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2. 複素数が表す図形

2.1 複素数の実数倍

 複素平面上の点 $\alpha\ (=a+bi)$ に対して,実数倍 $t\,\alpha$ ($t$ は実数)は次のような点を表す:

補足

 $\alpha$ を$\overrightarrow{\alpha}$と思えば,平面ベクトルの場合と同じである.

2.2 共役な複素数(complex conjugate 複素共役)

定理 $\alpha$ が実数  $\iff$ $\overline{\alpha}=\alpha$
 $\alpha$ が純虚数 $\iff$ $\overline{\alpha}=-\alpha$ (ただし,$\alpha\neq 0$)

補足

証明中の囲み書きにある実部と虚部を表す式は,今後しばしば利用される:

$\alpha=a+bi$ のとき, \[ a=\frac{\alpha+\overline{\alpha}}2,\ \ \ \ b=\frac{\alpha-\overline{\alpha}}{2i} \]

2.3 共役な複素数の性質

 ① $\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$
 ② $\overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta}$
 ③ $\overline{\alpha\beta}=\overline{\mathstrut \alpha}\,\overline{\beta}$
 ④ $\overline{\left(\dfrac \alpha \beta\right)}=\dfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$ (ただし,$\beta\neq 0$)

補足

2.4 複素数の絶対値

\[ |\alpha|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} \]

\[ |\alpha|^2=\alpha\overline{\alpha} \]

2.5 2点間の距離

\[ 2\mbox{点}\ \alpha,\ \beta \mbox{の距離} : |\beta -\alpha | \]