6．空間図形：中学1年数学ーオリジナル基礎教科書
中学数学[総目次]
中学1年数学 6章 空間図形
1. 表面積（ひょうめんせき）
表面積，底面積，側面積
立体の面積に関する3つの用語を確認します。
- 表面積：すべての面の面積の和
- 底面積：1つの底面の面積
- 側面積：側面全体の面積
補足
例えば円柱には上下に2つの底面があります。(上の面も底面といいます。)
底面積とは，その2つの底面のうちの，1つだけの面積を指します。
例題1 底面の半径が3cm，高さが6cmの円柱について，底面積，側面積，表面積を求めなさい。
こたえ
底面積：$\pi\times3^2=9\pi$ (cm²)
側面積：側面は長方形で，たては6cmです。
横は，底面の円周の長さに等しいので，
$2\pi\times 3=6\pi$ (cm)
よって側面積は
$6\times6\pi=36\pi$ (cm²)
表面積：2つの底面積と側面積の合計を計算して
$9\pi\times2+36\pi=18\pi+36\pi=54\pi$ (cm²)
例題2 底面の半径が $r$，母線の長さが $\ell$ の円錐について，次の問いに答えなさい。
(1) 展開図にある角 $x$ の大きさを，$\ell$ と $r$ を使って表しなさい。
(2) 側面積を，$\ell$ と $r$ を使って表しなさい。
(1) 中心角は，弧の長さに比例します。（詳しくは こちら ）
側面の扇形の弧の長さ：$2\pi r$
側面の母線を半径にもつ円(点線)の円周：$2\pi \ell$
よって
\[x=360^\circ\times\dfrac{2\pi r}{2\pi\ell}=\underline{\boldsymbol{\dfrac{360^\circ\times r}{\ell}}}\]
(2) 扇形の面積は，弧の長さに比例します。
\[\pi \ell\,^2\times \dfrac{2\pi r}{2\pi\ell}=\underline{\boldsymbol{\pi\,\ell\, r}}\]
補足
(2)の結果は，側面積の求める公式として覚えてしまいましょう！
円錐の側面積の公式
2. 体積
角柱と円柱の体積
直方体や円柱のように，底面の形がそのままに上の方まで続いている立体で，上下の面が平行になっているものを柱体（ちゅうたい）といいます。
柱体の体積は，どんなものでも次のようにして求めることができます。
角柱・円柱の体積の求め方
体積=(底面積)×(高さ)
例題1 次の三角柱の体積を求めなさい。
こたえ
底面積：$\dfrac12\times 2\times4=4$ (cm²)
高 さ：3cm
よって体積は
$4\times3=12$ (cm³)
例題2 次の四角柱の体積を求めなさい。
こたえ
底面積：2つの三角形の面積の合計として計算します。
$\dfrac12\times4\times3+\dfrac12\times5\times1=6+\dfrac52=\dfrac{17}2$ (cm²)
高 さ：3cm
よって体積は
$\dfrac{17}2\times3=\dfrac{51}2$ (cm³)
例題3 次の図のように，底面が半径4cmで，中心角が120°の扇形で，高さが6cmである立体の体積を求めなさい。
こたえ
底面積：半径4cmの円の面積の $\dfrac{120^\circ}{360^\circ}=\dfrac13$ なので，
$\pi\times4^2\times\dfrac13=\dfrac{16\pi}3$ (cm²)
高 さ：6cm
よって体積は
$\dfrac{16\pi}3\times6=32\pi$ (cm³)
角錐と円錐の体積
角錐や円錐などの錐体の体積は，どんなものでも次のようにして求めることができます。
角錐・円錐の体積の求め方
体積=$\boldsymbol{\dfrac1{\,3\,}}$×(底面積)×(高さ)
つまり，錐体の体積は，柱体の体積の $\dfrac13$ であるということです。
例題1 次の底面が正方形である四角錐の体積を求めなさい。
こたえ
底面積：3×3=9（cm²）
高 さ：4cm
よって体積は
$\dfrac13\times 9\times 4=12$（cm³）
例題2 次の円錐の体積を求めなさい。
こたえ
底面積：$\pi\times7^2=49\pi$（cm²）
高 さ：9cm
よって体積は
$\dfrac13\times49\pi\times9=147 \pi$（cm³）
球(きゅう)の表面積と体積
中心から等しい距離にある点の集まりを球（きゅう）といいます。
※「たま」とは言いません。
級の表面積と体積は，次の式で計算できることが知られています：
球の表面積と体積の求め方
半径が $r$ の球について
表面積=$\boldsymbol{4\,\pi\,r^2}$
体積=$\boldsymbol{\dfrac4{\,3\,}\pi\,r^3}$
補足（覚え方）
例題 半径が5cmの球の，表面積と体積を求めなさい。
こたえ
表面積：$4\pi\times5^2=4\pi\times25=100\pi$ (cm²)
体 積：$\dfrac43\pi\times5^3=\dfrac43\pi\times125=\dfrac{500}3\pi$（cm³）
いろいろな立体の体積
例題1（回転体の体積） 次の図の直角三角形ABCを，辺ACを軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。
考え方
回転体がどんな立体になるかイメージする
こたえ
この回転体は，底面の半径が4cm，高さが3cmの円錐です。
よって求める体積は
$\dfrac13\times(\pi\times4^2)\times3=\dfrac13\times16\pi\times3=16\pi$（cm³）
例題2（切断された立体） 次の図は1辺の長さが6cmの立方体です。この立方体の4点A，C，F，Hを頂点とする立体について，その体積を求めなさい。
切断された立体の体積は，見たこともないような立体になることが多いです。
そんな立体を直接相手にすることはとても難しいですね！
こんなとき，次のような考え方をすることがほとんどです：
考え方
- 全体から不要な部分を取り除く
- 計算可能な部分に分ける（切る）
こたえ
4点A，C，F，Hを頂点とする立体は，正三角形4つでできた立体ですから，次のような正四面体です。
正四面体は三角錐の仲間ですが，
$\dfrac13$ ×（底面積）×（高さ）
を使って計算しようとしてもできません。
そこで
全体から不要な部分を取り除く
という考え方を使って体積を求めます。
この正四面体は，元の立方体から次の4つの三角錐を取り除いたものです。
しかも，これら4つはすべて合同な三角錐で，1個当たりの体積は
$\dfrac13\times\left(\dfrac12\times6\times6\right)\times6=36$ (cm³)
また，元の立方体の体積は 6×6×6=216（cm³）
よって求める体積は
216－36×4=216－144=72（cm³）
中学数学[総目次]
中学1年数学 6章 空間図形