中2数学 連立方程式とその解き方

2．連立方程式：中学2年数学―オリジナル基礎教科書

中学数学[総目次]

中学2年数学　2章　連立方程式

1．連立方程式とは

皆さんは小学校の時，一度は次のような問題を解いたことがあるでしょう。

問　つるとかめを合わせた数は12です。足の数は全部で38でした。つるとかめの数はそれぞれいくつですか。

この問題，そうです。「つるかめ算」です！

😓「それ，苦手だったんだよね～」

そんなあなたでも，もう大丈夫ですよ！

方程式さえあれば，勝手に答えまでたどり着けます。

1年生のときに学習した，あの手順を思い出してください。

それではこの手順で解いていきましょう。

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1° わからない数量を文字でおく

つるの数を $x$，かめの数を $y$ とします

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2° その文字を使った方程式を導く

　つるとかめの合計について　 $x+y=12$　…①

　足の合計について　$2x+4y=38$　…②

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さあ，困りました。

①と②の2つの式からどのようにして $x$ と $y$ を求めればよいのでしょうか？

＊＊＊＊

②は両辺を2で割って

$x+2y=19$　…③

としておきます。

\[\begin{cases} x+\ y=12\ \ \cdots①\\[5pt] x+2y=19\ \ \cdots③ \end{cases}\]

このように，複数の方程式を組にしたものを，連立方程式（れんりつほうていしき）といいます。

①が成り立つ $x$ と $y$ の組の例を挙げると，

\[1+11=12\\[5pt]2+10=12\\[5pt]3+9=12\]

などの他に，

\[0.1+11.9=12\\[5pt]-1+13=12\]

など，数え上げればきりがありません。

そして，①を満たすこれら無数の組の中から，③の $x+2y=19$ を満たす組を探すと，

\[x=5,\ \ y=7\]

があります。実際，

①は　$5+7=12$
③は　$5+2\times7=5+14=19$

です。

このように，2つの方程式を成り立たせる $x$ と $y$ の組を，この連立方程式の解（かい）といい，その解を求めることを，連立方程式を解く（とく）といいます。

さて，ここで問題。

$x=5,\ y=7$ はどうやって見つけ出したのでしょうか？

それを次にお話しします。

2．連立方程式の解き方

①と③の両方を満たす $x$ と $y$ の組み合わせを求める方法として，

加減法　と　代入法

の2つがあります。

いずれにしても，やろうとしていることは同じで

です。

加減法（かげんほう）

2つの式を足したり引いたりして，一方の文字を消去します。

※これで $x$ が消去され，$y$ だけの式になりました！

従って　$y=7$

①に代入して　$x+7=12$　よって　$x=5$

こたえ　つるの数は5，かめの数は7

代入法（だいにゅうほう）

一方の文字について解き，他方の式に代入することで，一方の文字を消去します。

①を $x$ について解くと　$x=12-y$

これを③に代入して　$(12-y)+2y=19$

※これで $x$ が消去され，$y$ だけの式になりました！

整理して　　　　$12+y=19$

よって　　　　　$y=7$

これを①に代入して　$x+7=12$　よって　$x=5$

こたえ　つるの数は5，かめの数は7

補足

$x=5,\ y=7$ を

\[(x,\ y)=(5,\ 7)\]

と書くことがあります。

3．いろいろな連立方程式

ここからは，いろいろなタイプの連立方程式を解いていきましょう。

どんな連立方程式も，方針はいつも同じです。

🔹加減法

考え方

そのまま足しても引いても，どちらの文字も消えません。
式を何倍かして，係数をそろえます。

こたえ

\[\begin{array}{rl} 2x+4y=8&\cdots ①\times2\\[5pt] -)\ \ 2x+3y=5&\cdots ②\\[5pt] \hline y=3& \end{array}\]

①に代入して　$x+2\times3=4$
　　　　　　　　　$x=-2$

答えは　$x=-2,\ y=3$

🔹代入法

①を $x$ について解くと　$x=4-2y$
これを②に代入して　$2(4-2y)+3y=5$
展開して　　　　　　$8-4y+3y=5$
整理して　$-y=-3$　　よって　$y=3$
①に代入して　$x+2\times3=4$
　　　　　　　　　$x=-2$

答えは　$x=-2,\ y=3$

🔹加減法

考え方

例題1と異なり，両方の式を変形する必要があります。

こたえ

\[\begin{array}{rl} 9x+6y=12&\cdots ①\times3\\[5pt] +)\ \ 16x-6y=38&\cdots ②\times2\\[5pt] \hline 25x\hspace{10mm}=50& \end{array}\]

両辺を25で割って　$x=2$
①に代入して　$3\times2+2y=4$
　　　　　　　　$6+2y=4$
　　　　　　　　　$2y=-2$
　　　　　　　　　$y=-1$

答えは　$x=2,\ y=-1$

🔹代入法

①を $y$ について解くと　$2y=4-3x$
　　　　　　　$y=\dfrac{4-3x}2$
これを②に代入して　$8x-3\left(\dfrac{4-3x}2\right)=19$
両辺を2倍して　　　$16x-3(4-3x)=38$
展開して　　　$16x-12+9x=38$
整理して　$25x=50$　　よって　$x=2$
(以下，加減法と同じなので省略)

こたえ

①の両辺を4倍すると　$3x+2y=4$

(あとは例題2と同じ)

こたえ

②を整理すると　$8x-3y=19$

(あとは例題2と同じ)

$A=B=C$ の形

考え方

$A=B=C$ の形をした方程式

→　$A=B,\ B=C,\ A=C$ の3つのうちから，自由に2つ選んで連立方程式を作ります。

\[\begin{cases} A=B\\[5pt]A=C\end{cases} \hspace{5mm}\begin{cases} A=B\\[5pt]B=C\end{cases} \hspace{5mm}\begin{cases} A=C\\[5pt]B=C\end{cases}\]

3つのうちのどれを使って解いてもOK！

ここでは $\begin{cases}A=C\\B=C\end{cases}$ を使って解いてみます。

こたえ

問題の方程式は，次のように書ける。

\[\left\{\begin{array}{ll} x+2y=1&\cdots ①\\[5pt] 4x+7y=1&\cdots ② \end{array}\right. \]

\[\begin{array}{rl} 4x+8y=4&\cdots ①\times4\\[5pt] -)\ \ 4x+7y=1&\cdots ②\\[5pt] \hline y=3& \end{array}\]

①に代入して　$x+2\times3=1$
よって　$x=-5$

答えは　$x=-5,\ y=3$

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