5．円に内接する四角形(ノート)
スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

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5. 円に内接する四角形	[会員]
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7. 方べきの定理とその逆	[会員]
8. 三角形の五心
重心
外心
垂心
内心
傍心

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中学校の範囲

1. 円周角の定理
2. 円周角の定理の逆

1．円に内接する四角形

証明の方針

• 「四角形が円に内接する $\Rightarrow$ 対角の和が180°」は，円周角の定理を利用．
• 「四角形が円に内接する $\Leftarrow$ 対角の和が180°」は，△ABDの外接円上点${\rm C}\,’$ をとり，円周角の定理の逆を利用．
• 「対角の和が180°$\iff$内角が，その対角の外角に等しい」は明らか．

証明

「四角形が円に内接する $\Rightarrow$ 対角の和が180°」を示す．

　円周角の定理により図のようになるから，中心角に注目すると， \[2a+2c=360^\circ\] \[\therefore a+c=180^\circ\]

「四角形が円に内接する $\Leftarrow$ 対角の和が180°」を示す．

　$\angle{\rm A}+\angle{\rm C}=180^\circ\ \cdots$① であるような四角形ABCDを考える：

　△ABDの外接円Oにおいて，下図のように弧BD上に点C $’$ をとる．

　四角形AB${\rm C}\,’$Dは円に内接するから，先に示した事柄により， \[\angle {\rm A}+\angle{\rm C}\,’=180^\circ\ \ \cdots\mbox{②}\] である．
　①，②より，$\angle{\rm C}=\angle{\rm C}\,’$．

　2点C，C$\,’$ が直線BDについて同じ側にあるから，円周角の定理の逆により4点B，$\rm{C}\,’$，C，Dは同一円周上，即ち円O上にある．
　故に四角形ABCDは円Oに内接するから4点A，B，C，Dは同一円周上にある．

　残るは「対角の和が180°$\iff$内角が，その対角の外角に等しい」の証明であるが，これは明らか．

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