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高校数学ノート

数学Ⅲ 第4章 複素平面

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2.複素数が表す図形 無料    【ノート
3.極形式             【ノート
4.ド・モアブルの定理       【ノート
5.複素数と図形          【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

2. 複素数が表す図形

2.1 複素数の実数倍

 複素平面上の点 $\alpha\ (=a+bi)$ に対して,実数倍 $t\,\alpha$ ($t$ は実数)は次のような点を表す:

補足

 $\alpha$ を$\overrightarrow{\alpha}$と思えば,平面ベクトルの場合と同じである.

2.2 共役な複素数(complex conjugate 複素共役)

 複素数 $\alpha(=a+b\,i)$ と共役な複素数を $\overline{\alpha}$ で表すと,

  $\overline{\alpha}\!=\ a\!-\!bi$:$\alpha$ と実軸に関して対称な点
 $-\alpha\!=\!-a\!-\!bi$:$\alpha$ と原点に関して対称な点
 $-\overline{\alpha}\!=\!-a\!+\!bi$:$\alpha$ と虚軸に関して対称な点

定理  複素数 $\alpha$ について,
 $\alpha$ が実数  $\iff$ $\overline{\alpha}=\alpha$
 $\alpha$ が純虚数 $\iff$ $\overline{\alpha}=-\alpha$ (ただし,$\alpha\neq 0$)

証明

 $\alpha=a+b\,i$ とすると, \[\left\{ \begin{array}{ll} \alpha=a+b\,i&\cdots\mbox{①}\\[5pt] \overline{\alpha}=a-b\,i&\cdots\mbox{②} \end{array}\right.\]  (①$+$②)$\div2$ より,

$a=\dfrac{\alpha+\overline{\alpha}}2$

 (①$-$②)$\div2\,i$ より,

$b=\dfrac{\alpha-\overline{\alpha}}{2\,i}$

 従って,

$\alpha$ が実数 $\iff b\!=\!0\iff \dfrac{\alpha\!-\!\overline{\alpha}}{2\,i}\!=\!0\iff \overline{\alpha}\!=\!\alpha$

$\alpha$ が純虚数$\iff a\!=\!0\iff \dfrac{\alpha\!+\!\overline{\alpha}}2\!=\!0\iff \overline{\alpha}\!=\!-\alpha$

補足

 証明中の囲み書きにある実部と虚部を表す式は,今後しばしば利用される:

 $\alpha=a+bi$ のとき, \[ a=\frac{\alpha+\overline{\alpha}}2,\ \ \ \ b=\frac{\alpha-\overline{\alpha}}{2i} \]

2.3 共役な複素数の性質

 ① $\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$
 ② $\overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta}$
 ③ $\overline{\alpha\beta}=\overline{\mathstrut \alpha}\,\overline{\beta}$
 ④ $\overline{\left(\dfrac \alpha \beta\right)}=\dfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$ (ただし,$\beta\neq 0$)

補足

 ③で $\beta$ も $\alpha$ とおくと,$\overline{\alpha^2}=\left(\overline{\alpha}\right)^2$.
 従って帰納的に $n$ が自然数のとき,$\overline{\alpha^n}=\left(\overline{\alpha}\right)^n$.

2.4 複素数の絶対値

 複素数 $\alpha=a+b\,i$ に対して,$\sqrt{a^2+b^2}$ を $\alpha$ の絶対値といい,$|\alpha|$ で表す:

\[ |\alpha|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} \]

 ここで, \[\alpha\overline{\alpha}=(a+b\,i)(a-b\,i)=a^2+b^2\] により次が成り立つ:

\[ |\alpha|^2=\alpha\overline{\alpha} \]

2.5 2点間の距離

\[ 2\mbox{点}\ \alpha,\ \beta\ \mbox{の距離} : |\beta -\alpha | \]

補足

 ベクトルでは,${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$,${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$ のとき, \[|\overrightarrow{\rm AB}|=|\overrightarrow{\mathstrut \beta}-\overrightarrow{\mathstrut \alpha}|\]


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