中1数学反比例の考え方とグラフの特徴

2．反比例：中学1年数学―オリジナル基礎教科書

中学1年数学　4章　比例と反比例

級	検定	教科書
3級：比例で始める関数と座標の理解
2級：反比例の考え方とグラフの特徴
1級：比例・反比例の応用問題の考え方

1. 反比例

反比例とは

　面積が24cm²の長方形において，たての長さが $x$ cm，横の長さを $y$ cmとすると，

\[xy=24\]

が成り立ちます。この式を「$y=$」の形になおすと，

\[y=\dfrac {24}x\]

となります。$x$ にいくつかの値を代入し，$y$ の値を計算してみましょう。

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$24$	$12$	$8$	$6$	$4.8$	$4$

　このように $x$ を1つ決めると，それに応じて $y$ がただ1つに決まりますね。つまり，$y$ は $x$ の関数です。

　そして，$y=\dfrac{24}x$ のような形をしている関数については，特別に「$y$ は $x$ に反比例する」といいます。

反比例とは2つの変量 $x$ と $y$ があって，

$y=\dfrac ax$　($a$ は定数，$x\ne0$)

で表されるとき，$y$ は $x$ に反比例するという。

※このとき定数である $a$ を比例定数(ひれいていすう)といいます。反比例定数とは言わないので注意しましょう。

小学校ではどう習った？

　ちなみに，小学校では次のように学びました。

反比例とは(小学校バージョン)2つの変量 $x$ と $y$ があって，$x$ の値が2倍，3倍，…となるとき，それにともなって $y$ の値が $\dfrac12$ 倍，$\dfrac13$ 倍，…となるとき，$y$ は $x$ に反比例するという。

　反比例を説明するこれら2つの表現は異なっていますが，中身は同じことをいっています。

　$y = \dfrac{24}x$ を例に，確認してみましょう。

$y=\dfrac{24}x$ の対応表
$x=1$ を基準にして，2倍，3倍と変化した様子

$y=\dfrac{24}x$ の対応表
$x=2$ を基準にして，2倍，3倍と変化した様子

　このように，中学の「式の形」と，小学校の「数の変わり方」の説明は，実は同じ内容を述べているのです。

※高校数学では「2つの内容が本質的に同じ」ことを「同値（どうち）」や「必要十分条件」といった言葉で説明するようになります。

例題　$y$ は $x$ に反比例し， $x=4$ のとき $y=-3$ です。
(1) 比例定数を求めなさい。
(2) $x=-6$ のときの $y$ の値を求めなさい。

こたえ

(1)　$y$ は $x$ に反比例するから，比例定数を $a$ とすると，$y=\dfrac ax$ と表すことができます。
$x=4$ のとき，$y=-3$ ですから， \[\begin{align*} -3&=\dfrac a4\\[5pt] a&=-12 \end{align*}\] 答え　$\boxed{a=-12}$

(2)　$y=-\dfrac{12}x$ に $x=-6$ を代入して \[y=-\dfrac{12}{-6}=2\] 答え　$\boxed{y=2}$

2．反比例のグラフ

中学校の反比例では，グラフが2つに分かれる

　小学校のときに，反比例のグラフも学習しています。

　中学校では負の数も習いましたら，$x$ が負の数の場合もグラフにかきます。

例1　$y=\dfrac 6x$

$x$	$\cdots$	$-6$	$-3$	$-2$	$-1$	$1$	$2$	$3$	$6$	$\cdots$
$y$	$\cdots$	$-1$	$-2$	$-3$	$-6$	$6$	$3$	$2$	$1$	$\cdots$

例2　$y=-\dfrac 6x$

$x$	$\cdots$	$-6$	$-3$	$-2$	$-1$	$1$	$2$	$3$	$6$	$\cdots$
$y$	$\cdots$	$1$	$2$	$3$	$6$	$-6$	$-3$	$-2$	$-1$	$\cdots$

　このように，$y=\dfrac ax$ のグラフは，滑らかな2つの曲線で，この曲線を双曲線(そうきょくせん)といいます。

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