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高校数学[総目次]

数学Ⅲ 第4章 複素平面

  スライド ノート
1. 複素平面 [会員]  
2. 複素数が表す図形 [会員]  
3. 極形式 [会員]  
4. ド・モアブルの定理 [会員]  
5. 複素数と図形 [会員]  

5. 複素数と図形

5.1 線分の内分点,外分点

 平面ベクトルのときと全く同じ考え方により,複素平面での内分点,外分点は次のように表される:

2点A$(\alpha)$,B$(\beta)$ について,線分ABを \begin{align*} &m:n \mbox{に内分する点}: \frac{n\alpha+m\beta}{m+n}\\ &m:n \mbox{に外分する点}: \frac{-n\alpha+m\beta}{m-n} \end{align*}

補足

[ベクトルでは次のようであった.]

 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$,${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$ について,線分ABを

  $m:n$ に内分する点の位置ベクトル:$\dfrac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m+n}$
  $m:n$ に外分する点の位置ベクトル:$\dfrac{-n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m-n}$

5.2 方程式の表す図形

 円とは,中心と呼ばれる1点から等しい距離にある点の集合であるから,その方程式は次のように表される:

 点 $\alpha$ を中心とする半径 $r$ の円の方程式 \begin{align*} &|z-\alpha|=r\\ \iff &(z-\alpha)(\overline{z}-\overline{\alpha})=r^2\\ \iff &z\overline{z}-\overline{\alpha}z-\alpha\overline{z}=r^2-|\alpha|^2 \end{align*}

垂直二等分線

 線分ABの垂直二等分線とは,線分ABの両端から等しい距離にある点の集合であるから,その方程式は次のように表される:

 A$(\alpha)$,B$(\beta)$ のとき,線分ABの垂直二等分線の方程式 \[ |z-\alpha|=|z-\beta| \]

5.3 半直線のなす角

 図において,半直線ABからACまでの回転角を \[\angle \beta\alpha\gamma\] で表す.極形式 での偏角と同様に,反時計回りの回転角を正の向き,時計回りを負の向きとする.

 極形式のところで学んだ,${\rm arg}\dfrac{z_1}{z_2}={\rm arg}\,z_1-{\rm arg}\,z_2$ を上の場合に適用することを考えよう.${\rm A}(\alpha)$ が極Oにくるような平行移動を考えたとき,点${\rm B}(\beta),\ {\rm C}(\gamma)$ は,それぞれ点${\rm B}'(\beta’),\ {\rm C}'(\gamma’)$ に移ったとすると,

$\left\{\begin{array}{l}\beta’=\beta-\alpha\\[5pt]
\gamma’=\gamma-\alpha\end{array}\right.$ …①

である.

よって

\[\begin{align*} \angle\beta\,\alpha\,\gamma&=\angle\beta’\,0\,\gamma’\\[5pt] &={\rm arg}\,\gamma’-{\rm arg}\,\beta’\\[5pt] &={\rm arg}\,\dfrac{\gamma’}{\beta’}\\[5pt] &={\rm arg}\,\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\ \ (\because\mbox{①}) \end{align*}\]

となる.

 異なる3点 $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ について, \[ \angle \beta\alpha\gamma={\rm arg}\,\frac{\gamma -\alpha}{\beta -\alpha} \]

注意

 文字の順番に注意.$\angle\gamma\alpha\beta$ だと角の大きさは上の図と同じだが,向きが逆になる.

異なる3点が1直線上にあるための条件

  異なる3点 $\alpha,\beta,\gamma$ が1直線上

 $\iff \angle\beta\alpha\gamma=0$ 又は $\pi$

 $\iff {\rm arg}\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=0$ 又は $\pi$

 $\iff \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ は実数

垂直条件

 ${\rm A}(\alpha)$,${\rm B}(\beta)$,${\rm C}(\gamma)$ について,

   AB⊥AC

 $\iff \angle\beta\alpha\gamma=\dfrac\pi2$ 又は $-\dfrac\pi2$

 $\iff {\rm arg}\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\dfrac\pi2$ 又は $-\dfrac\pi2$

 $\iff \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ は純虚数

【発展】4点が同一円周上にあるための条件

 異なる4点 ${\rm A}(\alpha)$,${\rm B}(\beta)$,${\rm C}(\gamma)$,${\rm D}(\delta)$ のうち,どの3点も同一直線上にないとする.つまりこの4点を使って四角形ができる場合である.このとき,この4点が同一円周上にあるための条件を求めよう.

 この4点のうち,CとDは直線ABに関して同じ側にあるか,反対側にあるかどちらかである.

1° CとDが直線ABに関して同じ側にあるとき

 円周角の定理 ,及び円周角の定理の逆 により

 4点が同一円周上
$\iff$ ∠ACB=∠ADB  …①
$\iff\ \angle\alpha\gamma\beta=\angle\alpha\delta\beta$  …②
$\iff\ {\rm arg}\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}-{\rm arg}\dfrac{\beta-\delta}{\alpha-\delta}=0$
$\iff\ {\rm arg}\left(\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\div\dfrac{\beta-\delta}{\alpha-\delta}\right)=0$
$\iff\ \dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\div\dfrac{\beta-\delta}{\alpha-\delta}$ は正の実数

式を追う上での補足
 ①では角の大きさだけで向きはない.②では回転の向きが正負で表されるが,CとDの位置関係によらず,両辺とも同符号である.

四角形ABCDとABDCの2パターンあるが,
いずれの場合も②の両辺は同符号となる.

2° CとDが直線ABに関して反対側にあるとき

 円に内接する四角形 の条件により

 4点が同一円周上
$\iff$ ∠ACB+∠BDA=$\pi$   …③
$\iff\ \angle\alpha\gamma\beta+\angle\beta\delta\alpha=\pm\pi$  …④
$\iff\ {\rm arg}\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}+{\rm arg}\dfrac{\alpha-\delta}{\beta-\delta}=\pm\pi$
$\iff\ {\rm arg}\left(\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\times\dfrac{\alpha-\delta}{\beta-\delta}\right)=\pm\pi$
$\iff\ {\rm arg}\left(\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\div\dfrac{\beta-\delta}{\alpha-\delta}\right)=\pm\pi$
$\iff\ \dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\div\dfrac{\beta-\delta}{\alpha-\delta}$ は負の実数

式を追う上での補足
 ③では角の大きさだけで向きはない.④では $\angle\alpha\gamma\beta$ と $\angle\beta\delta\alpha$ は回転の向きが同じで,反時計回りだと $+\pi$に,時計回りだと $-\pi$ になっている.(③で∠ADBではなく,∠BDAとなっているのは回転の向きをそろえるためである.)

左側の図だと $+\pi$,右側の図だと $-\pi$

 1°,2° により,次が成り立つ:

4点が同一円周上にあるための条件 異なる4点 ${\rm A}(\alpha)$,${\rm B}(\beta)$,${\rm C}(\gamma)$,${\rm D}(\delta)$ のうち,どの3点も同一直線上にないとする.このとき

4点が同一円周上にある
$\iff\ \dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\div\dfrac{\beta-\delta}{\alpha-\delta}$ が実数

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