6．空間図形：中学1年数学ーオリジナル基礎教科書
中学数学[総目次]
中学1年数学 6章 空間図形
1. いろいろな立体
角錐（かくすい）・円錐（えんすい）とは
次の図のような，先のとがった立体を錐体（すいたい）といいます。
底の面を底面（ていめん）といいます。上の3つの図では色がついている面のことです。
底面の形によって，次のように呼びます。底面がどのような形をしているかによって名前が決まります。
- $n$ 角形のとき → $n$ 角錐
- 円のとき → 円錐
補足
底面が正三角形のときや、正方形などの正多角形で，側面が合同な二等辺三角形の場合，特別に正三角錐（せいさんかくすい），正四角錐（せいしかくすい）などといいます。
正多面体（せいためんたい）
いくつかの平面で囲まれた立体を多面体（ためんたい）といいます。
面の数が $n$ のとき，$n$ 面体といいます。
それらのなかで重要なのが，次の正多面体です。
🔹正多面体とは？
すべての面が合同な正多角形でできている多面体を正多面体（せいためんたい）といいます。
正多面体は次の５つしかありません。
🔹正多面体の性質
頂点の数，面の数，辺の数を表でまとめると次のようになります。
| 正四面体 | 正六面体 | 正八面体 | 正十二面体 | 正二十面体 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 頂点の数 | 4 | 8 | 6 | 20 | 12 |
| 面の数 | 4 | 6 | 8 | 12 | 20 |
| 辺の数 | 6 | 12 | 12 | 30 | 30 |
補足（正多面体の親戚関係)
- 正六面体の6つの面の中心を結ぶと，正八面体が現れます。
- 正八面体の8つの面の中心を結ぶと，正六面体が現れます。
つまり
- 正六面体の頂点は，正八面体の面の数だけある
- 正八面体の頂点は，正六面体の面の数だけある
ということです。
これと全く同じ関係が，正十二面体と正二十面体の間にもあります。次の表で，色分けされたところを確認してください。
2. 空間における平面と直線
平面の決定
空間内にある3点について，3つとも同じ直線上にある場合を除いて，その3点を含む平面はただ1つです。
このとき，3点A，B，Cを含む平面を，平面ABCと表すことがあります。
ポイント
空間内で3点が与えられると，その3点を通る平面がただ1つ定まる
※ただし，3点がすべて同じ直線上にある場合を除く
念のための注意
- 2点A，Bを通る平面は？と聞かれても，そのような平面は無数にあり，1つに定まりません。
- 3点A，B，Cのほかに，点Dがあるとすると，この点Dは平面ABC上にある場合もあれば，ない場合もあります。
空間での2直線の位置関係
1つの平面上にある，2本の直線の位置関係は
①1点で交わる ②交わらない（平行）
のどちらかですが，
空間内では
平行ではないが，交わらない
という3番目の位置関係が存在します。
これをねじれの位置といいます。
まとめ
空間内の2直線の位置関係
- 1点で交わる
- 平行である
- ねじれの位置にある(←平面のときから新たに追加)
例題 次の内容は正しいですか。正しくないですか。
「空間内の異なる3つの直線 $\ell,\ m,\ n$ について，$\ell\perp m$，$\ell\perp n$ ならば，$m\, /\!/\,n$ である。」
こたえ
ポイント
このような問題では，次のように立方体や直方体を使って考えるのがポイントです。
$\ell,\ m,\ n$ を図のようにとると，$\ell\perp m$，$\ell\perp n$ です。
ところが $m$ と $n$ はねじれの位置にあり，$m\, /\!/\,n$ ではありません。
答え 正しくない
補足
数学では，たまたま合っているだけでは「正しい」とは言いません。
どんな場合でも，いつでも成り立つときにだけ，その主張は正しいと言います。
つまり，1つでも合っていないケースがあれば，その主張は「正しくない」となるのです。
直線と平面の関係
空間内における，直線 $\ell$ と平面 $P$ の位置関係は，次の3つがあります。
🔹直線と平面が平行であるとは
直線 $\ell$ と平面 $P$ が交わらない[3]のようなケースを，$\ell$ と $P$ は平行であるといい，
$\ell$ // $P$
で表します。
🔹直線が平面に垂直であるとは
直線と平面の交点を $O$ とします。$O$ を通る平面上のすべての直線と $\ell$ が垂直であるとき，直線 $\ell$ と平面 $P$ は垂直であるといい，
$\ell$ ⊥ $P$
で表します。また，直線 $\ell$ を平面 $P$ の垂線といいます。
平面上のどんな直線とも $\ell$ は垂直
🔍 直線と平面が垂直かどうかの判定方法
直線と平面が垂直であるかどうかチェックするには，平面上の $O$ を通る2本の直線と $\ell$ が垂直であることをチェックするだけで十分です。たった2本です。しかも，どんな2本でも構いません。
これは図のように，三角定規を2つ用意し，直角部分をくっつけることで，直線と平面の位置関係が決定されることからわかります。
点と平面の距離
点Aから平面 $P$ に下した垂線の足をHとすると，線分AHの長さを，点Aと平面 $P$ の距離といいます。
角錐や円錐では，頂点と底面との距離が，その立体の高さとなります。
2平面の位置関係
異なる2つの平面 $P$，$Q$ の位置関係は次の2つがあります：
[1] 交わる
[2] 交わらない
[2] の場合，平面 $P$ と $Q$ は平行であるといい，
$P$ // $Q$
で表します。
次は，立体の切断を考えるうえで，極めて重要な視点となります。
重要
平行な2平面に，それらとは平行ではない平面が交わってできる2本の交線は平行である。
🔹2つの平面が垂直であるとは
平面 $P$ と，この平面に垂直な直線 $\ell$ があるとします。平面 $Q$ が $\ell$ を含むとき，2つの平面 $P$ と $Q$ は垂直であるといい，
$P\perp Q$
で表します。
🔹平行な2平面の距離
2つの平面 $P$ と $Q$ について， $P$ // $Q$ のとき，$P$ 上のどこに点Aをとっても，Aと $Q$ の距離は一定です。この距離を，平行な2平面 $P$ ，$Q$ の距離といいます。
3. 立体のいろいろな見方
回転体（かいてんたい）
ある平面図形を，その平面上にある直線 $\ell$ の周りに1回転させてできる立体を回転体といい，$\ell$ を回転の軸といいます。
例
- 長方形ABCDを，直線CDを回転の軸とした回転体
→ 円柱
- 直角三角形ABCを，直線ACを回転の軸とした回転体
→ 円錐
このとき，辺ABのような，回転して円柱や円錐の側面となる辺を，母線（ぼせん）といいます。
立体の切断
多面体を，1つの平面で切断した切り口を考えてみましょう。
このときの基本となる考え方が，次の3つです。
ポイント
[1] 平行な2面にできる交線は平行
[2] 1つの面にできる交線は，あっても1本
より詳しく
- 例えば，立方体に七角形や，八角形の切り口を作ることはできません！立方体は6面しかないからです。
[3] 交線は，1つの平面上では折れ曲がらない
より詳しく
- 例えば，立方体を3点A，B，Cを通る平面で切ったときの切り口として，下のような図はあり得ません。
例題 立方体において，図の3点A，B，Cを通る平面で切断したときの切り口をかきなさい。
こたえ
考え方①
上の面と下の面が平行
→ 下の面に，頂点Cから，線分ABと平行な線を引く
空間図形検定【2級】 の中では，アニメーションを用いてわかりやすく説明しています。
考え方②
赤色の線を延長
→ 半直線BCと赤色の線の交点をとる
→ その点と頂点Aを結ぶ
空間図形検定【2級】 の中では，アニメーションを用いてわかりやすく説明しています。
投影図（とうえいず）
円柱を例にとりましょう。
真正面から見ると長方形です。また真上から見ると円です。
このように立体を正面から見た図を立面図（りつめんず），真上から見た図を平面図（へいめんず）といいます。これらをまとめて投影図（とうえいず）といいます。
いくつかの例
- 正四角錐
- 三角柱
補足
投影図には、側面方向から見た側面図も考えることがあります。
例えば次の3つの立体は，立面図と平面図が同じなので，立面図と平面図の2つから元の立体を完全には復元できません。
展開図（てんかいず）
多面体を，辺に沿って切り開き，1つの平面上に広げた図を展開図といいます。
例1 円柱
例2 円錐
展開図で重要なものは，何と言っても正多面体の展開図で，その中でもとりわけ正六面体，正八面体の展開図は，出題される率がピカイチです。
次の展開図の性質は，とても重要です。
正多面体の展開図の性質
[1] なす角が最小の2辺は，組み立てたとき重なる
[2] 重なる2辺の，その隣りどうしの辺も重なる
※ただし，2面で共有するのは1本のみ
[3] [1]で重なる2辺がくっつくように，展開図の一部を移動してもよい
例1 立方体の展開図の例
この赤色の線の引き方を，空間図形検定【2級】 の中では，アニメーションを用いてわかりやすく説明しています。
例2 正八面体の展開図の例
この赤色の線の引き方を，空間図形検定【2級】 の中では，アニメーションを用いてわかりやすく説明しています。
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