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高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第4章 複素平面
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2. 複素数が表す図形
2.1 複素数の実数倍
複素平面上の点 $\alpha\ (=a+bi)$ に対して,実数倍 $t\,\alpha$ ($t$ は実数)は次のような点を表す:

補足
$\alpha$ を$\overrightarrow{\alpha}$と思えば,平面ベクトルの場合と同じである.

2.2 共役な複素数(complex conjugate 複素共役)
複素数 $\alpha(=a+b\,i)$ と共役な複素数を $\overline{\alpha}$ で表すと,
$\overline{\alpha}\!=\ a\!-\!bi$:$\alpha$ と実軸に関して対称な点
$-\alpha\!=\!-a\!-\!bi$:$\alpha$ と原点に関して対称な点
$-\overline{\alpha}\!=\!-a\!+\!bi$:$\alpha$ と虚軸に関して対称な点

定理 複素数 $\alpha$ について,
$\alpha$ が実数 $\iff$ $\overline{\alpha}=\alpha$
$\alpha$ が純虚数 $\iff$ $\overline{\alpha}=-\alpha$ (ただし,$\alpha\neq 0$)
証明
$\alpha=a+b\,i$ とすると, \[\left\{ \begin{array}{ll} \alpha=a+b\,i&\cdots\mbox{①}\\[5pt] \overline{\alpha}=a-b\,i&\cdots\mbox{②} \end{array}\right.\] (①$+$②)$\div2$ より,
$a=\dfrac{\alpha+\overline{\alpha}}2$
(①$-$②)$\div2\,i$ より,
$b=\dfrac{\alpha-\overline{\alpha}}{2\,i}$
従って,
$\alpha$ が実数 $\iff b\!=\!0\iff \dfrac{\alpha\!-\!\overline{\alpha}}{2\,i}\!=\!0\iff \overline{\alpha}\!=\!\alpha$
$\alpha$ が純虚数$\iff a\!=\!0\iff \dfrac{\alpha\!+\!\overline{\alpha}}2\!=\!0\iff \overline{\alpha}\!=\!-\alpha$
■
補足
証明中の囲み書きにある実部と虚部を表す式は,今後しばしば利用される:
$\alpha=a+bi$ のとき, \[ a=\frac{\alpha+\overline{\alpha}}2,\ \ \ \ b=\frac{\alpha-\overline{\alpha}}{2i} \]

2.3 共役な複素数の性質
① $\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$
② $\overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta}$
③ $\overline{\alpha\beta}=\overline{\mathstrut \alpha}\,\overline{\beta}$
④ $\overline{\left(\dfrac \alpha
\beta\right)}=\dfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$ (ただし,$\beta\neq
0$)
補足
③で $\beta$ も $\alpha$ とおくと,$\overline{\alpha^2}=\left(\overline{\alpha}\right)^2$.
従って帰納的に $n$ が自然数のとき,$\overline{\alpha^n}=\left(\overline{\alpha}\right)^n$.

2.4 複素数の絶対値
複素数 $\alpha=a+b\,i$ に対して,$\sqrt{a^2+b^2}$ を $\alpha$ の絶対値といい,$|\alpha|$ で表す:
\[ |\alpha|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} \]
ここで, \[\alpha\overline{\alpha}=(a+b\,i)(a-b\,i)=a^2+b^2\] により次が成り立つ:
\[ |\alpha|^2=\alpha\overline{\alpha} \]

2.5 2点間の距離
\[ 2\mbox{点}\ \alpha,\ \beta\ \mbox{の距離} : |\beta -\alpha | \]
補足
ベクトルでは,${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$,${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$ のとき, \[|\overrightarrow{\rm AB}|=|\overrightarrow{\mathstrut \beta}-\overrightarrow{\mathstrut \alpha}|\]

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