中1数学 1次方程式の基礎：等式の性質・移項・比例式など

1．1次方程式：中学1年数学―オリジナル基礎教科書

中学数学[総目次]

中学1年数学　3章　方程式

1. 方程式とその解

同じであるという関係を表す等式

　直前に学んだ「2章 文字と式」の3．関係を表す式 において，等号「＝」には2つの意味があることを確認しました。

　ここでは，そのうちの1つである「同じであるという関係を表す記号」という意味の「＝」について，さらに深く見ていきます。

例

• 左辺の $2x$ というのは，1冊 $x$ 円のノート2冊の代金です。
  例えば
  ・$x=50$ (円)なら，$2\times50=100$ (円)
  ・$x=70$ (円)なら，$2\times70=140$ (円)
  です。つまり，$x$ の値によって，$2x$ の値が変化します。
• 右辺の400は，実際の代金です。

　ノート2冊の代金 $2x$ (円)と，実際の400円という代金が，同じであるという関係，それが

$2x$＝$400$

です。

方程式とは？

　この等式は，左辺が $x$ の値によって値が変化しますから，成り立つこともあれば，成り立たないこともあります。成り立つときの $x$ の値は何でしょうか？

　それは $x=200$ です。確かめてみましょう。

\[2x=2\times 200=400\]

　右辺の400と同じ値になりました。従って $x=200$ のとき，等式は成り立ちます。

　この $2x=400$ のように，$x$ の値によって，成り立ったり，成り立たなかったりする等式を，方程式(ほうていしき)といいます。

　また，$x=200$ のような，その方程式を成り立たせる $x$ の値を，その方程式の解(かい)といい，解を求めることを，方程式を解く(とく)といいます。

いくつかの例

　方程式の例題をやってみましょう。

例題1　方程式 $4x=20$ について， $x=6$ は解ですか。

例題2　方程式 $3x+4=25$ について，$x=7$ は解ですか。

例題3　方程式 $-2x=-x+6$ について，$x=-6$ は解ですか。

2．等式の性質

どうやって方程式を解くか

　方程式 $2x=400$ を解くと，解は $x=200$ でした。実際，

(左辺)$=2\times 200=400=$(右辺)

となるからです。では，$4x+5=-15$ や， $x=7x+12$ などはどうでしょうか。$x=1,\ 2,\ \cdots$ などを当てはめて考えるのでは，時間がかかりそうです。解が分数なら大変なことになります。

　実は，次に見る等式の性質を使えば，方程式の解が，機械的に求まります。あるいは「勝手に解にたどり着く」といってもよいかもしれません。

等式の4つの性質