高校数学ノート[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
2. 円周角の定理の逆  【ノート

1.円の内部・外部

定理
 2点C,Pが直線ABについて同じ側にあるとする.
 図において,弧ABに対する円周角ACBと∠APBについて,
 [1] 点Pが円の内部 $\iff\angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}$
 [2] 点Pが円の外部 $\iff\angle{\rm ACB} > \angle {\rm APB}$

証明の方針

まず「$\Rightarrow$」だけを示す.その際,半直線APと円との交点Qをとり,円周角の定理を利用.

証明

まず「$\Rightarrow$」を示す.

[1] 点Pが円の内部 $\Rightarrow\angle{\rm ACB}<\angle {\rm APB}$ を示す

 図のように半直線APと円との交点をQとする.△BPQの内角と外角の関係により \[\begin{align*} \angle{\rm APB}&=\angle {\rm PQB}+\angle {\rm QBP}\\[5pt] &>\angle {\rm PQB}\\[5pt] &=\angle {\rm AQB}\\[5pt] &=\angle {\rm ACB}\ \ (\because \mbox{円周角の定理}) \end{align*}\] \[\therefore \angle{\rm ACB}<\angle {\rm APB}\]

[2] 点Qが円の外部 $\Rightarrow\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$ を示す

1° 半直線APまたはBPが円と交わるとき

 図のようにAPと円との交点をQとする.△BPQの内角と外角の関係により \[\begin{align*} \angle{\rm AQB}&=\angle {\rm QPB}+\angle {\rm PBQ}\\[5pt] &>\angle {\rm QPB}\\[5pt] &=\angle {\rm APB}\\[5pt] \end{align*}\] \[\therefore \angle{\rm AQB}>\angle{\rm APB}\]  円周角の定理により$\angle{\rm AQB}=\angle{\rm ACB}$であるから \[\angle{\rm ACB}>\angle{\rm APB}\]

2° 半直線APもBPも円と交わらないとき

 図のように半直線ACとBPの交点をQとすると,三角形の内角と外角の関係により \[\angle{\rm APB}<\angle{\rm AQB}<\angle{\rm ACB}\] \[\therefore\angle{\rm ACB}>\angle{\rm APB}\] となる.

 よって「$\Rightarrow$」が示された.

次に「$\Leftarrow$」を示す.

[1] 点Qが円の内部 $\Leftarrow\angle{\rm ACB}<\angle {\rm APB}$ を示す

 点Qは円の内部にあるか,外部にあるか,円周上にあるかのいずれかである.
 $\angle{\rm ACB}<\angle {\rm APB}$のとき,点Pが円の外部にあるとすれば,先に示した「$\Rightarrow$」により$\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$となるから矛盾.
 また,点Pが円周上にあるとすれば,円周角の定理により$\angle{\rm ACB}=\angle {\rm APB}$となるから矛盾.
 従って点Qは円の内部にある.

[2] 点Qが円の外部 $\Leftarrow\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$ を示す

 点Qは円の内部にあるか,外部にあるか,円周上にあるかのいずれかである.
 $\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$のとき,点Pが円の内部にあるとすれば,先に示した「$\Rightarrow$」により$\angle{\rm ACB}<\angle {\rm APB}$となるから矛盾.
 また,点Pが円周上にあるとすれば,円周角の定理により$\angle{\rm ACB}=\angle {\rm APB}$となるから矛盾.
 従って点Qは円の内部にある.

 よって「$\Leftarrow$」が示された.

 以上により「$\iff$」が示された.

2.円周角の定理の逆

 先に議論した円の内部・外部の関係から,次の「円周角の定理の逆」が成り立つ:

円周角の定理の逆
 2点C,Pが直線ABについて同じ側にあるとする.このとき,∠ACB$=$∠APBならば,4点A,B,C,Pは同一円周上にある.

証明

 点Pは△ABCの外接円の周上にあるか,そうでないかのいずれかであるが,上の定理により, \[\angle{\rm ACB}\!\neq\!\angle{\rm APB}\iff\mbox{点Pは△ABCの外接円の周上にない}\] であるから,∠ACB$=$∠APBならば,点Pは△ABCの外接円の周上にある.よって4点A,B,C,Pは同一円周上にある.


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数学A 第3章 図形の性質

1. チェバの定理      【ノート
2. メネラウスの定理    【ノート
3. チェバの定理の逆    【ノート
4. メネラウスの定理の逆  【ノート
5. 円に内接する四角形   【ノート
6. 接弦定理とその逆    【ノート
7. 方べきの定理とその逆  【ノート
8. 三角形の五心
  ・重心 【ノート
  ・外心 【ノート
  ・垂心 【ノート
  ・内心 【ノート
  ・傍心 【ノート


中学校の範囲

1. 円周角の定理    【ノート
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