2. 複素数が表す図形(ノート)
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数学Ⅲ　第4章　複素平面

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2. 複素数が表す図形

2.1　複素数の実数倍

　複素平面上の点 $\alpha\ (=a+bi)$ に対して，実数倍 $t\,\alpha$ ($t$ は実数)は次のような点を表す：

補足

　$\alpha$ を$\overrightarrow{\alpha}$と思えば，平面ベクトルの場合と同じである．

2.2　共役な複素数（complex conjugate 複素共役）

　複素数 $\alpha(=a+b\,i)$ と共役な複素数を $\overline{\alpha}$ で表すと，

　　$\overline{\alpha}\!=\ a\!-\!bi$：$\alpha$ と実軸に関して対称な点
　$-\alpha\!=\!-a\!-\!bi$：$\alpha$ と原点に関して対称な点
　$-\overline{\alpha}\!=\!-a\!+\!bi$：$\alpha$ と虚軸に関して対称な点

定理 　複素数 $\alpha$ について，
　$\alpha$ が実数　　$\iff$　$\overline{\alpha}=\alpha$
　$\alpha$ が純虚数　$\iff$　$\overline{\alpha}=-\alpha$　（ただし，$\alpha\neq 0$）

証明

　$\alpha=a+b\,i$ とすると， \[\left\{ \begin{array}{ll} \alpha=a+b\,i&\cdots\mbox{①}\\[5pt] \overline{\alpha}=a-b\,i&\cdots\mbox{②} \end{array}\right.\] 　(①$+$②)$\div2$ より，

$a=\dfrac{\alpha+\overline{\alpha}}2$

　(①$-$②)$\div2\,i$ より，

$b=\dfrac{\alpha-\overline{\alpha}}{2\,i}$

　従って，

$\alpha$ が実数　$\iff b\!=\!0\iff \dfrac{\alpha\!-\!\overline{\alpha}}{2\,i}\!=\!0\iff \overline{\alpha}\!=\!\alpha$

$\alpha$ が純虚数$\iff a\!=\!0\iff \dfrac{\alpha\!+\!\overline{\alpha}}2\!=\!0\iff \overline{\alpha}\!=\!-\alpha$

■

補足

　証明中の囲み書きにある実部と虚部を表す式は，今後しばしば利用される：

　$\alpha=a+bi$ のとき， \[ a=\frac{\alpha+\overline{\alpha}}2,\ \ \ \ b=\frac{\alpha-\overline{\alpha}}{2i} \]

2.3　共役な複素数の性質

　①　$\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$
　②　$\overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta}$
　③　$\overline{\alpha\beta}=\overline{\mathstrut \alpha}\,\overline{\beta}$
　④　$\overline{\left(\dfrac \alpha \beta\right)}=\dfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$　（ただし，$\beta\neq 0$）

補足

　③で $\beta$ も $\alpha$ とおくと，$\overline{\alpha^2}=\left(\overline{\alpha}\right)^2$．
　従って帰納的に $n$ が自然数のとき，$\overline{\alpha^n}=\left(\overline{\alpha}\right)^n$．

2.4　複素数の絶対値

　複素数 $\alpha=a+b\,i$ に対して，$\sqrt{a^2+b^2}$ を $\alpha$ の絶対値といい，$|\alpha|$ で表す：

\[ |\alpha|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} \]

　ここで， \[\alpha\overline{\alpha}=(a+b\,i)(a-b\,i)=a^2+b^2\] により次が成り立つ：

\[ |\alpha|^2=\alpha\overline{\alpha} \]

2.5　2点間の距離

\[ 2\mbox{点}\ \alpha,\ \beta\ \mbox{の距離} :　|\beta -\alpha | \]

補足

　ベクトルでは，${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$，${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$ のとき， \[|\overrightarrow{\rm AB}|=|\overrightarrow{\mathstrut \beta}-\overrightarrow{\mathstrut \alpha}|\]

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