中1数学 比例で始める関数と座標の理解

1．比例：中学1年数学―オリジナル基礎教科書

中学数学[総目次]

中学1年数学　4章　比例と反比例

級	検定	教科書
3級：比例で始める関数と座標の理解
2級：反比例の考え方とグラフの特徴
1級：比例・反比例の応用問題の考え方

1. 関数

関数とは

　まずは，中学校で初めて登場し，その後ずっと使い続ける重要な用語「関数」について説明します。キーワードは「ただ1つ」です。

例1

　空(から)の水そうに水を入れると，水面の高さが毎分3cmずつ高くなるとします。

• 1分後 → 3cm
• 2分後 → 6cm
• 3分後 → 9cm

　　　$\vdots$

　$x$ 分後の水面の高さを $y$ cmとすると

\[y=3x\]

と表せます。$x$ を決めると，それにともなって $y$ の値がただ1つ決まります。

---

例2

　1つ $x$ グラムの品物を買うと，1枚3gの袋に入れてくれます。合計の重さを $y$ グラムとすると

\[y=x+3\]

と表せます。$x$ を決めると，それにともなって $y$ の値がただ1つ決まります。

---

　このように，ともって変わる2つの数量 $x,\ y$ があり，$x$ の値を決めると，それに対応して $y$ の値がただ1つに決まるとき，$y$ は $x$ の関数であるといいます。

関数とは$x$ の値を決めると，それに対応して $y$ の値がただ1つに決まるとき，$y$ は $x$ の関数である

　また，$x,\ y$ のように，いろいろな値をとる文字を変数(へんすう)といいます。数学では $x,\ y$ の他に，$t$ や $n$ などの文字もよく用いられます。一方で，3のように決まった数のことを定数(ていすう)といいます。

関数のイメージ

　ジュースの自動販売機があります。ボタン($=x$)を押すと，ジュース($=y$)が1つ出てきます。
　ボタンを1つ決めたら，出てくるジュースもただ1つ決まります。
　このとき，ジュース($y$)は，ボタン($x$)の関数であるといえます。

　一方，ボタン($x$)を押すと，ジュース ($y$)が2本出てきたら？
　これは関数ではありません。

※関数は「数と数の対応関係」を指す用語なので，ボタンとジュースというように物と物では，本当は関数とはいいません。あくまでイメージと思ってください。

変域とは

　深さ30cmの空の水そうに水を入れると，水面の高さが毎分3cmずつ高くなるとします。 $x$ 分後の水面の高さを $y$ cmとすると

\[y=3x\]

となります。

　ここで，$x$ の値は，とれる範囲が制限されていることに注意しましょう。
　$x$ は0以上でなければなりません。また10分でちょうど満水になります。よって

\[0\leqq x\leqq10\]

です。このとき，$y$ の値の範囲は

\[0\leqq y\leqq30\]

です。このように，変数のとれる値の範囲を変域(へんいき)といいます。

• $x$ の変域は $0\leqq x\leqq 10$ です。
• $y$ の変域は $0\leqq y\leqq 30$ です。

2．比例を表す式

$y$ は $x$ に比例するとは

　空(から)の水そうに水を入れると，水面の高さが毎分3cmずつ高くなるとします。 $x$ 分後の水面の高さを $y$ cmとすると

\[y=3x\]

と表せます。またこのとき， $y$ は $x$ の関数であるといいました。

　ところで，$y=3x$ のように，

$y=$(定数)$\times x$

で表されているとき，

$y$ は $x$ に比例する

といいます。つまり「$y$ は $x$ の関数である」と同時に，「$y$ は $x$ に比例する」のです。

小学校のときは…

　比例は小学校6年生で学習済みです。小学校の教科書には次のように書いてありました。

比例とは(小学校バージョン)2つの数量 $x$ と $y$ があって，$x$ の値が□倍になると，それにともなって $y$ の値も□倍になるとき，$y$ は $x$ に比例するといいます。

　一方，中学校バージョンは次の通りです。

※このとき定数である $a$ を比例定数(ひれいていすう)といいます。

●「違うの？」

　いいえ，どちらも同じことをいっています。小学校バージョンを出発点にすれば，中学校バージョンの内容が導かれます。逆に，中学校バージョンを出発点にすれば，小学校バージョンの内容が導かれます。

　$y=3x$ の場合を表で確認しておきましょう。

　これらの表を見ると，$x$ の値が2倍，3倍，…になると，それにともなって $y$ の値も2倍，3倍，…になることがわかります。

例題　$y$ は $x$ に比例し，$x=2$ のとき， $y=-8$ です。比例定数を求めなさい。

3．座標

平面上の点の表し方

　次の図において，点Pの位置を相手に知らせるにはどうしたらよいでしょうか？

　「真ん中より右で，ちょっとだけ上の方。」
　これではどこを指しているのか，正確には伝わりませんよね。

　そこで，誰にでも正確に点の位置がわかるようにするためのアイデアが，座標平面(ざひょうへいめん)です。

　点Pの位置が $(3,\ 2)$ であるとき，$\rm{P(3,\ 2)}$ と書き表します。

　このようにすることで，誰もがいつでも同じ点を指し示すことができます。

用語

内容	用語
横の数直線	$x$ 軸，または 横軸
縦の数直線	$y$ 軸，または 縦軸
$x$ 軸，$y$ 軸を合わせて	座標軸
座標軸の交点O	原点
$\rm{P(3,\ 2)}$ の 3	点Pの $x$ 座標
$\rm{P(3,\ 2)}$ の 2	点Pの $y$ 座標
$(3,\ 2)$	点Pの 座標

注意

　座標軸の原点はアルファベットの $\rm O$(オー)です。$0$ (ゼロ)ではありません。原点は英語でoriginといい，その頭文字の $\rm O$ が使われています。教科書の印字を，目を凝らして見ると，違いがわかると思います。

4．比例のグラフ

グラフって何？

　グラフという用語は，小学校のときから使っています。でも，「グラフって何？」と質問されたら，答えられますか？

「直線のことだよ。」

「じゃあ，反比例の曲線はグラフじゃないの？」

こんな会話が聞こえてきそうです。

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　$y=2x$ を例に考えてみましょう。

　$x=1$ のとき，$y=2$ です。この $(x,\ y)=(1,\ 2)$ を座標平面上の点として取ることができます。他にも

\[\begin{align*}(x,\ y)=&(0,\ 0),\ (2,\ 4),\ (3,\ 6)\\[5pt]&(-1,\ -2),\ (-2,\ -4),\ (-3,\ -6)\end{align*}\]

などがあります。これらを座標平面の点として取っていきます。

　こうして $y=2x$ を満たす $(x,\ y)$ の点を，もっと細かく，たくさんとっていくと，だんだん1つの図形が見えてきます。

　この点の集まりで作られた図形が，$y=2x$ のグラフです。

　つまりグラフとは，式を満たす $x$ と $y$ の組 $(x,\ y)$ を点と見て，座標平面に書き込んだ点の集まりでできる図形のことなのです。

グラフとは式を満たす $x$ と $y$ の組 $(x, y)$ を，点として座標平面に書き込んだ「点の集まりでできる図形」のこと

　これは次のようなことを意味します。

改めて，比例のグラフを考えよう

　小学校で学んだように，比例のグラフは，原点を通る直線になります。

　ただし，中学校では負の数も出てきましたから，$x$ や $y$ が負の数になる場合もグラフで表します。

例1　$y=2x$

例2　$y=-2x$

例題1　次の比例のグラフをかきなさい。\[y=\dfrac23x\]

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