2．連立方程式：中学2年数学―オリジナル基礎教科書
中学数学[総目次]
中学2年数学 2章 連立方程式
1次方程式検定
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1．連立方程式の利用
例題1 【代金の問題】
2種類のケーキA，Bがあります。A3個とB2個の代金の合計は980円，A4個とB6個の代金は2040円です。A，Bそれぞれの1個の値段を求めなさい。
こたえ
手順1 わからない数量を文字でおく
1個当たり，ケーキAが $x$ 円，ケーキBが $y$ 円とします。
手順2 その文字を使った方程式を導く
A3個とB2個の代金が980円 → $3x+2y=980$ …①
A4個とB6個の代金が2040円 → $4x+6y=2040$ …②
手順3 作った方程式を解く
ここでは $y$ を消去しましょう。
\[\begin{array}{rl} 9x+6y=2940&\cdots ①\times3\\[5pt] -)\ \ 4x+6y=2040&\cdots ②\\[5pt] \hline 5x\hspace{11mm}=900& \end{array}\]
両辺を5で割って $x=180$
①に代入して
\[\begin{align} 3\times180+2y&=980\\[5pt] 540+2y&=980\\[5pt] 2y&=440\\[5pt] y&=220 \end{align}\]
手順4 解いた答え(解)が問題に適しているか確かめる
$x,\ y$ はともに金額です。
よって，$x=180,\ y=220$ は問題に適しています。
答え A1個180円，B1個220円
✅実際のテストでは，次のようなシンプルな書き方でOK！
テストでの答案作成例
1個当たり，ケーキAが $x$ 円，ケーキBが $y$ 円とすると
\[\begin{cases} 3x+2y=980&\cdots ①\\[5pt] 4x+6y=2040&\cdots ② \end{cases}\]
\[\begin{array}{rl} 9x+6y=2940&\cdots ①\times3\\[5pt] -)\ \ 4x+6y=2040&\cdots ②\\[5pt] \hline 5x\hspace{11mm}=900& \end{array}\]
\[x=180\]
$x=180$ を①に代入して解くと $y=220$
これらは問題に適している。
答え A1個180円，B1個220円
例題2 【割合の問題】
ある中学校の昨年度の生徒数は，男女合わせて500人でした。今年度は，昨年度に比べて男子が3%減り，女子が7%増えたため，全体で5人増えました。昨年度の男子と女子の生徒数をそれぞれ求めなさい。
こたえ
手順1 わからない数量を文字でおく
昨年度の男子を $x$ 人，女子を $y$ 人とします。
手順2 その文字を使った方程式を導く
昨年度の合計が500人 → $x+y=500$ …①
男子 $-$3%と，女子 +7% で+5人 → $-\dfrac3{100}x+\dfrac7{100}y=5$ …②
手順3 作った方程式を解く
まず，②の両辺に100をかけて $-3x+7y=500$ …③
ここでは $x$ を消去しましょう。
\[\begin{array}{rl} \ \ 3x+3y=1500&\cdots ①\times3\\[5pt] +)\ \ -3x+7y=\ 500&\cdots ③\\[5pt] \hline \hspace{15mm}10y=2000& \end{array}\]
両辺を10で割って $y=200$
①に代入して
\[\begin{align} x+200&=500\\[5pt] x&=300 \end{align}\]
手順4 解いた答え(解)が問題に適しているか確かめる
$x,\ y$ はともに人数です。
よって，$x=300,\ y=200$ は問題に適しています。
答え 男子300人，女子200人
✅実際のテストでは，次のようなシンプルな書き方でOK！
テストでの答案作成例
昨年度の男子を $x$ 人，女子を $y$ 人とすると
\[\begin{cases} x+y=500&\cdots ①\\[5pt] -\dfrac3{100}x+\dfrac7{100}y=7&\cdots ② \end{cases}\]
\[\begin{array}{rl} \ \ 3x+3y=1500&\cdots ①\times3\\[5pt] +)\ \ -3x+7y=\ 500&\cdots ②\times100\\[5pt] \hline \hspace{15mm}10y=2000& \end{array}\]\[y=200\]
$y=200$ を①に代入して解くと $x=300$
これらは問題に適している。
答え 男子300人，女子200人
例題3 【速さ・時間・道のりの問題】
全長16kmのコースを，最初は組足12kmで走り，途中から疲れたので時速4kmで歩いたところ，全体で2時間かかりました。走った道のりと歩いた道のりを，それぞれ求めなさい。
こたえ
手順1 わからない数量を文字でおく
走った道のりを $x$ km，歩いた道のりを $y$ kmとします。
手順2 その文字を使った方程式を導く
道のりの合計が16km → $x+y=16$ …①
時間の合計が2時間 → $\dfrac x{12}+\dfrac y4=2$ …②
手順3 作った方程式を解く
まず，②の両辺に12をかけて $x+3y=24$ …③
ここでは $x$ を消去しましょう。
\[\begin{array}{rl} \ \ x+y=16&\cdots ①\\[5pt] +)\ \ x+3y=24&\cdots ③\\[5pt] \hline \hspace{15mm}-2y=-8& \end{array}\]
両辺を $-2$ で割って $y=4$
①に代入して
\[\begin{align} x+4&=16\\[5pt] x&=12 \end{align}\]
手順4 解いた答え(解)が問題に適しているか確かめる
$x,\ y$ はともに距離です。
よって，$x=12,\ y=4$ は問題に適しています。
答え 走った道のりは12km，歩いた道のりは4km
✅実際のテストでは，次のようなシンプルな書き方でOK！
テストでの答案作成例
走った道のりを $x$ km，歩いた道のりを $y$ kmとすると
\[\begin{cases} x+y=16&\cdots ①\\[5pt] \dfrac x{12}x+\dfrac y4=2&\cdots ② \end{cases}\]
\[\begin{array}{rl} \ \ x+y=16&\cdots ①\\[5pt] +)\ \ x+3y=24&\cdots ②\times12\\[5pt] \hline \hspace{15mm}-2y=-8& \end{array}\]
\[y=4\]
$y=4$ を①に代入して解くと $x=12$
これらは問題に適している。
答え 走った道のりは12km，歩いた道のりは4km
