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5. 複素数と図形

5.1 線分の内分点,外分点

2点A$(\alpha)$,B$(\beta)$ について,線分ABを \begin{align*} &m:n \mbox{に内分する点}: \frac{n\alpha+m\beta}{m+n}\\ &m:n \mbox{に外分する点}: \frac{-n\alpha+m\beta}{m-n} \end{align*}

5.2 方程式の表す図形

 点 $\alpha$ を中心とする半径 $r$ の円の方程式 \begin{align*} &|z-\alpha|=r\\ \iff &(z-\alpha)(\overline{z}-\overline{\alpha})=r^2\\ \iff &z\overline{z}-\overline{\alpha}z-\alpha\overline{z}=r^2-|\alpha|^2 \end{align*}

 A$(\alpha)$,B$(\beta)$ のとき,線分ABの垂直二等分線の方程式 \[ |z-\alpha|=|z-\beta| \]

5.3 半直線のなす角

 異なる3点 $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ について, \[ \angle \beta\alpha\gamma (={\rm arg}\, (\gamma -\alpha    )-{\rm arg}\,(\beta -\alpha ))={\rm arg}\,\frac{\gamma -\alpha}{\beta -\alpha} \]

例1

例2