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高校数学ノート

数学Ⅲ 第4章 複素平面

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1.複素平面 無料        【ノート
2.複素数が表す図形 無料    【ノート
3.極形式             【ノート
4.ド・モアブルの定理       【ノート
5.複素数と図形          【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

5. 複素数と図形

5.1 線分の内分点,外分点

 平面ベクトルのときと全く同じ考え方により,複素平面での内分点,外分点は次のように表される:

2点A$(\alpha)$,B$(\beta)$ について,線分ABを \begin{align*} &m:n \mbox{に内分する点}: \frac{n\alpha+m\beta}{m+n}\\ &m:n \mbox{に外分する点}: \frac{-n\alpha+m\beta}{m-n} \end{align*}

補足

[ベクトルでは次のようであった.]

 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$,${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$ について,線分ABを

  $m:n$ に内分する点の位置ベクトル:$\dfrac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m+n}$
  $m:n$ に外分する点の位置ベクトル:$\dfrac{-n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m-n}$

5.2 方程式の表す図形

 円とは,中心と呼ばれる1点から等しい距離にある点の集合であるから,その方程式は次のように表される:

 点 $\alpha$ を中心とする半径 $r$ の円の方程式 \begin{align*} &|z-\alpha|=r\\ \iff &(z-\alpha)(\overline{z}-\overline{\alpha})=r^2\\ \iff &z\overline{z}-\overline{\alpha}z-\alpha\overline{z}=r^2-|\alpha|^2 \end{align*}

垂直二等分線

 線分ABの垂直二等分線とは,線分ABの両端から等しい距離にある点の集合であるから,その方程式は次のように表される:

 A$(\alpha)$,B$(\beta)$ のとき,線分ABの垂直二等分線の方程式 \[ |z-\alpha|=|z-\beta| \]

5.3 半直線のなす角

 図において,半直線ABからACまでの回転角を \[\angle \beta\alpha\gamma\] で表すと,次が成り立つ:

 異なる3点 $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ について, \[ \angle \beta\alpha\gamma (={\rm arg}\, (\gamma -\alpha    )-{\rm arg}\,(\beta -\alpha ))={\rm arg}\,\frac{\gamma -\alpha}{\beta -\alpha} \]

注意

 文字の順番に注意.$\angle\gamma\alpha\beta$ だと角の大きさは上の図と同じだが,向きが逆になる.

異なる3点が1直線上にあるための条件

  異なる3点 $\alpha,\beta,\gamma$ が1直線上

 $\iff \angle\beta\alpha\gamma=0$ 又は $\pi$

 $\iff {\rm arg}\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=0$ 又は $\pi$

 $\iff \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ は実数

垂直条件

 ${\rm A}(\alpha)$,${\rm B}(\beta)$,${\rm C}(\gamma)$ について,

 AB⊥AC

 $\iff \angle\beta\alpha\gamma=\dfrac\pi2$ 又は $\dfrac{3\pi}2$

 $\iff {\rm arg}\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\dfrac\pi2$ 又は $\dfrac{3\pi}2$

 $\iff \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ は純虚数


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