中1数学 1次方程式の基礎：等式の性質・移項・比例式など

1．1次方程式：中学1年数学―オリジナル基礎教科書

中学数学[総目次]

中学1年数学　3章　方程式

級	検定	教科書
2級：1次方程式の基礎
1級：1次方程式の利用

1. 方程式とその解

同じであるという関係を表す等式

　直前に学んだ「2章 文字と式」の3．関係を表す式 において，等号「＝」には2つの意味があることを確認しました。

　ここでは，そのうちの1つである「同じであるという関係を表す記号」という意味の「＝」について，さらに深く見ていきます。

例

• 左辺の $2x$ というのは，1冊 $x$ 円のノート2冊の代金です。
  例えば
  ・$x=50$ (円)なら，$2\times50=100$ (円)
  ・$x=70$ (円)なら，$2\times70=140$ (円)
  です。つまり，$x$ の値によって，$2x$ の値が変化します。
• 右辺の400は，実際の代金です。

　ノート2冊の代金 $2x$ (円)と，実際の400円という代金が，同じであるという関係，それが

$2x$＝$400$

です。

方程式とは？

　この等式は，左辺が $x$ の値によって値が変化しますから，成り立つこともあれば，成り立たないこともあります。成り立つときの $x$ の値は何でしょうか？

　それは $x=200$ です。確かめてみましょう。

\[2x=2\times 200=400\]

　右辺の400と同じ値になりました。従って $x=200$ のとき，等式は成り立ちます。

　この $2x=400$ のように，$x$ の値によって，成り立ったり，成り立たなかったりする等式を，方程式(ほうていしき)といいます。

　また，$x=200$ のような，その方程式を成り立たせる $x$ の値を，その方程式の解(かい)といい，解を求めることを，方程式を解く(とく)といいます。

いくつかの例

　方程式の例題をやってみましょう。

例題1　方程式 $4x=20$ について， $x=6$ は解ですか。

例題2　方程式 $3x+4=25$ について，$x=7$ は解ですか。

例題3　方程式 $-2x=-x+6$ について，$x=-6$ は解ですか。

2．等式の性質

どうやって方程式を解くか

　方程式 $2x=400$ を解くと，解は $x=200$ でした。実際，

(左辺)$=2\times 200=400=$(右辺)

となるからです。では，$4x+5=-15$ や， $x=7x+12$ などはどうでしょうか。$x=1,\ 2,\ \cdots$ などを当てはめて考えるのでは，時間がかかりそうです。解が分数なら大変なことになります。

　実は，次に見る等式の性質を使えば，方程式の解が，機械的に求まります。あるいは「勝手に解にたどり着く」といってもよいかもしれません。

等式の4つの性質

　まとめておきましょう。

いくつかの例

例題1　方程式 $x-5=-1$ を解きなさい。

例題2　方程式 $x+3=-1$ を解きなさい。

例題3　方程式 $\dfrac x3=-6$ を解きなさい。

例題4　方程式 $4x=-12$ を解きなさい。

3．1次方程式の解き方

移項という考え方

　方程式 $x+4=1$ を考えてみます。

　等式の性質を使って，両辺から4を引くと

\[\begin{align*} x\color{red}{+4}&=1\\[5pt] x+4-4&=1-4\\[5pt] x&=1\color{red}{-4}\\[5pt] x&=-3 \end{align*}\]

　赤色の部分がある2つの式が大切です。この2つを書き出すと，次のようになっています。

\[\begin{align*} x\color{red}{+4}&=1\\[5pt] x&=1\color{red}{-4}\\[5pt] \end{align*}\]

　これはあたかも，$+4$ が「＝」という扉を通ると，$-4$ へと変身させられたかのようです。

　このように等式では，一方の辺にある項を，符号を変えて他方の辺に移動することができるのです。これを移項(いこう)するといいます。

移項の例

方程式	移項すると
$5x=\color{red}{3x}-6$	$5x\color{red}{-3x}=-6$
$-5x=\color{red}{-7x}+10$	$-5x\color{red}{+7x}=10$
$4x\color{red}{-2}=8$	$4x=8\color{red}{+2}$

方程式の解き方

　方程式は，文字を含む項を左辺に，数の項を右辺に移項することで，解くことができます。

例題1　 次の方程式を解きなさい。\[6x-17=2x-5\]

例題2[カッコを含む場合]　 次の方程式を解きなさい。\[7(x+2)=9x+6\]

例題3[分数を含む場合]　 次の方程式を解きなさい。\[\dfrac x2=\dfrac x3-1\]

例題4[小数を含む場合]　 次の方程式を解きなさい。\[0.4x-1.3=0.7\]

補足

　これまで学んできた方程式は，移項して整理すると，どんなものでも次のような形をしています。

\[ax+b=0\]

　この左辺は $x$ の1次式なので，この形の方程式を1次方程式といいます。

4．比例式

　例えば，果汁40％のオレンジジュース200mLに含まれている果汁の量は

$200\times0.4=80$(mL)

です。よって，果汁とジュースの比は

\[80:200=2:5\]

となります。このとき，$\dfrac25$ を $2:5$ の比の値といいます。

$a:b$ の比の値は $\dfrac ab$

　小学校のときから，$80:200=2:5$ と書いてきましたね。これは「80と200の比」と「2と5の比」が等しいという意味です。

　では，ここで問題です。「比が等しい」とはどういうことなのでしょうか？
　もし「説明してごらん」と言われたら，うまく答えられるでしょうか？

　実は，その答えはこうです。

比を分数にして比べてみると，どちらも同じ値になる

\[\dfrac{80}{200}=\dfrac25\]

　つまり，「比が等しい」というのは「それぞれの分数の値が等しい」ということを意味しているのです。

　一般に，次が成り立ちます

\[\dfrac ab=\dfrac cd\iff a:b=c:d\]

　$a:b=c:d$ のような比で表された等式を比例式といいます。

比例式の解き方

　比例式を扱うとき，上の等式のように分数だとちょっと書きにくいです。そこで，$\dfrac ab=\dfrac cd$ の両辺に $bd$ を掛けて，分母を払うと次のようになります。

\[\dfrac ab\color{red}{\times bd}=\dfrac cd\color{red}{\times bd}\]

\[ad=bc\]

　小学校のときからこの形で使ってきたと思います。そこで，今後は比例式が出てきたら，この形で取り扱うことにします。

比例式の関係\[a:b=c:d\iff ad=bc\]

例題　比例式 $x:4=7:2$ を満たす $x$ を求めなさい。

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