1．式の計算：中学2年数学―オリジナル基礎教科書
中学数学[総目次]
中学2年数学 1章 式の計算
式の計算検定
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1．単項式と多項式
これまで「式」といえば，1＋1 や 5－2 などでした。
また，$2x=6$ などの方程式といった用語もありました。
ここでは新しい用語として、単項式と多項式を学習します。
単項式（たんこうしき）とは？
数や文字をかけ合わせてできている式を，単項式といいます。
数や文字が1つだけのものも，単項式に含めます。
例： $50,\ x,\ -y,\ 4a^2b$
ワンポイント
使えるのは乗法だけです。
$\dfrac2x$ や $\dfrac {b^2}a$ は単項式ではありません。
これらは $2\div x$ や $b^2\div a$ を意味し，除法を使っています。
Q．それでは $\dfrac x5$ はどうでしょう？
A．これは単項式です。
$\dfrac x5$ → $\dfrac15\times x$
🤔疑問
「どういうことなの？ $x\div5$ ではないの？」
そういう見方もできます。
単項式かどうかの判断は，「文字で」割っていないかどうかです。
「5」は文字ではなく，数です。
多項式（たこうしき）とは？
単項式の和の形で表される式を，多項式といいます。
例： $5x+2,\ x-2y,\ 3a^2-ab+c$
🤔疑問
「$x-2y$ は和ではなく，差ですよね？」
その通り❗ でも、、、
ワンポイント
「和(＋)の形で表される」というのは，
$x-2y$ → $x+(-2y)$
$3a^2-ab+c$ → $3a^2+(-ab)+c$
というように和の形にすることができます。だから多項式です。
・項（こう）とは
多項式を和の形で表したときの，1つ1つの単項式のこと。
例： $-x^3+xy-1$ → $-x^3+xy+(-1)$（加法に変える）
項は $-x^3,\ xy,\ -1$ の3つ。
特に，数だけの項を定数項といいます。（上の例では $-1$）
ワンポイント
多項式の項を見つけ方
＋やーは，すぐうしろとセット
単項式の次数と多項式の次数
🔹単項式の次数
かけ合わされている文字の個数のこと
例：
| 単項式 | 次数 |
|---|---|
| $2abc$ | 3 |
| $5x$ | 1 |
| $-x^3y$ | 4 |
🔹多項式の次数
各項の次数のうち，最も高いもの
→ この式の次数は 3
例：
| 式 | 式の次数 |
|---|---|
| $-2$ | 0 |
| $3x$ | 1 |
| $4x-1$ | 1 |
| $x^2+2x-3$ | 2 |
| $5x^2+6$ | 2 |
次数が1の式を1次式，次数が2の式を2次式といいます。
例えば，
$4x-1$ → 1次式
$5x^2+6$ → 2次式
注意
次数は「高い」「低い」で表現します。「大きい」「小さい」ではありません。
例： $x^2-x$ の次数は，$3x+5$ の次数より高い。
同類項（どうるいこう）とは？
多項式の中で，文字の部分が同じ項のこと
例：
| 式 | 同類項 |
|---|---|
| $-4x+5+x$ | $-4x$ と $x$ |
| $2a-3b+b-4a$ | $2a$ と $-4a$，及び $-3b$ と $b$ |
同類項どうしは計算できる！
分配法則 $(m+n)x=mx+nx$ の，左辺と右辺を入れかえた
\[mx+nx=(m+n)x\]
を利用すると，同類項は1つにまとめることができます。
例：
(1) $2x+3x=(2+3)x=5x$
(2) $2a-3b+b-4a=(2-4)a+(-3+1)b$
$=-2a-2b$
2．式の加法と減法
式の加法
2つ以上の多項式の加法は，それぞれの式にカッコ( )をつけてから計算します。
例 $3x+2y$ と $4x-y$ の和
\[(3x+2y)+(4x-y)\]
計算の手順
① カッコをはずす（そのままはずしてOK）
② 同類項をまとめる
手順① $(3x+2y)+(4x-y)=3x+2y+4x-y$
手順② $(3+4)x+(2-1)y=\underline{7x+y}$
式の減法
2つ以上の多項式の減法は，それぞれの式にカッコ( )をつけてから計算します。
例： $3x+2y$ と $4x-y$ の差
\[(3x+2y)-(4x-y)\]
計算の手順
① 引く方の式のみ各項の符号を変えて，カッコをはずす
② 同類項をまとめる
手順① $(3x+2y)-(4x-y)=3x+2y-4x+y$
手順② $(3-4)x+(2+1)y=\underline{-x+3y}$
3．多項式の計算
- 数×式（または式×数)
- 式÷数
- 多項式＋多項式
- 式の値
の順に確認していきましょう。
1．数×式
🔹数×単項式
例：
(1)
\[\begin{align*} 3a\times2&=3\times a\times2\\[5pt] &=3\times 2\times a\\[5pt] &=6a \end{align*}\]
(2)
\[\begin{align*} 2x\times(-4)&=2\times x\times(-4)\\[5pt] &=2\times (-4)\times x\\[5pt] &=-8x \end{align*}\]
🔹数×多項式
分配法則を使って，「数×多項式」の計算をしてみましょう。
分配法則
\[\begin{align*} &m(x+y)=mx+my\\[5pt] &(x+y)m=mx+my \end{align*}\]
例：
(1) [前から数をかける例]
\[\begin{align*} 3(2a-b)&=3\times 2a-3\times b\\[5pt] &=\underline{6a-3b} \end{align*}\]
(2) [うしろから数をかける例]
\[\begin{align*} (a-2b)\times(-2)&=a\times(-2)-2b\times(-2)\\[5pt] &=\underline{-2a+4b} \end{align*}\]
(3) [カッコ内に3つの項がある例]
\[\begin{align*} 4(2x-3y-1)&=4\times2x-4\times3y-4\times1\\[5pt] &=\underline{8x-12y-4} \end{align*}\]
(4) [約分をした後に分配する例]
\[\begin{align*} \dfrac{4x-5}3\times6&=\dfrac{(4x-5)\times\overset{\color{red}{2}}{\bcancel{6}}}{\underset{\color{red}{1}}{\bcancel{3}}}\\[5pt] &=(4x-5)\times2\\[5pt] &=\underline{8x-10} \end{align*}\]
2．式÷数
例：
(1) [単項式を数で割る例]
\[\begin{align*} 12x\div4&=\dfrac{\overset{\color{red}{3}}{\bcancel{12}}x}{\underset{\color{red}{1}}{\bcancel{4}}}\\[5pt] &=\underline{3x} \end{align*}\]
(2) [単項式を分数で割る例]
\[\begin{align*} 6a\div\dfrac25&=6a\times \dfrac52\\[5pt] &=\overset{\color{red}{3}}{\bcancel{6}} \times \dfrac{5}{\underset{\color{red}{1}}{\bcancel{2}}}\times a\\[5pt] &=\underline{15a} \end{align*}\]
(3) [多項式を数で割る例]
\[\begin{align*} (6a-9b)\div3&=(6a-9b)\times \dfrac13\\[5pt] &=\dfrac{6a}3-\dfrac{9b}3\\[5pt] &=\underline{2a-3b} \end{align*}\]
3．多項式＋多項式
(1) [数×多項式＋数×多項式の例]
\[\begin{align*} 3(x+2y)+2(x-y)&=3x+6y+2x-2y\\[5pt] &=\underline{5x+4y} \end{align*}\]
(2) [数×多項式ー数×多項式の例]
\[\begin{align*} 3(x+2y)-2(x-y)&=3x+6y-2x+2y\\[5pt] &=\underline{x+8y} \end{align*}\]
(3) [分数の形ー分数の形の例]
\[\begin{align*} &\hspace{6mm}\dfrac{x-3y}3-\dfrac{3x-5y}2\\[5pt] &=\dfrac{2(x-3y)}{3\times2}-\dfrac{3(3x-5y)}{2\times3}\\[5pt] &=\dfrac{2(x-3y)-3(3x-5y)}6\\[5pt] &=\dfrac{2x-6y-9x+15y}6\\[5pt] &=\underline{\dfrac{-7x+9y}6} \end{align*}\]
(3)は，次のように答えてもOK！
$-\dfrac{7x-9y}6$ または $ -\dfrac76x+\dfrac32y$
最初の式は
\[\begin{align*} \dfrac{-7x+9y}6&=\dfrac{-1(7x-9y)}6\\[5pt] &=-1\times\dfrac{7x-9y}6\\[5pt] &=-\dfrac{7x-9y}6 \end{align*}\]
2番目の式は
\[\begin{align*} \dfrac{-7x+9y}6&=\dfrac{-7x}6+\dfrac{\overset{\color{red}3}{\bcancel{9}}y}{\underset{\color{red}2}{\bcancel{6}}}\\[5pt] &= -\dfrac76x+\dfrac32y \end{align*}\]
のように変形しています。
4．式の値
例題 $x=-2,\ y=6$ のとき，次の式の値を求めなさい。
\[(3x+5y)-(4x+2y)\]
考え方
式には $x$ と $y$ がともに2つずつ出てきていますね。
そのまま代入すれば，代入の回数は合計4回です。
それより，先に式を計算して簡単にすれば，代入する回数が減り，計算が簡単になります。
ポイント
代入は式を整理したあと！
こたえ
\[(3x+5y)-(4x+2y)=-x+3y\]
$x=-2,\ y=6$ を代入して
\[-x+3y=-(-2)+3\times6=2+18=20\]
答えは ２０
4．単項式の乗法と除法
単項式どうしの乗法と除法を，例を通して理解しましょう。
・乗法
例：
(1) [係数の積を考えるタイプ]
\[\begin{align*} 5x\times(-2y)&=5\times x\times(-2)\times y\\[5pt] &=5\times (-2)\times x\times y\\[5pt] &=-10xy \end{align*}\]
(2) [同じ文字の積を指数で表すタイプ]
\[\begin{align*} 3a^2\times4a&=3\times 4\times a\times a\times a\\[5pt] &=12a^3 \end{align*}\]
(3) [カッコ( )付きのタイプ]
\[\begin{align*} (-4x)^2&=-4x\times (-4x)\\[5pt] &=-4\times (-4)\times x\times x\\[5pt] &=16x^2 \end{align*}\]
・除法
除法は，基本的に逆数をとって乗法に変換します。
\[A\div B=A\times\dfrac 1B=\dfrac AB\]
(1) [数と文字を約分するタイプ]
\[\begin{align*} 6abc\div2ab &=\dfrac{6abc}{2ab}\\[5pt] &=\dfrac{\overset{\color{red}3}{\bcancel{6}}\times \overset{\color{red}1}{\bcancel{a}}\times \overset{\color{red}1}{\bcancel{b}}\times c}{\underset{\color{red}1}{\bcancel{2}}\times \underset{\color{red}1}{\bcancel{a}}\times \underset{\color{red}1}{\bcancel{b}}}\\[5pt] &=3c \end{align*}\]
(2) [分数を割るタイプ]
\[\begin{align*} \dfrac12x^2y\div \dfrac56x &=\dfrac{x^2y}2\div\dfrac{5x}6\\[5pt] &=\dfrac{x^2y}2\times\dfrac6{5x}\\[5pt] &=\dfrac{\overset{\color{red}1}{\bcancel{x}}\times x\times y\times \overset{\color{red}3}{\bcancel{6}}}{\underset{\color{red}1}{\bcancel{2}}\times 5\times\underset{\color{red}1}{\bcancel{x}}}\\[5pt] &=\dfrac35xy \end{align*}\]
(3) [3つ以上割るタイプ]
\[\begin{align*} 12ab^2\div3a\div(-2b)&=-\dfrac{12ab^2}{3a\times(-2b)}\\[5pt] &=-2b \end{align*}\]
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