高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第1章 式と証明
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5. 不等式の証明
5.1 不等式の証明
$A>B$ の証明の仕方
① $A-B=\cdots >0$ を示す.
② 有名不等式の利用.
例題1 $a\!>\!b,\ c\!>\!d$ のとき,$a\!+\!c\!>\!b\!+\!d$ を示せ.
$a>b,c>d$ より $a-b>0$,$c-d>0$.
よって証明すべき不等式 $a+c>b+d$ について,
\[\begin{align*}
(\mbox{左辺})-(\mbox{右辺})&=(a+c)-(b+d)\\[5pt]
&=(a-b)+(c-d)\\[5pt]
&>0+0\\[5pt]
&=0
\end{align*}\]
■
例題2 不等式 $|a\!+\!b|\!\leqq\!|a|\!+\!|b|$ を示せ.
確認 $a\geqq0$,$b\geqq0$ のとき, \[a\geqq b\iff a^2\geqq b^2\]
\[\begin{align*} (\mbox{右辺})^2-(\mbox{左辺})^2&=(|a|+|b|)^2-|a+b|^2\\[5pt] &=(|a|^2+2|a||b|+|b|^2)-(a^2+2ab+b^2)\\[5pt] &=(a^2+2|a||b|+b^2)-(a^2+2ab+b^2)\\[5pt] &=2(|a||b|-ab)\\[5pt] &\geqq 0 \end{align*}\] \[\therefore (\mbox{左辺})^2\leqq(\mbox{右辺})^2\] 左辺,右辺共に非負の数であるから, \[(\mbox{左辺})\leqq(\mbox{右辺})\] 等号成立は,$a$ と $b$ が共に0以上,または共に0以下のとき.
■

5.2 相加平均と相乗平均
相加・相乗平均の関係式 $a>0,b>0$ のとき,\[\frac{a+b}2\geqq\sqrt{ab}\] 等号成立は,$a=b$ のとき.
証明
$a>0,b>0$ であるから, \[\begin{align*} &\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\\[5pt] & a=(\sqrt a)^2\\[5pt] &b=(\sqrt b)^2 \end{align*}\] が成り立つことに注意して, \[\begin{align*} (\mbox{左辺})-(\mbox{右辺})&=\frac{a+b}2-\sqrt{ab}\\[5pt] &=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}2\\[5pt] &=\frac{(\sqrt a)^2-2\sqrt a\sqrt b+(\sqrt b)^2}2\\[5pt] &=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2}2\ \ \cdots\mbox{①}\\[5pt] &\geqq 0 \end{align*}\] 等号成立,即ち (左辺)$-$(右辺)$=0$ となるのは,①の分子が0となるときで,$a>0,b>0$ により \[\sqrt a-\sqrt b=0\iff \sqrt a=\sqrt b\iff a=b\] となるから $a=b$ のときである.
■
補足
① $\dfrac{a+b}2$,$\sqrt{ab}$ をそれぞれ $a$ と $b$ の相加平均,相乗平均という.
② しばしば分母の2を払った \[x+y\geqq2\sqrt{xy}\] の形で用いられる.
注意
相加・相乗平均の関係式を用いる際は,「$a>0, b>0$」の確認を必ず行う.
例題 $x\!>\!0$ のとき,不等式 $x\!+\!\dfrac1x\!\geqq\! 2$ を示せ.
$x>0,\ \dfrac1x>0$ であるから,相加・相乗平均の関係により, \[x+\frac 1x\geqq2\sqrt{x\cdot\frac1x}=2\] 等号成立は, \[\begin{align*} x=\frac1x&\iff x^2=1\ \ (\because x>0)\\[5pt] &\iff x=1\ \ (\because x>0) \end{align*}\] により,$x=1$ のとき.
■
発展的注意
相加・相乗平均の関係の良さは,評価精度の高さ,即ち等号が成立するケースがある,という点にある.($x^2\geqq -1$ と評価したところで,$x^2=-1$ となる実数 $x$ はない.)
この評価の正確さから,しばしば関数の最大・最小問題に利用されるが,最大値,または最小値が求まるのは,相加平均,または相乗平均が定数になる場合であって,次のような使い方は正しくない:
例題 $x\!>\!0$ のとき,関数 $f(x)\!=\!x^2\!+\!\dfrac1x$ の最小値は?
こたえ(??)
$x^2>0,\ \dfrac 1x>0$ であるから,相加・相乗平均の関係により, \[x^2+\frac1x\geqq2\sqrt{x^2\cdot\frac1x}=2\sqrt x\] 等号成立は,$x^2=\dfrac1x$,即ち $x^3=1$ のときだから,$x=1$.(ここまでは正しい.)
よって,$x^2+\dfrac1x\geqq2\sqrt 1=2$ より,最小値は2(??)(← 正しくない.)
正しくは,$x=\dfrac1{\sqrt[3]2}$ で最小となる.
$x^2+\dfrac1x\geqq2\sqrt x$ という不等式は,関数としての大小関係が正しいうえに,$x^2+\dfrac1x=2\sqrt x$ となる $x$ が1であることも正しい.しかし,$x^2+\dfrac1x$ の最小値は2ではない.

因みに $x=\dfrac1{\sqrt[3]2}$ で最小となることを確かめるには,関数 $x^2+\dfrac1x$ を微分(数学Ⅲの内容)して増減を調べてみるのが簡単だが,次のように数学Ⅱの範囲の微分でも確認することができる.
$x^2+\dfrac1x=k\ (\cdots$①) とおく.$x>0$ のとき,$x^2+\dfrac1x$ のとる値が $k$ であるということは,逆に $x^2+\dfrac1x$ を $k$ にするような実数 $x$ が存在しているということ,即ち
$x^3+1=kx\ \ \cdots$ ②
を満たす実数 $x$ が存在しているということである.この同値な言いかえは,左辺の3次関数のグラフと右辺の原点を通る傾き $k(\,>0)$ 直線が共有点をもつことである.グラフをイメージすると,直線が3次関数のグラフと接するとき,$k$ の値は最小となる.3次関数のグラフ上の点 $(t,t^3+1)$ における接線の方程式は
\[y=3t^2(x-t)+t^3+1\]
これが原点を通るとき,
\[0=3t^2\cdot (-t)+t^3+1\ \ \therefore t=\frac1{\sqrt[3]2}\]
$x=\dfrac1{\sqrt[3]2}$ のとき①の値を $k_0$ とすれば,②で両辺のグラフが $x=\dfrac1{\sqrt[3]2}$ 以外で共有点をもとうとすると,$k>k_0$ となってしまう.よって関数 $x^2+\dfrac1x$ の最小値 $k_0$ を実現する $x$ の値は $\dfrac1{\sqrt[3]2}$ である.

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