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高校数学ノート

数学Ⅲ 第4章 複素平面

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1.複素平面 無料        【ノート
2.複素数が表す図形 無料    【ノート
3.極形式             【ノート
4.ド・モアブルの定理       【ノート
5.複素数と図形          【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

1. 複素平面

 このノートでは特に断らない限り,$a+bi$ などと書けば,$a,\ b$ は実数であるとする.また,$z,\ \alpha,\ \beta,\ \gamma$ などの文字を断りなく複素数として記述することがある.

1.1 複素(数)平面とは

 複素数 $\alpha=a+bi$ ($a,b$ は実数)について,実部と虚部の組 $(a,b)$ を座標平面上の点の座標と捉え,複素数 $a+bi$ と点 $(a,b)$ を1対1に対応させる:

 このように平面上の点が1つの複素数を表す平面を複素数平面,又は複素平面という.
 複素平面の横軸を実軸,縦軸を虚軸という.

補足

① このノートでは,複素平面と通常の $xy$ 平面とを区別するために,両日区を $x,y$ ではなく,Re, Im で表す:

実軸(Real axis)
虚軸(Imaginary axis)

② $a+b\,i$ を $<a,b>$ で表せば,複素数の和と実数倍の定義により, \[\begin{align*} <a,b>+<c,d> &=< a+c,b+d>\\[5pt] t<a,b>&=<ta,tb> \end{align*}\] が成り立つ.これはベクトルの成分表示の和,実数倍と完全に同一である.つまり,内積を除くベクトルでの図形的応用は,そのまま複素平面でも使える.


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数学Ⅲ 第4章 複素平面

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