1．比例：中学1年数学―オリジナル基礎教科書
中学数学[総目次]
中学1年数学 4章 比例と反比例
1. 関数
関数とは
まずは，中学校で初めて登場し，その後ずっと使い続ける重要な用語「関数」について説明します。キーワードは「ただ1つ」です。
例1
空(から)の水そうに水を入れると，水面の高さが毎分3cmずつ高くなるとします。
- 1分後 → 3cm
- 2分後 → 6cm
- 3分後 → 9cm
$\vdots$
$x$ 分後の水面の高さを $y$ cmとすると
\[y=3x\]
と表せます。$x$ を決めると，それにともなって $y$ の値がただ1つ決まります。
例2
1つ $x$ グラムの品物を買うと，1枚3gの袋に入れてくれます。合計の重さを $y$ グラムとすると
\[y=x+3\]
と表せます。$x$ を決めると，それにともなって $y$ の値がただ1つ決まります。
このように，ともって変わる2つの数量 $x,\ y$ があり，$x$ の値を決めると，それに対応して $y$ の値がただ1つに決まるとき，$y$ は $x$ の関数であるといいます。
関数とは$x$ の値を決めると，それに対応して $y$ の値がただ1つに決まるとき，$y$ は $x$ の関数である
また，$x,\ y$ のように，いろいろな値をとる文字を変数(へんすう)といいます。数学では $x,\ y$ の他に，$t$ や $n$ などの文字もよく用いられます。一方で，3のように決まった数のことを定数(ていすう)といいます。
関数のイメージ
ジュースの自動販売機があります。ボタン($=x$)を押すと，ジュース($=y$)が1つ出てきます。
ボタンを1つ決めたら，出てくるジュースもただ1つ決まります。
このとき，ジュース($y$)は，ボタン($x$)の関数であるといえます。
一方，ボタン($x$)を押すと，ジュース ($y$)が2本出てきたら？
これは関数ではありません。
※関数は「数と数の対応関係」を指す用語なので，ボタンとジュースというように物と物では，本当は関数とはいいません。あくまでイメージと思ってください。
変域とは
深さ30cmの空の水そうに水を入れると，水面の高さが毎分3cmずつ高くなるとします。 $x$ 分後の水面の高さを $y$ cmとすると
\[y=3x\]
となります。
ここで，$x$ の値は，とれる範囲が制限されていることに注意しましょう。
$x$ は0以上でなければなりません。また10分でちょうど満水になります。よって
\[0\leqq x\leqq10\]
です。このとき，$y$ の値の範囲は
\[0\leqq y\leqq30\]
です。このように，変数のとれる値の範囲を変域(へんいき)といいます。
- $x$ の変域は $0\leqq x\leqq 10$ です。
- $y$ の変域は $0\leqq y\leqq 30$ です。
2．比例を表す式
$y$ は $x$ に比例するとは
空(から)の水そうに水を入れると，水面の高さが毎分3cmずつ高くなるとします。 $x$ 分後の水面の高さを $y$ cmとすると
\[y=3x\]
と表せます。またこのとき， $y$ は $x$ の関数であるといいました。
ところで，$y=3x$ のように，
$y=$(定数)$\times x$
で表されているとき，
$y$ は $x$ に比例する
といいます。つまり「$y$ は $x$ の関数である」と同時に，「$y$ は $x$ に比例する」のです。
小学校のときは…
比例は小学校6年生で学習済みです。小学校の教科書には次のように書いてありました。
比例とは(小学校バージョン)2つの数量 $x$ と $y$ があって，$x$ の値が□倍になると，それにともなって $y$ の値も□倍になるとき，$y$ は $x$ に比例するといいます。
一方，中学校バージョンは次の通りです。
比例とは(中学校バージョン)2つの数量 $x$ と $y$ があって，
$y=ax$ ($a$ は定数)
で表されるとき，$y$ は $x$ に比例するといいます。
※このとき定数である $a$ を比例定数(ひれいていすう)といいます。
●「違うの？」
いいえ，どちらも同じことをいっています。小学校バージョンを出発点にすれば，中学校バージョンの内容が導かれます。逆に，中学校バージョンを出発点にすれば，小学校バージョンの内容が導かれます。
$y=3x$ の場合を表で確認しておきましょう。
$x=1$ を基準にして，2倍，3倍と変化した様子
