高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

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1. チェバの定理 [無料]  
2. メネラウスの定理 [無料]  
3. チェバの定理の逆 [無料]  
4. メネラウスの定理の逆 [会員]  
5. 円に内接する四角形 [会員]  
6. 接弦定理とその逆 [会員]  
7. 方べきの定理とその逆 [会員]  
8. 三角形の五心    
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中学校の範囲
1. 円周角の定理    
2. 円周角の定理の逆    

1．円の内部・外部

定理
　2点C，Pが直線ABについて同じ側にあるとする．
　図において，弧ABに対する円周角ACBと∠APBについて，
　[1]　点Pが円の内部 $\iff\angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}$
　[2]　点Pが円の外部 $\iff\angle{\rm ACB} > \angle {\rm APB}$

証明の方針

まず「$\Rightarrow$」だけを示す．その際，半直線APと円との交点Qをとり，円周角の定理を利用．

証明

まず「$\Rightarrow$」を示す．

[1]　点Pが円の内部 $\Rightarrow\angle{\rm ACB}<\angle {\rm APB}$ を示す

　図のように半直線APと円との交点をQとする．△BPQの内角と外角の関係により \[\begin{align*} \angle{\rm APB}&=\angle {\rm PQB}+\angle {\rm QBP}\\[5pt] &>\angle {\rm PQB}\\[5pt] &=\angle {\rm AQB}\\[5pt] &=\angle {\rm ACB}\ \ (\because \mbox{円周角の定理}) \end{align*}\] \[\therefore \angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}\]

[2]　点Qが円の外部 $\Rightarrow\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$ を示す

1°　半直線APまたはBPが円と交わるとき

　図のようにAPと円との交点をQとする．△BPQの内角と外角の関係により \[\begin{align*} \angle{\rm AQB}&=\angle {\rm QPB}+\angle {\rm PBQ}\\[5pt] &>\angle {\rm QPB}\\[5pt] &=\angle {\rm APB}\\[5pt] \end{align*}\] \[\therefore \angle{\rm AQB}>\angle{\rm APB}\] 　円周角の定理により$\angle{\rm AQB}=\angle{\rm ACB}$であるから \[\angle{\rm ACB}>\angle{\rm APB}\]

2°　半直線APもBPも円と交わらないとき

　図のように半直線ACとBPの交点をQとすると，三角形の内角と外角の関係により \[\angle{\rm APB} < \angle{\rm AQB} < \angle{\rm ACB}\] \[\therefore\angle{\rm ACB}>\angle{\rm APB}\] となる．

　よって「$\Rightarrow$」が示された．

次に「$\Leftarrow$」を示す．

[1]　点Qが円の内部 $\Leftarrow\angle{\rm ACB}<\angle {\rm APB}$ を示す

　点Qは円の内部にあるか，外部にあるか，円周上にあるかのいずれかである．
　$\angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}$のとき，点Pが円の外部にあるとすれば，先に示した「$\Rightarrow$」により$\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$となるから矛盾．
　また，点Pが円周上にあるとすれば，円周角の定理により$\angle{\rm ACB}=\angle {\rm APB}$となるから矛盾．
　従って点Qは円の内部にある．

[2]　点Qが円の外部 $\Leftarrow\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$ を示す

　点Qは円の内部にあるか，外部にあるか，円周上にあるかのいずれかである．
　$\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$のとき，点Pが円の内部にあるとすれば，先に示した「$\Rightarrow$」により$\angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}$となるから矛盾．
　また，点Pが円周上にあるとすれば，円周角の定理により$\angle{\rm ACB}=\angle {\rm APB}$となるから矛盾．
　従って点Qは円の内部にある．

　よって「$\Leftarrow$」が示された．

　以上により「$\iff$」が示された．

■

2．円周角の定理の逆

　先に議論した円の内部・外部の関係から，次の「円周角の定理の逆」が成り立つ：

円周角の定理の逆
　2点C，Pが直線ABについて同じ側にあるとする．このとき，∠ACB$=$∠APBならば，4点A，B，C，Pは同一円周上にある．

証明

　点Pは△ABCの外接円の周上にあるか，そうでないかのいずれかであるが，上の定理により， \[\angle{\rm ACB}\!\neq\!\angle{\rm APB}\iff\mbox{点Pは△ABCの外接円の周上にない}\] であるから，∠ACB$=$∠APBならば，点Pは△ABCの外接円の周上にある．よって4点A，B，C，Pは同一円周上にある．

■

補足

　円周角の定理の逆の特別な場合として次が成り立つ：

　$\angle{\rm APB}=90^\circ$ のとき，点Pは線分ABを直径とする円周上にある．
例題1　△ABCにおいて，∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとし，ADの延長上に点Eを$\angle{\rm BAD}=\angle{\rm DBE}$ となるようにとる．また，BEの延長上に ${\rm BE=EF}$ となる点Fをとるとき，$\angle{\rm BCF=90^\circ}$ となることを示せ．

答

　2点A，Bは直線CEに関して同じ側にあり，$\angle{\rm EAC=\angle EBC}$ であるから円周角の定理の逆により，4点A，B，E，Cは同一円周上にある．

　その円において円周角の定理により ${\rm \angle BAE=\angle BCE}$ となるから△EBCは ${\rm EB=EC}$の二等辺三角形であり，仮定とから

\[{\rm EB=EC=EF.}\]

　従って，3点B，C，Fは点Eを中心とする同一円周上にあり，線分BFはその円の直径となるから ${\rm \angle BCF=90^\circ}$．

■

例題2　${\rm AB=6cm}$ である線分ABを直径とする半円の弧上を，点PがAからBまで動くとき，線分APの中点 $\rm Q$ の軌跡の長さを求めよ．

答

　PがA，Bと重ならないとき，$\angle{\rm APB=90^\circ}$ であり，円の中心をOとすると，中点連結定理により ${\rm OQ/\!/BP}$ となるから，$\angle{\rm AQO}$ も $90^\circ$．従って円周角の定理の逆により，点 $\rm Q$ は線分AOを直径とする半円上にある．

　PがAのとき $\rm Q$ もAであり，PがBのとき $\rm Q$ はOに重なるから，求めるものは直径3の半円の長さである．よって

\[3\pi\times\frac12=\underline{\boldsymbol {\frac32\pi}}\]

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