高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート

1.メネラウスの定理の逆

メネラウスの定理の逆
 △ABCにおいて,直線BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり,このうち1個または3個が辺の延長上の点とする.このとき, \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] ならば,3点P,Q,Rは一直線上にある.
1点Pだけが辺の延長上
P,Q,Rの3点すべてが辺の延長上

証明の方針

[1] 直線QRと直線BCとの交点P$’$ をとる.
   [3点P$’$ ,Q,Rは一直線上]
    ↓
[2] △ABCと直線P$’$Q でメネラウスの定理の式を作る.
    ↓
[3] [2] の式と与えられた式を比較
    ↓
[5] PとP$’$ が一致
つまり,[1]よりP,Q,Rは一直線上にある.

証明

1° 1点Pのみが辺の延長上にあるとき

 直線QR,BCとの交点をP$’$とする.(←方針の[1])
 [3点P$’$ ,Q,Rは一直線上]

 △ABCと直線P$’$Q でメネラウスの定理により \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] が成り立つ.(←方針の[2])

 これと,与えられた式 \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] を比較すると, \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}\] が成り立つから, \[\rm BP’:P’C=BP=PC\] である.(←方針の[3])

 つまり,2点P$’$,Pは一致するから,3点P,Q,Rは1直線上にある.(←方針の[4])

2° 3点P,Q,Rが円の延長上にあるとき

 ※ 1°との違いは図のみ.記述部分は一字一句同じ.

 直線QR,BCとの交点をP$’$とする.(←方針の[1])
 [3点P$’$ ,Q,Rは一直線上]

 △ABCと直線P$’$Q でメネラウスの定理により \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] が成り立つ.(←方針の[2])

 これと,与えられた式 \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] を比較すると, \[\frac{\rm BP’}{\rm P’C}=\frac{\rm BP}{\rm PC}\] が成り立つから, \[\rm BP’:P’C=BP=PC\] である.(←方針の[3])

 つまり,2点P$’$,Pは一致するから,3点P,Q,Rは1直線上にある.(←方針の[4])

補足

チェバの定理の逆」との主な違いは次の赤線部分である:

チェバの定理の逆
 △ABCにおいて,直線BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり,このうち1個または3個が辺上の点とする.このとき,BQとCRが交わり,かつ \[\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}=1\] ならば,3直線AP,BQ,CRは1点で交わる.
 

高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート