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5. 不等式の証明

5.1 不等式の証明

例1 $a\!>\!b,\ c\!>\!d$ のとき,$a\!+\!c\!>\!b\!+\!d$ を示せ.

例2 不等式 $|a\!+\!b|\!\leqq\!|a|\!+\!|b|$ を示せ.

5.2 相加平均と相乗平均

相加・相乗平均の関係式 $a>0,b>0$ のとき,\[\frac{a+b}2\geqq\sqrt{ab}\] 等号成立は,$a=b$ のとき.

補足

注意

 $x\!>\!0$ のとき,不等式 $x\!+\!\dfrac1x\!\geqq\! 2$ を示せ.

発展的注意

 $x\!>\!0$ のとき,関数 $f(x)\!=\!x^2\!+\!\dfrac1x$ の最小値は?