中1数学平面図形の基礎と3つの移動

1．平面図形：中学1年数学ーオリジナル基礎教科書

中学1年数学　5章　平面図形

級	検定	教科書
3級：平面図形の基礎と3つの移動
2級：垂直二等分線・角の二等分線など6つの基本技法
1級：円の基本：弧・弦・接線の意味と公式

1. 平面上の直線

直線・線分・半直線とは

直線とは？

　限りなく伸びた，まっすぐな線のことを直線といいます。

　異なる2点A，Bが与えられると，その2点を通る直線はただ1つに決まります。この直線を，直線AB と表します。

線分(せんぶん)とは？

　直線ABについて，2点A，Bを両端とする部分を 線分AB と表します。

半直線(はんちょくせん)とは？

直線ABの，点Aを端とし，B の方向へ限りなく伸びる部分を 半直線 AB と表します。
直線ABの，点Bを端とし，A の方向へ限りなく伸びる部分を 半直線 BA と表します。

　この表現からわかるように，「半直線〇△」という表現は，〇の点から△の点に向けて伸びる線という意味です。つまり，〇がスタート地点ということになります。

直線・線分・半直線

2直線の位置関係

　平面上に異なる2つの直線 $\ell,\ m$ があるとき，$\ell$ と $m$ の位置関係は，次の2つのいずれかです。

1°　交わる

2°　交わらない

　2直線が交わるとき，その交わる点を交点(こうてん)といいます。

※直線は英語でline(ライン)というので，しばしば $\ell$ の文字が使われます。$m$ の方は，アルファベット順で $\ell$ の次だから使われているにすぎません。数学では，図形にいろいろなアルファベットを使って名前を付けますが，絶対にこの文字でなければならないということはまずありません。

　2直線AB，CDが垂直に交わるとき，「AB⊥CD」で表し，「AB垂直CD」と読みます。

　ついでに，線分ABと線分CDも垂直です。線分ABと線分CDが離れていて交わらなくても，それぞれを直線に延長したときに垂直であれば，線分ABと線分CDは垂直であるといいます。

　垂直な2直線の一方を，他方の垂線(すいせん)といいます。ABはCDの垂線であり，CDはABの垂線です。

　また，2直線が交わらないとき，「AB//CD」と表し，「AB平行CD」と読みます。直線に $\color{red}>$ や $\color{red}{>\!\!>}$ の記号をかくことがあります。

距離

●点と点の距離

　2点A，Bについて，線分ABの長さを，2点A，B間の距離といいます。

　つまり，2点間の最短の長さという意味ですね。

　例えば，2点A，B間の距離が5cmのとき，AB=5cmというように表します。このときの「AB」は「線分 AB の長さ」を意味しています。

「線分ABの長さが5cm」$\iff$「AB=5cm」

●点と直線の距離

　直線 $\ell$ と，$\ell$ 上にない点Pについて，Pから $\ell$ に垂線を引き，$\ell$ との交点をQとします。このとき，Qを垂線の足(あし)といいます。

　また，線分PQの長さを，点Pと直線 $\ell$ の距離といいます。

●直線と直線の距離

　平行な2直線 $\ell,\ m$ について，$\ell$ 上のどこに点Pをとっても，Pと$\ell$ の距離は一定です。

　この一定の距離を，平行な2直線 $\ell,\ m$ の距離といいます。

角

　半直線OA，OBを引くと，図のように角ができます。

　この角を，∠の記号を用いて∠AOB，または∠BOAと表します。

　また，簡単に∠Oや，$\angle a$ と表すこともあります。

　角の大きさが60°のときは，∠AOB=60°といった表現もよく使われます。このときの「∠AOB」は，「∠AOBの大きさ」を意味しています。

　Oを頂点，半直線OA，OBを辺といいます。

補足

　∠AOBと書いたとき，次の2つの角が考えられますが，通常は小さい方を指していると考えて差し支えありません。

∠AOBは小さい方(黄色)と
大きい方(紫色)の
2つが考えられますが，
通常小さい方を指します。

2. 図形の移動

　図形の形や大きさを変えずに，ほかの位置に動かすことを移動といいます。

　中学校では，①平行移動，②回転移動，③対称移動の3つを学びます。

①平行移動

　図形を，一定の方向に，一定の距離だけずらすことを平行移動といいます。

性質

対応する点を結んでできる線分はすべて平行。
　$\rm AA’\ //\ BB’\ //\ CC’$
対応する点を結んでできる線分の長さは等しい。
　$\rm AA’=BB’=CC’$

②回転移動

　図形を，ある点を中心として一定の角度だけ回すことを，回転移動といいます。このとき，中心とした点を，回転の中心といいます。

　特に，180°の回転移動を点対称移動といいます。

性質

対応する点は回転の中心からの距離が等しい。
　$\rm OA=OA’,\ OB=OB’,\ OC=OC’$
対応する点と回転の中心を結ぶ線でできる角の大きさは等しい。
　$\rm \angle AOA’=\angle BOB’=\angle COC’$

※点対称移動は名前に「対称」とありますが，中学校の分類では次に示す対称移動ではなく，回転移動の特別な場合として扱われます。

③対称移動

　図形を，ある直線を折り目として，折り返した位置に移すことを，対称移動といいます。このとき，折り目とした直線を対称の軸といいます。

性質

対応する2点を結ぶ線分は，対称の軸と垂直に交わる。
　$\rm AA’\perp\ell,\ \ BB’\perp\ell,\ \ CC’\perp\ell$
対応する2点を結ぶ線分は，対称の軸で2等分される。
　$\rm AP=A’P,\ BQ=B’Q,\ CR=C’R$

垂直二等分線という線

　線分を2等分する点を，中点(ちゅうてん)といいます。中点を通る垂線を，その線分の垂直二等分線といいます。

　対称移動において，対称の軸は，対応する2点を結ぶ線分の垂直二等分線となっています。

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