vol.6 記数法｜p進法と10進法の相互変換，p進法の計算

公務員試験のための数学ワークブック

　公務員試験の一般知能分野、教員採用試験等の一般教養分野の数学に限定して説明しています。より本格的に復習されたい方は、本編の 高校数学 をご覧ください。

vol.6 記数法

　このワークブックもいよいよ終盤に差し掛かってきました．今回のテーマは「記数法」です．数について，私たちに最も馴染み深いのは10進法です．これは，0～9までの10個の数を使って表現した数です．つまり10個をひとまとまりと考えるような数のことです．しかし数の表し方は，10進法だけではありません．例えば，コンピュータは0と1しか使わない2進法を採用していますし，時計の分や秒は60進法を使って表されています．(もっとも，60種の異なる文字を使っているわけではありませんが．)
　一般知能では，数的推理はもちろん，判断推理の暗号問題などでも記数法が登場します．ポイントは，10進法からp進法への変換，あるいは逆に，p進法から10進法への変換ですが，いずれも簡単ですぐに習得できます．特に断らない限り，今回扱う数字は全て正の整数であるとします．

1. p進法 → 10進法

　0, 1, 2, $\cdots ,p-1$ の $p$ 個の数を使って数を表す方法を，$p$ 進法といいます．$p-1$までですから，$p$ そのものは含まれないことに注意してください．例えば，4進法において使われる数は，$0,1,2,3$の4つで，4は含まれていません．
　さて，まずp進法から10進法への変換をみていきましょう．

例題　次の数を10進法に変換しなさい．
$(1)(11010{)}_2 (2)(543{)}_7$

こたえ

• 246の2は，100が2個あるという意味である．
• 246の4は，10が4個あるという意味である．
• 246の6は，1が6個あるという意味である．

となっています．これを書きかえると，

• 246の2は，${10}^2$が2個あるという意味である．
• 246の4は，${10}^1$が4個あるという意味である．
• 246の6は，${10}^0$が6個あるという意味である．

となります．これらを全部足した数，すなわち，

$$2\times {10}^2+4\times {10}^1+6\times {10}^0$$

が246であるといえます．冒頭でも述べたように，10進法とは，10個をひとまとまりと考える数ですから，10個集まるごとにひとまとめにし，またそれらまとめたものが10個集まったらさらにそれらをひとまとめにする，といった具合にどんどん考えていく数です．

　10進法以外の数についても全く同じです．$p$ 進法は，$p$ 個をひとまとまりと考える数ですから，$p$ 個集まるごとにひとまとめにし，まとめたものが $p$ 個集まればまたそれらをひとまとめにする，といったように考えます．従って，10進法では小さい位から(右から)順に，

$${10}^0,{10}^1,{10}^2,{10}^3,{10}^4,\cdots$$

がそれぞれ何個あるかを示しますが，全く同様に，$p$ 進法では，小さい位から(右から)順に，

$$p^0,p^1,p^2,p^3,p^4,\cdots$$

がそれぞれ何個ずつあるのかを示しています．

(1) カッコの外の添え字 $p$ は，その数が $p$ 進法で表されていることを示します．従って，この数は2進法で表された数です．2進法は小さい位から順に，
[ 2^0,\ 2^1,\ 2^2,\ 2^3,\ 2^4,\ \cdots]
が何個あるかを表しています．よって，

• $(11010{)}_2$の左から1番目の1は，$2^4$が1個あるという意味である．
• $(11010{)}_2$の左から2番目の1は，$2^3$が1個あるという意味である．
• $(11010{)}_2$の左から3番目の0は，$2^2$が0個あるという意味である．
• $(11010{)}_2$の左から4番目の1は，$2^1$が1個あるという意味である．
• $(11010{)}_2$の左から5番目の0は，$2^0$が0個あるという意味である．

ということを表していますから，

$$\begin{array}{rl}(11010{)}_2& =1\times 2^4+1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+0\times 2^0\\ & =16+8+0+2+0\\ & =(26{)}_{10}\cdots (\text{答})\end{array}$$

となります．

(2) 全く同様に考えます．

• $(543{)}_7$の左から1番目の5は，$7^2$が5個あるという意味である．
• $(543{)}_7$の左から2番目の4は，$7^1$が4個あるという意味である．
• $(543{)}_7$の左から3番目の3は，$7^0$が3個あるという意味である．

よって，

$$\begin{array}{rl}(543{)}_7& =5\times 7^2+4\times 7^1+3\times 7^0\\ & =5\times 49+4\times 7+3\times 1\\ & =245+28+3\\ & =(276{)}_{10}\cdots (\text{答})\end{array}$$

となります．

　一般に，次のことが成り立ちます．

$p$ 進法で書かれた数が，
$$(a_1{a}_2{a}_3\cdots a_n{)}_p （\text{すぐ下の(注)参照）}$$ のとき，これを10進法で表した数$N$は， $$N=a_1\cdot p^{n-1}+a_2\cdot p^{n-2}+\cdots +a_{n-1}\cdot p+a_n$$

（注） $(a_1{a}_2{a}_3\cdots a_n{)}_p$は， $$a_1\times a_2\times a_3\times \cdots \times a_n$$ を意味するではなく，単なる数字の羅列を意味しています．

こたえ

2. 10進法 → p進法

　次に10進法からp進法への変換をみていきましょう．

例題　 　次の数を指示に従って変換しなさい．
(1) $(26{)}_{10} (2$進法に)　　(2) $(276{)}_{10}$　(7進法に)

こたえ

　10進法からp進法への変換もほとんど機械的です．基本は，10進法の数をpでどんどん割っていき，各割り算で出た余りを記録する，というものです．

(1) 2進法で表したいわけですから，26を2でどんどん割っていきます．
その際，出た余りを横に書いておきます．

$$\begin{array}{rl}& 2\underset{―}{)26}\\ & 2\underset{―}{)13}\cdots 0\\ & 2\underset{―}{)6}\cdots 1\\ & 2\underset{―}{)3}\cdots 0\\ & 1\cdots 1\end{array}$$

　そして，最後の商の1も含めて下から順に余りを書き出します．

$11010\cdots$(答)

(2)　(1)と同様ですが，今度は7進法に表現したいわけですから，276を
どんどん7で割っていきます．

$$\begin{array}{rl}& 7\underset{―}{)276}\\ & 7\underset{―}{)39}\cdots 3\\ & 5\cdots 4\end{array}$$

　よって，最後の商の5も含めて下から順に余りを書き出して，

$543\cdots$ (答)

　(1)(2)とも，Section1で求めた結果と矛盾しいないことを確かめてください．

こたえ

3. 記数法の演算

　それでは次に，10進法以外の四則演算，あるいは，異なる記数法で表された数の四則演算をみていきましょう．

3.1　10進法以外の足し算・引き算

「10進法以外の」といっても，一般のp進法において，$p=10$のときが10進法ですから，大体の計算方法は同じです．まずは足し算・引き算からみていきましょう．

例題　次の計算をしなさい．
(1) $(123{)}_7+(446{)}_7$　　(2) $(233{)}_5-(134{)}_5$

こたえ

　足し算，引き算については，ほとんど10進法と同じです．注意すべき点は，p進法においては，p個集まったら位を1つ上げるということです．

(1)まず普通に筆算の形式で書きます．

$$\underline{\begin{array}{rr}& 123\\ +)& 446\end{array}}$$

　次に，10進法の計算と同様に，一番小さい位からみていきます．

$$3+6=9$$

ですが，7進法では7個集まったらそれをひとまとめにして1つ位を上げるのでしたから，

$$9-7=2$$

　よって，2だけを下に書いておいて，1つ繰り上げます．

$$\begin{array}{rr}& 123\\ +)& 446\\ & {}^{1}2\end{array}$$

　この後は同様の作業の繰り返しです．次の$7^1$の位は，$7^0$の位からの繰り上がり1があることに注意して，

$$2+4+1=7$$

　この場合も，7が1セット取れますから，

$$7-7=0$$

　よって，0だけを下に書いておいて，1つ繰り上げます．

$$\begin{array}{rr}& 123\\ +)& 446\\ & {}^{1}02\end{array}$$

　最後は，$7^2$の位です．

$$1+4+1=6$$

　6からは7個のまとまりが取れませんから，そのまま下に書いて出来上がりです．

$$\begin{array}{rr}& 123\\ +)& 446\\ & 602\end{array}$$

　以上より，

$(123{)}_7+(446{)}_7=(602{)}_7\cdots$ (答)

となります．

(2) 引き算も，足し算と同様に求めることができます．まず一番小さい位からみていきます．

$$3-4<0$$

ですから，すぐ上の位から1つ借りてこないといけません．本問の場合，5進法ですから，すぐ上の位から1つ借りてくるということは，10進法でいうところの数「5」を借りてくることになります．従って，最初のステップでは，

$$(\underset{―}{5}+3)-4=4$$

　よって，下に4を書いておきます．

$$\begin{array}{rr}& 233\\ -)& 134\\ & 4\end{array}$$

　次に，$5^1$の位をみていきます．ここでは，$(233{)}_5$の真ん中の3は，先程1つ貸してあげたので，1つ小さくなって2となります．このあたりの考え方も，まるっきり10進法のときと同じです．そこで，$5^1$の位を計算してみると，

$$(3-1)-3<0$$

となって，またひとつ上の位から，1つ借りてこないといけません．先程と同じようにやりましょう．

$$(\underset{―}{5}+2)-3=4$$

よって，4だけ下に書きます．

$$\begin{array}{rr}& 233\\ -)& 134\\ & 44\end{array}$$

　最後に$5^2$の位です．233の2は，先程1つ貸してあげたので，1つ減って1となります．

$$1-1=0$$

　よって，この下に0を書いてもしょうがないので，何も書きません．

　以上により，

$(223{)}_5-(134{)}_5=(44{)}_5\cdots$ (答)

となります．

3.2　10進法以外の掛け算・割り算

　では次に，10進法以外の掛け算・割り算はどのようにやればよいのでしょうか．掛け算・割り算については面倒でもいったん10進法に変換してから掛け算・割り算を行い，必要に応じてまた元のp進法に変換するという方法を取ったほうが安全です．

　何故なら，普段私たちが10進法の掛け算・割り算を行う際には，「掛け算の九九」というものを利用して計算しています．例えば，

$$\begin{array}{rl}5\times 1& =5\\ 5\times 2& =10\\ 5\times 3& =15\\ & ⋮\end{array}$$

などです．もしこれが6進法の掛け算なら，

$$\begin{array}{rl}(5{)}_6\times (1{)}_6& =(5{)}_6\\ (5{)}_6\times (2{)}_6& =(14{)}_6\\ (5{)}_6\times (3{)}_6& =(23{)}_6\\ & ⋮\end{array}$$

といった具合に，6進法版の5の段を記憶する(その場で計算する)ことをしなければなりません．計算自体はそれほど面倒ではありませんが，私たちは10進法以外の計算に不慣れですから，一度10進法に変換してから計算することをお勧めします．

3.3　異なる記数法での演算

　例えば，

$$(123{)}_4+(567{)}_8$$

といったような計算は，どちらかに表記を統一して計算を行わなければなりません．こういうケースはやはり2つとも10進法に変換してから計算しましょう．

こたえ

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公務員試験のための数学ワークブック

• vol.1 分数の計算
• vol.2 連立方程式・不等式
• vol.3 乗法公式・因数分解と2次方程式
• vol.4 有理数・無理数
• vol.5 指数法則と余り
• vol.6 記数法
• vol.7 数列・漸化式