3．加法の計算法則：中学1年数学―オリジナル基礎教科書
中学数学[総目次]
中学1年数学 1章 正の数と負の数
1. 加法の計算法則
例えば，
$(+2)+(+3)$ と
$(+3)+(+2)$
は，どちらも答えが $+5$ になります。また，
$(-2)+(+3)$ と
$(+3)+(-2)$
も，どちらも答えが $+1$ になります。
このように加法，すなわち足し算では，計算の順番を変えても答えが同じになります。この計算の順番を交換できる決まりを加法の交換法則(こうかんほうそく)といいます。小学校では「交換のきまり」と呼んでいましたね。
次に，
$\{(+2)+(+3)\}+(+4)$ と
$(+2)+\{(+3)+(+4)\}$
は，どちらも答えが $+9$ になります。また
$\{(+2)+(-3)\}+(-4)$ と
$(+2)+\{(-3)+(-4)\}$
も，どちらも答えが $-5$ になります。
このように，加法では，カッコのつけ方を変えても，答えは同じになります。この計算の優先順位を変更できる決まりを加法の結合法則(けつごうほうそく)といいます。小学校では「結合のきまり」と呼んでいたものです。
加法の計算法則 [1] 加法の交換法則 $a+b=b+a$
[2] 加法の結合法則 $(a+b)+c=a+(b+c)$
減法には交換法則や結合法則はないの？
例えば，$2-3$ は $-1$ となり，$3-2$ は $1$ となりますから，減法では交換法則が成り立ちません。
また，$(2-3)-4$ は $-5$ となり，$2-(3-4)$ は $3$ となりますから，減法では結合法則も成り立ちません。
これで減法では交換法則も結合法則も成り立たないことがわかりました。
ところが，ちょっと工夫すると，交換法則や結合法則が利用できるようになります。その工夫とは？
減法を加法に書きかえる
例えば，$(+2)-(+3)$ という計算は数直線上において，$+2$ から左向きに 3 だけ進んだ点が表す $-1$ となります。この左向きというのが減法の記号「－」からきている訳ですが，これを「右向き進め」を意味する加法の記号「＋」に変えることができます。それには「左向きに3だけ進む」を「右向きに $-3$ だけ進む」としてやればよいのです。
$(+2)-(+3)$ → $(+2)+(-3)$
もう1つ例を見ておきましょう。$(+2)-(-3)$ は数直線上の $+2$ から左向きに$-3$ だけ進むことを意味し，これを右向きに $3$ だけ進むと言いかえることができます。
$(+2)-(-3)$ → $(+2)+(+3)$
このように，減法の記号「－」を加法の記号「＋」に変える代わりに，記号のすぐ後ろの数の符号を変えることで，どんな減法も加法によって表すことができるのです。
2. 加法と減法の混じった式
式をシンプルにする
負の数というものを考え始めてから，正の数には $+2$ や $+5$ といったように，正の符号「＋」を付けてきました。
これによって正の数であることがはっきりした一方で，小学校では $5+2$ と書いていたものが $(+5)+(+2)$ となったり，$5-2$ が $(+5)-(+2)$ といったように長くなり，なんだか書きにくくなりました。数が2つだけなまらまだしも，
$(+5)-(+3)-(-7)+(-2)$
という式だともう書くのもイヤになります。この表現を，小学校のときのようにシンプルに書いてはいけないのでしょうか？
その答えは，書いてもよい！です。
この点について，以下で詳しく見ていきましょう。