2．連立方程式：中学2年数学―オリジナル基礎教科書
中学数学[総目次]
中学2年数学 2章 連立方程式
1次方程式検定
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1．連立方程式を利用するさまざまな問題
連立方程式を利用すると，1文字だけで処理していた1年生のときと比べて，もっともっと複雑な問題を簡単に解くことができるようになります。
小学校のときにあった「○○算」のたぐいで，連立方程式を使って解けない問題は，探す方が難しいのではないでしょうか。
それほど連立方程式の威力は絶大なのです。
これまでにも何度となく述べてきましたが，方程式を使って問題を解くときの基本的な心構えは，
$x$ や $y$ の間に成り立つ関係を導く
→ あとは解くだけで，勝手に答えにたどり着く
ということです。
「関係を導く」
この感覚を大切にします。
例題1 [代金の問題]
ケーキAが3個と，ケーキBが1個では880円で，ケーキAが1個とケーキBが2個では560円でした。ケーキAとBのそれぞれ1個の値段を求めなさい。
こたえ
ケーキAの1個の値段を $x$ 円，ケーキBの1個の値段を $y$ 円とすると，
定期試験でワンポイント！
式を書く前に，$x,\ y$ が何を表すのかを必ず宣言します。
\[\left\{\begin{array}{rl} 3x+y=880&\cdots ①\\[5pt] x+2y=560&\cdots ② \end{array}\right.\]
\[\begin{array}{rl} 6x+2y=1760&\cdots ①\times2\\[5pt] -)\hspace{7mm}x+2y=\ 560&\cdots ②\\[5pt] \hline 5x\hspace{10mm}=1200& \end{array}\]
\[x=240\]
①に代入して， $3\times 240+y=880$
$720+y=880$
これを解いて $y=160$
これらは問題に適している。
$x,\ y$ は値段なので，正の整数である必要があります。
240や160はその条件を満たしています。
「問題に適している」と毎回判を押したように書くことは，試験でのつまらない減点を防ぐのに有効です。
（ただし，学年が上がるにつれて，書かないようになります。)
答えは ケーキAが240円，ケーキBが160円
例題2 [速さ・時間・道のりの問題]
A地点から10km離れたB地点まで行くのに，途中のC地点までは時速3kmで，C地点からB地点までは時速4kmで進んだので，全体で3時間かかりました。A地点からC地点までの道のりと，C地点からB地点までの道のりをそれぞれ求めなさい。
こたえ
A地点からC地点までの道のりを $x$ km，C地点からB地点までの道のりを $y$ kmとすると，
\[\left\{\begin{array}{rl} x+y=10&\cdots ①\\[5pt] \dfrac x3+\dfrac y4=3&\cdots ② \end{array}\right.\]
\[\begin{array}{rl} 3x+3y=30&\cdots ①\times3\\[5pt] -)\hspace{7mm}4x+3y=36&\cdots ②\times12\\[5pt] \hline -x\hspace{7mm}=-6& \end{array}\]
\[x=6\]
①に代入して $6+y=10$
$y=4$
これは問題に適している。
答えは A，C間：6km，C，B間：4km
例題3 [割合の問題]
ある中学校で1，2年生の生徒はあわせて145人です。そのうち，1年生の4割と，2年生の6割は，スキーの経験があり，その人数は73人でした。1年生と2年生の生徒数を，それぞれ求めなさい。
こたえ
1年生を $x$ 人，2年生を $y$ 人とすると，
\[\left\{\begin{array}{rl} x\ +\ y=145&\cdots ①\\[5pt] \dfrac 4{10}x+\dfrac 6{10}y=73&\cdots ② \end{array}\right.\]
\[\begin{array}{rl} 4x+4y=580&\cdots ①\times4\\[5pt] -)\hspace{7mm}4x+6y=730&\cdots ②\times10\\[5pt] \hline -2y=-150& \end{array}\]
\[y=75\]
①に代入して $x+75=145$
$x=70$
これは問題に適している。
答えは 1年生70人，2年生75人
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