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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第1章 式と証明

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1. 整式の除法 無料      【ノート
2. 分数式 無料        【ノート
3. 恒等式 無料        【ノート
4. 等式の証明 無料      【ノート
5. 不等式の証明 無料     【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

5. 不等式の証明

5.1 不等式の証明

$A>B$ の証明の仕方

① $A-B=\cdots >0$
② 有名不等式の利用

例題1 $a\!>\!b,\ c\!>\!d$ のとき,$a\!+\!c\!>\!b\!+\!d$ を示せ.

 $a>b,c>d$ より $a-b>0$,$c-d>0$.
 よって証明すべき不等式 $a+c>b+d$ について, \[\begin{align*} (\mbox{左辺})-(\mbox{右辺})&=(a+c)-(b+d)\\[5pt] &=(a-b)+(c-d)\\[5pt] &>0+0\\[5pt] &=0 \end{align*}\]

例題2 不等式 $|a\!+\!b|\!\leqq\!|a|\!+\!|b|$ を示せ.

\[\begin{align*} (\mbox{右辺})^2-(\mbox{左辺})^2&=(|a|+|b|)^2-|a+b|^2\\[5pt] &=(|a|^2+2|a||b|+|b|^2)-(a^2+2ab+b^2)\\[5pt] &=(a^2+2|a||b|+b^2)-(a^2+2ab+b^2)\\[5pt] &=2(|a||b|-ab)\\[5pt] &\geqq 0 \end{align*}\] \[\therefore (\mbox{左辺})^2\leqq(\mbox{右辺})^2\]  左辺,右辺共に非負の数であるから, \[(\mbox{左辺})\leqq(\mbox{右辺})\]  等号成立は,$a$ と $b$ が共に0以上,または共に0以下のとき.

5.2 相加平均と相乗平均

相加・相乗平均の関係式 $a>0,b>0$ のとき,\[\frac{a+b}2\geqq\sqrt{ab}\] 等号成立は,$a=b$ のとき.

証明

 $a>0,b>0$ であるから, \[\begin{align*} &\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\\[5pt] & a=(\sqrt a)^2\\[5pt] &b=(\sqrt b)^2 \end{align*}\] が成り立つことに注意して, \[\begin{align*} (\mbox{左辺})-(\mbox{右辺})&=\frac{a+b}2-\sqrt{ab}\\[5pt] &=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}2\\[5pt] &=\frac{(\sqrt a)^2-2\sqrt a\sqrt b+(\sqrt b)^2}2\\[5pt] &=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2}2\ \ \cdots\mbox{①}\\[5pt] &\geqq 0 \end{align*}\]  等号成立,即ち (左辺)$-$(右辺)$=0$ となるのは,①の分子が0となるときで,$a>0,b>0$ により \[\sqrt a-\sqrt b=0\iff \sqrt a=\sqrt b\iff a=b\] となるから $a=b$ のときである.

補足

① $\dfrac{a+b}2$,$\sqrt{ab}$ をそれぞれ $a$ と $b$ の相加平均相乗平均という.

② しばしば分母の2を払った \[x+y\geqq2\sqrt{xy}\] の形で用いられる.

注意

 相加・相乗平均の関係式を用いる際は,「$a>0, b>0$」の確認を必ず行う.

例題 $x\!>\!0$ のとき,不等式 $x\!+\!\dfrac1x\!\geqq\! 2$ を示せ.

 $x>0,\ \dfrac1x>0$ であるから,相加・相乗平均の関係により, \[x+\frac 1x\geqq2\sqrt{x\cdot\frac1x}=2\]  等号成立は, \[\begin{align*} x=\frac1x&\iff x^2=1\ \ (\because x>0)\\[5pt] &\iff x=1\ \ (\because x>0) \end{align*}\] により,$x=1$ のとき.

 ■

発展的注意

 相加・相乗平均の関係の良さは,評価精度の高さ,即ち等号が成立するケースがある,という点にある.($x^2\geqq -1$ と評価したところで,$x^2=-1$ となる実数 $x$ はない.)
 この評価の正確さから,しばしば関数の最大・最小問題に利用されるが,最大値,または最小値が求まるのは,相加平均,または相乗平均が定数になる場合であって,次のような使い方は正しくない:

 $x\!>\!0$ のとき,関数 $f(x)\!=\!x^2\!+\!\dfrac1x$ の最小値は?

 $x^2>0,\ \dfrac 1x>0$ であるから,相加・相乗平均の関係により, \[x^2+\frac1x\geqq2\sqrt{x^2\cdot\frac1x}=2\sqrt x\]  等号成立は,$x^2=\dfrac1x$,即ち $x^3=1$ のときだから,$x=1$.(ここまでは正しい.)
 よって,$x^2+\dfrac1x\geqq2\sqrt 1=2$ より,最小値は2(??)(← 正しくない.)

 正しくは,$x=\dfrac1{\sqrt[3]2}$ で最小となる.(確かめるには数学Ⅲの微分の知識が必要.)

 $x^2+\dfrac1x\geqq2\sqrt x$ という不等式は,関数としての大小関係が正しいうえに,$x^2+\dfrac1x=2\sqrt x$ となる $x$ が1であることも正しい.しかし,$x^2+\dfrac1x$ の最小値は2ではない.


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