1.円に内接する四角形

定理
四角形が円に内接する       
$\iff$ 対角の和が180° $(a\!+\!c\!=\!180^\circ)$    
$\iff$ 内角が,その対角の外角に等しい ($a\!=\!c’$)

証明の方針
  • 「四角形が円に内接する $\Rightarrow$ 対角の和が180°」は,円周角の定理を利用.
  • 「四角形が円に内接する $\Leftarrow$ 対角の和が180°」は,△ABDの外接円上点${\rm C}\,’$ をとり,円周角の定理の逆を利用.
  • 「対角の和が180°$\iff$内角が,その対角の外角に等しい」は明らか.

証明

「四角形が円に内接する $\Rightarrow$ 対角の和が180°」を示す.

 円周角の定理により図のようになるから,中心角に注目すると, \[2a+2c=360^\circ\] \[\therefore a+c=180^\circ\]

「四角形が円に内接する $\Leftarrow$ 対角の和が180°」を示す.

 $\angle{\rm A}+\angle{\rm C}=180^\circ\ \cdots$① であるような四角形ABCDを考える:

 △ABDの外接円Oにおいて,下図のように弧BD上に点C $’$ をとる.

 四角形AB${\rm C}\,’$Dは円に内接するから,先に示した事柄により, \[\angle {\rm A}+\angle{\rm C}\,’=180^\circ\ \ \cdots\mbox{②}\] である.
 ①,②より,$\angle{\rm C}=\angle{\rm C}\,’$.

 2点C,C$\,’$ が直線BDについて同じ側にあるから,円周角の定理の逆により4点B,C$\,’$,C,Dは同一円周上,即ち円O上にある.
 故に四角形ABCDは円Oに内接するから4点A,B,C,Dは同一円周上にある.

 残るは「対角の和が180°$\iff$内角が,その対角の外角に等しい」の証明であるが,これは明らか.