高校数学[総目次]
数学A 第3章 図形の性質
第3章 図形の性質
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1. チェバの定理 | [無料] | |
2. メネラウスの定理 | [無料] | |
3. チェバの定理の逆 | [無料] | |
4. メネラウスの定理の逆 | [会員] | |
5. 円に内接する四角形 | [会員] | |
6. 接弦定理とその逆 | [会員] | |
7. 方べきの定理とその逆 | [会員] | |
8. 三角形の五心 | ||
重心 | ||
外心 | ||
垂心 | ||
内心 | ||
傍心 |
中学校の範囲
1. 円周角の定理 | ||
2. 円周角の定理の逆 |
1.円の内部・外部
2点C,Pが直線ABについて同じ側にあるとする.
図において,弧ABに対する円周角ACBと∠APBについて,
[1] 点Pが円の内部 $\iff\angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}$


証明の方針
まず「$\Rightarrow$」だけを示す.その際,半直線APと円との交点Qをとり,円周角の定理を利用.
証明
まず「$\Rightarrow$」を示す.
[1] 点Pが円の内部 $\Rightarrow\angle{\rm ACB}<\angle {\rm APB}$ を示す

図のように半直線APと円との交点をQとする.△BPQの内角と外角の関係により \[\begin{align*} \angle{\rm APB}&=\angle {\rm PQB}+\angle {\rm QBP}\\[5pt] &>\angle {\rm PQB}\\[5pt] &=\angle {\rm AQB}\\[5pt] &=\angle {\rm ACB}\ \ (\because \mbox{円周角の定理}) \end{align*}\] \[\therefore \angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}\]
[2] 点Qが円の外部 $\Rightarrow\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$ を示す
1° 半直線APまたはBPが円と交わるとき

図のようにAPと円との交点をQとする.△BPQの内角と外角の関係により \[\begin{align*} \angle{\rm AQB}&=\angle {\rm QPB}+\angle {\rm PBQ}\\[5pt] &>\angle {\rm QPB}\\[5pt] &=\angle {\rm APB}\\[5pt] \end{align*}\] \[\therefore \angle{\rm AQB}>\angle{\rm APB}\] 円周角の定理により$\angle{\rm AQB}=\angle{\rm ACB}$であるから \[\angle{\rm ACB}>\angle{\rm APB}\]
2° 半直線APもBPも円と交わらないとき

図のように半直線ACとBPの交点をQとすると,三角形の内角と外角の関係により \[\angle{\rm APB} < \angle{\rm AQB} < \angle{\rm ACB}\] \[\therefore\angle{\rm ACB}>\angle{\rm APB}\] となる.
よって「$\Rightarrow$」が示された.
次に「$\Leftarrow$」を示す.
[1] 点Qが円の内部 $\Leftarrow\angle{\rm ACB}<\angle {\rm APB}$ を示す
点Qは円の内部にあるか,外部にあるか,円周上にあるかのいずれかである.
$\angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}$のとき,点Pが円の外部にあるとすれば,先に示した「$\Rightarrow$」により$\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$となるから矛盾.
また,点Pが円周上にあるとすれば,円周角の定理により$\angle{\rm ACB}=\angle {\rm APB}$となるから矛盾.
従って点Qは円の内部にある.
[2] 点Qが円の外部 $\Leftarrow\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$ を示す
点Qは円の内部にあるか,外部にあるか,円周上にあるかのいずれかである.
$\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$のとき,点Pが円の内部にあるとすれば,先に示した「$\Rightarrow$」により$\angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}$となるから矛盾.
また,点Pが円周上にあるとすれば,円周角の定理により$\angle{\rm ACB}=\angle {\rm APB}$となるから矛盾.
従って点Qは円の内部にある.
よって「$\Leftarrow$」が示された.
以上により「$\iff$」が示された.
■
2.円周角の定理の逆
先に議論した円の内部・外部の関係から,次の「円周角の定理の逆」が成り立つ:
2点C,Pが直線ABについて同じ側にあるとする.このとき,∠ACB$=$∠APBならば,4点A,B,C,Pは同一円周上にある.

証明
点Pは△ABCの外接円の周上にあるか,そうでないかのいずれかであるが,上の定理により, \[\angle{\rm ACB}\!\neq\!\angle{\rm APB}\iff\mbox{点Pは△ABCの外接円の周上にない}\] であるから,∠ACB$=$∠APBならば,点Pは△ABCの外接円の周上にある.よって4点A,B,C,Pは同一円周上にある.
■
補足
円周角の定理の逆の特別な場合として次が成り立つ:


答

2点A,Bは直線CEに関して同じ側にあり,$\angle{\rm EAC=\angle EBC}$ であるから円周角の定理の逆により,4点A,B,E,Cは同一円周上にある.
その円において円周角の定理により ${\rm \angle BAE=\angle BCE}$ となるから△EBCは ${\rm EB=EC}$の二等辺三角形であり,仮定とから
\[{\rm EB=EC=EF.}\]
従って,3点B,C,Fは点Eを中心とする同一円周上にあり,線分BFはその円の直径となるから ${\rm \angle BCF=90^\circ}$.
■

答

PがA,Bと重ならないとき,$\angle{\rm APB=90^\circ}$ であり,円の中心をOとすると,中点連結定理により ${\rm OQ/\!/BP}$ となるから,$\angle{\rm AQO}$ も $90^\circ$.従って円周角の定理の逆により,点 $\rm Q$ は線分AOを直径とする半円上にある.
PがAのとき $\rm Q$ もAであり,PがBのとき $\rm Q$ はOに重なるから,求めるものは直径3の半円の長さである.よって
\[3\pi\times\frac12=\underline{\boldsymbol {\frac32\pi}}\]
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