辺の延長上

証明の流れ

[1] 直線QRと直線BCとの交点P$’$ をとる.
   [3点P$’$ ,Q,Rは一直線上]
    ↓
[2] △ABCと直線P$’$Q でメネラウスの定理の式を作る.
    ↓
[3] [2] の式と与えられた式を比較
    ↓
[5] PとP$’$ が一致
つまり,[1]よりP,Q,Rは一直線上にある.

証明

1° 1点Pのみが辺の延長上にあるとき

 直線QR,BCとの交点をP$’$とする.(←流れの[1])
 [3点P$’$ ,Q,Rは一直線上]

 △ABCと直線P$’$Q でメネラウスの定理により \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] が成り立つ.(←流れの[2])

 これと,与えられた式 \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] を比較すると, \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}\] が成り立つから, \[\rm BP’:P’C=BP:PC\] である.(←流れの[3])

 よって,2点P$’$,Pは共に,線分BCを同じ比で外分する点であるから一致する.P$’$ は直線QR上に取ったのであるから,3点P,Q,Rは1直線上にある.(←流れの[4])

2° 3点P,Q,Rが円の延長上にあるとき

 ※ 1°との違いは図のみ.記述部分は一字一句同じ.

 直線QR,BCとの交点をP$’$とする.(←流れの[1])
 [3点P$’$ ,Q,Rは一直線上]

 △ABCと直線P$’$Q でメネラウスの定理により \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] が成り立つ.(←流れの[2])

 これと,与えられた式 \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] を比較すると, \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}\] が成り立つから, \[\rm BP’:P’C=BP:PC\] である.(←流れの[3])

 よって,2点P$’$,Pは共に,線分BCを同じ比で外分する点であるから一致する.P$’$ は直線QR上に取ったのであるから,3点P,Q,Rは1直線上にある.(←流れの[4])

補足

チェバの定理の逆」との主な違いは次の赤線部分である:

チェバの定理の逆
 △ABCにおいて,直線BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり,このうち1個または3個が辺上の点とする.このとき,BQとCRが交わり,かつ \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] ならば,3直線AP,BQ,CRは1点で交わる.
 

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