高校数学[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

第3章 図形の性質

  スライド ノート 問題
1. チェバの定理 [無料]   [会員]
2. メネラウスの定理 [無料]   [会員]
3. チェバの定理の逆 [無料]    
4. メネラウスの定理の逆 [会員]    
5. 円に内接する四角形 [会員]   [会員]
6. 接弦定理とその逆 [会員]    
7. 方べきの定理とその逆 [会員]    
8. 三角形の五心      
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1. 円周角の定理     [会員]
2. 円周角の定理の逆     [会員]

1.円の内部・外部

 ある点Pと,△ABCの外接円Cがあるとする.点Pと円Cの位置関係は,

1° 円の内部 2° 円の外部 3° 円周上

のいずれかであってこれ以外にない.この3つのうちのどれであるかは角の大小関係によって判定できる.

定理

 2点C,Pが直線ABについて同じ側にあるとする.

 図において,弧ABに対する円周角ACBと∠APBについて,
 [1] 点Pが円の内部 $\iff\angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}$

 [2] 点Pが円の外部 $\iff\angle{\rm ACB} > \angle {\rm APB}$

証明の方針

まず「$\Longrightarrow$」だけを示す.その際,半直線APと円との交点Qをとり,円周角の定理を利用.

証明

まず「$\Longrightarrow$」を示す.

[1] 点Pが円の内部 $\Longrightarrow\angle{\rm ACB}<\angle {\rm APB}$ を示す

 図のように半直線APと円との交点をQとする.△BPQの内角と外角の関係により \[\begin{align*} \angle{\rm APB}&=\angle {\rm PQB}+\angle {\rm QBP}\\[5pt] &>\angle {\rm PQB}\\[5pt] &=\angle {\rm AQB}\\[5pt] &=\angle {\rm ACB}\ \ (\because \mbox{円周角の定理}) \end{align*}\] \[\therefore \angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}\]

[2] 点Pが円の外部 $\Longrightarrow\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$ を示す

1° 半直線APまたはBPが円と交わるとき

 図のようにAPと円との交点をQとする.△BPQの内角と外角の関係により \[\begin{align*} \angle{\rm AQB}&=\angle {\rm QPB}+\angle {\rm PBQ}\\[5pt] &>\angle {\rm QPB}\\[5pt] &=\angle {\rm APB}\\[5pt] \end{align*}\] \[\therefore \angle{\rm AQB}>\angle{\rm APB}\]  円周角の定理により$\angle{\rm AQB}=\angle{\rm ACB}$であるから \[\angle{\rm ACB}>\angle{\rm APB}\]

2° 半直線APもBPも円と交わらないとき

 図のように半直線ACとBPの交点をQとすると,三角形の内角と外角の関係により \[\angle{\rm APB} < \angle{\rm AQB} < \angle{\rm ACB}\] \[\therefore\angle{\rm ACB}>\angle{\rm APB}\] となる.

 よって「$\Longrightarrow$」が示された.

次に「$\Longleftarrow$」を示す.

[1] 点Pが円の内部 $\Longleftarrow\angle{\rm ACB}<\angle {\rm APB}$ を示す

 点Pは円の内部にあるか,外部にあるか,円周上にあるかのいずれかである.

 $\angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}$のとき,点Pが円の外部にあるとすれば,先に示した「$\Rightarrow$」により$\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$となるから矛盾.

 また,点Pが円周上にあるとすれば,円周角の定理により$\angle{\rm ACB}=\angle {\rm APB}$となるから矛盾.
 従って点Pは円の内部にある.

[2] 点Pが円の外部 $\Longleftarrow\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$ を示す

 点Pは円の内部にあるか,外部にあるか,円周上にあるかのいずれかである.

 $\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$のとき,点Pが円の内部にあるとすれば,先に示した「$\Rightarrow$」により$\angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}$となるから矛盾.

 また,点Pが円周上にあるとすれば,円周角の定理により$\angle{\rm ACB}=\angle {\rm APB}$となるから矛盾.

 従って点Pは円の内部にある.

 よって「$\Longleftarrow$」が示された.

 以上により「$\iff$」が示された.

2.円周角の定理の逆

 先に議論した円の内部・外部の関係から,次の「円周角の定理の逆」が成り立つ:

円周角の定理の逆
 2点C,Pが直線ABについて同じ側にあるとする.このとき,∠ACB$=$∠APBならば,4点A,B,C,Pは同一円周上にある.

証明

 点Pは△ABCの外接円の周上にあるか,そうでないかのいずれかであるが,上の定理により,

$\angle{\rm ACB}\!\neq\!\angle{\rm APB}\iff$ 点Pは△ABCの外接円の周上にない

であるから,∠ACB$=$∠APBならば,点Pは△ABCの外接円の周上にある.よって4点A,B,C,Pは同一円周上にある.

補足

 線分ABを直径とする円周上に点Cをとって三角形ABCを作ると,$\angle{\rm C}=90^\circ$ であったから(円周角の定理),$\angle{\rm APB}=90^\circ$ ならば,Pも同じ円上の点となる.すなわち円周角の定理の逆の特別な場合として次が成り立つ:

 $\angle{\rm APB}=90^\circ$ のとき,点Pは線分ABを直径とする円周上にある.

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