5. 不等式の証明(ノート)
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数学Ⅱ　第1章　式と証明

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5. 不等式の証明

5.1　不等式の証明

$A>B$ の証明の仕方 　①　$A-B=\cdots >0$ を示す．
　②　有名不等式の利用．

例題1　$a\!>\!b,\ c\!>\!d$ のとき，$a\!+\!c\!>\!b\!+\!d$ を示せ．

　$a>b,c>d$ より $a-b>0$，$c-d>0$．
　よって証明すべき不等式 $a+c>b+d$ について， \[\begin{align*} (\mbox{左辺})-(\mbox{右辺})&=(a+c)-(b+d)\\[5pt] &=(a-b)+(c-d)\\[5pt] &>0+0\\[5pt] &=0 \end{align*}\]

■

例題2　不等式 $|a\!+\!b|\!\leqq\!|a|\!+\!|b|$ を示せ．

確認　$a\geqq0$，$b\geqq0$ のとき， \[a\geqq b\iff a^2\geqq b^2\]

\[\begin{align*} (\mbox{右辺})^2-(\mbox{左辺})^2&=(|a|+|b|)^2-|a+b|^2\\[5pt] &=(|a|^2+2|a||b|+|b|^2)-(a^2+2ab+b^2)\\[5pt] &=(a^2+2|a||b|+b^2)-(a^2+2ab+b^2)\\[5pt] &=2(|a||b|-ab)\\[5pt] &\geqq 0 \end{align*}\] \[\therefore (\mbox{左辺})^2\leqq(\mbox{右辺})^2\] 　左辺，右辺共に非負の数であるから， \[(\mbox{左辺})\leqq(\mbox{右辺})\] 　等号成立は，$a$ と $b$ が共に0以上，または共に0以下のとき．

■

5.2　相加平均と相乗平均

相加・相乗平均の関係式　$a>0,b>0$ のとき，\[\frac{a+b}2\geqq\sqrt{ab}\]　等号成立は，$a=b$ のとき．

証明

　$a>0,b>0$ であるから， \[\begin{align*} &\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\\[5pt] & a=(\sqrt a)^2\\[5pt] &b=(\sqrt b)^2 \end{align*}\] が成り立つことに注意して， \[\begin{align*} (\mbox{左辺})-(\mbox{右辺})&=\frac{a+b}2-\sqrt{ab}\\[5pt] &=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}2\\[5pt] &=\frac{(\sqrt a)^2-2\sqrt a\sqrt b+(\sqrt b)^2}2\\[5pt] &=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2}2\ \ \cdots\mbox{①}\\[5pt] &\geqq 0 \end{align*}\] 　等号成立，即ち (左辺)$-$(右辺)$=0$ となるのは，①の分子が0となるときで，$a>0,b>0$ により \[\sqrt a-\sqrt b=0\iff \sqrt a=\sqrt b\iff a=b\] となるから $a=b$ のときである．

■

補足

①　$\dfrac{a+b}2$，$\sqrt{ab}$ をそれぞれ $a$ と $b$ の相加平均，相乗平均という．

②　しばしば分母の2を払った \[x+y\geqq2\sqrt{xy}\] の形で用いられる．

注意

　相加・相乗平均の関係式を用いる際は，「$a>0, b>0$」の確認を必ず行う．

例題　$x\!>\!0$ のとき，不等式 $x\!+\!\dfrac1x\!\geqq\! 2$ を示せ．

　$x>0,\ \dfrac1x>0$ であるから，相加・相乗平均の関係により， \[x+\frac 1x\geqq2\sqrt{x\cdot\frac1x}=2\] 　等号成立は， \[\begin{align*} x=\frac1x&\iff x^2=1\ \ (\because x>0)\\[5pt] &\iff x=1\ \ (\because x>0) \end{align*}\] により，$x=1$ のとき．

　■

発展的注意

　相加・相乗平均の関係の良さは，評価精度の高さ，即ち等号が成立するケースがある，という点にある．($x^2\geqq -1$ と評価したところで，$x^2=-1$ となる実数 $x$ はない．)
　この評価の正確さから，しばしば関数の最大・最小問題に利用されるが，最大値，または最小値が求まるのは，相加平均，または相乗平均が定数になる場合であって，次のような使い方は正しくない：

例題　$x\!>\!0$ のとき，関数 $f(x)\!=\!x^2\!+\!\dfrac1x$ の最小値は?

こたえ（？？）

　$x^2>0,\ \dfrac 1x>0$ であるから，相加・相乗平均の関係により， \[x^2+\frac1x\geqq2\sqrt{x^2\cdot\frac1x}=2\sqrt x\] 　等号成立は，$x^2=\dfrac1x$，即ち $x^3=1$ のときだから，$x=1$．(ここまでは正しい．)
　よって，$x^2+\dfrac1x\geqq2\sqrt 1=2$ より，最小値は2（？？）(← 正しくない．)

　正しくは，$x=\dfrac1{\sqrt[3]2}$ で最小となる．

　$x^2+\dfrac1x\geqq2\sqrt x$ という不等式は，関数としての大小関係が正しいうえに，$x^2+\dfrac1x=2\sqrt x$ となる $x$ が1であることも正しい．しかし，$x^2+\dfrac1x$ の最小値は2ではない．

　因みに $x=\dfrac1{\sqrt[3]2}$ で最小となることを確かめるには，関数 $x^2+\dfrac1x$ を微分(数学Ⅲの内容)して増減を調べてみるのが簡単だが，次のように数学Ⅱの範囲の微分でも確認することができる．

　$x^2+\dfrac1x=k\ (\cdots$①) とおく．$x>0$ のとき，$x^2+\dfrac1x$ のとる値が $k$ であるということは，逆に $x^2+\dfrac1x$ を $k$ にするような実数 $x$ が存在しているということ，即ち

$x^3+1=kx\ \ \cdots$ ②

を満たす実数 $x$ が存在しているということである．この同値な言いかえは，左辺の3次関数のグラフと右辺の原点を通る傾き $k(\,>0)$ 直線が共有点をもつことである．グラフをイメージすると，直線が3次関数のグラフと接するとき，$k$ の値は最小となる．3次関数のグラフ上の点 $(t,t^3+1)$ における接線の方程式は

\[y=3t^2(x-t)+t^3+1\]

　これが原点を通るとき，

\[0=3t^2\cdot (-t)+t^3+1\ \ \therefore t=\frac1{\sqrt[3]2}\]

　$x=\dfrac1{\sqrt[3]2}$ のとき①の値を $k_0$ とすれば，②で両辺のグラフが $x=\dfrac1{\sqrt[3]2}$ 以外で共有点をもとうとすると，$k>k_0$ となってしまう．よって関数 $x^2+\dfrac1x$ の最小値 $k_0$ を実現する $x$ の値は $\dfrac1{\sqrt[3]2}$ である．

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