1. 複素平面(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第4章　複素平面

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1. 複素平面

　このノートでは特に断らない限り，$a+bi$ などと書けば，$a,\ b$ は実数であるとする．また，$z,\ \alpha,\ \beta,\ \gamma$ などの文字を断りなく複素数として記述することがある．

1.1　複素(数)平面とは

　複素数 $\alpha=a+bi$ ($a,b$ は実数)について，実部と虚部の組 $(a,b)$ を座標平面上の点の座標と捉え，複素数 $a+bi$ と点 $(a,b)$ を1対1に対応させる：

　このように平面上の点が1つの複素数を表す平面を複素数平面，又は複素平面(complex plane)という．高校の教科書では「複素数平面」となっているが，大学においては複素平面、複素関数など「数」が入らないことが多い．
　複素平面の横軸を実軸，縦軸を虚軸という．

補足

①　このノートでは，複素平面と通常の $xy$ 平面とを区別するために，両軸を $x,y$ ではなく，Re, Im で表す：

②　$a+b\,i$ を $<a,b>$ で表せば，複素数の和と実数倍の定義により， \[\begin{align*} <a,b>+<c,d> &=< a+c,b+d>\\[5pt] t<a,b>&=<ta,tb> \end{align*}\] が成り立つ．これはベクトルの成分表示の和，実数倍と完全に同一である．つまり，内積を除くベクトルでの図形的応用は，そのまま複素平面でも使える．

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