3．円：中学1年数学ーオリジナル基礎教科書
中学数学[総目次]
中学1年数学 5章 平面図形
| 級 | 検定 | 教科書 |
|---|---|---|
| 3級：平面図形の基礎と3つの移動 | ||
| 2級：垂直二等分線・角の二等分線など6つの基本技法 | ||
| 1級：円の基本：弧・弦・接線の意味と公式 |
1. 弧・弦・中心角
小学校のときから，円についてはいろいろなことを学習済みです。ここにある内容は，ほぼ復習です。
弧(こ)と弦(げん)
円周上に2点A，Bをとります。
- 円周のAからBまでの部分を弧ABといい，$\overset{\frown}{\rm AB}$ で表します。
補足
※弧ABは，教科書では次のように，ABを覆うように線が引かれています。
画面上でこのような表現をとるのが難しいため，本稿では $\overset{\frown}{\rm AB}$ と少し短めの線で表します。
- $\overset{\frown}{\rm AB}$ の両端を結んだ線分を，弦ABといいます。
こちらは特に記号はありません。
中心角(ちゅうしんかく)
円の中心Oと，円周上の2点A，Bを結んでできる∠AOBを，「$\overset{\frown}{\rm AB}$ に対する中心角」といいます。
注意
中心角は，弧に対応させます。その理由は，中心角の大きさと弧の長さは比例関係にあるからです。詳しくは こちら 。
2. 円の接線
円Oと直線 $\ell$ が1点Pだけを共有しているとき，$\ell$ は円に接する(せっする)といい，直線 $\ell$ を円Oの接線(せっせん)，点Pを接点(せってん)といいます。
円と接線が「1点のみを共有している」というのが図からはわかりにくいところです。次の図のように，直線を円の中心から遠ざけていくと，交点が近づいていって，やがて1つになると考えましょう。
円の接線の性質
この接線には，次の重要な性質があります。
重要円の接線は，接点を通る半径に垂直
●なぜ垂直？
円には対称性がありますから，円と直線が1点だけを共有しているなら，そこにできる角（図の赤と青の角）は左右対称になって，同じ角度の90°になるはずです。
ーもう少し詳しくー
もし赤色の角が直角でないと，Oから $\ell$ に垂線OHをおろし，直角三角形OPHを作ることができます(下図)。でもそのときは，円の中に点Hができてしまって，直線が円と2か所PとQで交わることになってしまいます。それでは「1点だけ共有する」というルールに合いません。
3. 円の面積と周の長さ
小学校では円周率を3.14として計算しましたが，本当は
3.1415926535 …
と延々と続く数なのです。そこで中学校以降では，この数をギリシャ文字の $\pi$ (パイ)で表します。
円周率 $\pi$
$\pi=$ 3.1415926535 …
円の面積と周の長さを文字式で表す。
円の半径を $r$ とします。
(円の面積) $=r\times r\times\pi=\pi\, r^2$
また，円の直径は $r\times2=2r$ ですから，
(円の周の長さ) $=2\,r\times\pi=2\,\pi\, r$
※「$\pi$」を書く位置は，文字より先，数よりあとが原則です。
例題 半径4cmの円について，面積と，周の長さを求めなさい。
こたえ
円の面積と周の長さの公式から
(面積) $=\pi\times4^2=16\pi\ (\rm cm^2)$
(周の長さ) $=2\pi\times4=8\pi\ (\rm cm)$
答えは 面積：$16\pi\ \rm cm^2$，周の長さ：$8\pi\ \rm cm$
補足
小学校では3.14をかける計算が大変でしたが，中学校以降では「$\pi$」と書くだけでよく，わずらわしい計算から解放されました！
むしろ3.14をかけ算すると減点されるかもしれません。3.14はあくまで近似値だからです。
円の面積と周の長さの公式から
(面積) $=\pi\times4^2=16\pi\ (\rm cm^2)$
(周の長さ) $=2\pi\times4=8\pi\ (\rm cm)$
答えは 面積：$16\pi\ \rm cm^2$，周の長さ：$8\pi\ \rm cm$
補足
小学校では3.14をかける計算が大変でしたが，中学校以降では「$\pi$」と書くだけでよく，わずらわしい計算から解放されました！
むしろ3.14をかけ算すると減点されるかもしれません。3.14はあくまで近似値だからです。
扇形の弧の長さと面積
扇形の面積や周の長さも，小学校で学習しています。文字式で表しておきましょう。
半径 $r$，中心角 $a^\circ$ の扇形について
(弧の長さ) $=2\,\pi\, r\times\dfrac a{360}$
(面積) $=\pi\, r^2\times\dfrac a{360}$
例題 半径5cm，中心角60°の扇形について，弧の長さと面積を求めなさい。
こたえ
扇形の弧の長さと面積の公式から
(弧の長さ) $=2\pi\times4\times\dfrac{60}{360}=8\pi\times\dfrac16=\dfrac43\pi\ (\rm cm)$
(面積) $=\pi\times4^2\times\dfrac{60}{360}=16\pi\times\dfrac16=\dfrac83\pi\ (\rm cm^2)$
答えは 周の長さ：$\dfrac43\pi\ \rm cm$，面積：$\dfrac83\pi\ \rm cm^2$
扇形の弧の長さと面積の公式から
(弧の長さ) $=2\pi\times4\times\dfrac{60}{360}=8\pi\times\dfrac16=\dfrac43\pi\ (\rm cm)$
(面積) $=\pi\times4^2\times\dfrac{60}{360}=16\pi\times\dfrac16=\dfrac83\pi\ (\rm cm^2)$
答えは 周の長さ：$\dfrac43\pi\ \rm cm$，面積：$\dfrac83\pi\ \rm cm^2$
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中学1年数学 5章 平面図形
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