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高校数学ノート

数学Ⅲ 第4章 複素平面

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4. ド・モアブルの定理 [会員]  
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4. ド・モアブルの定理

4.1 ド・モアブルの定理とは

 前節で確認した公式により,$z=\cos\theta+i\sin\theta$ のとき, \[\begin{align*} z^2&=\cos(\theta+\theta)+i\sin(\theta+\theta)\\[5pt] &=\cos2\theta+i\sin2\theta\\[5pt] z^3&=z^2\cdot z\\[5pt] &=\cos(2\theta+\theta)+i\sin(2\theta+\theta)\\[5pt] &=\cos3\theta+i\sin3\theta \end{align*}\]

 また, \[\begin{align*} \frac1z&=\frac{\cos0+i\sin0}{\cos\theta+i\sin\theta}\\[5pt] &=\cos(0-\theta)+i\sin(0-\theta)\\[5pt] &=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\\[5pt] \frac1{z^2}&=\frac{\cos0+i\sin0}{\cos2\theta+i\sin2\theta}\\[5pt] &=\cos(0-2\theta)+i\sin(0-2\theta)\\[5pt] &=\cos(-2\theta)+i\sin(-2\theta)\\[5pt] \frac1{z^3}&=\frac{\cos0+i\sin0}{\cos3\theta+i\sin3\theta}\\[5pt] &=\cos(0-3\theta)+i\sin(0-3\theta)\\[5pt] &=\cos(-3\theta)+i\sin(-3\theta)\\[5pt] \end{align*}\]

 従って,複素数 $z$,及び自然数 $n$ に対して,$z^{-n}$ を $\dfrac1{z^n}$,$z^0=1$ と定義すれば,一般に次が成り立つ:

ド・モアブルの定理 $n$ が整数のとき, \[ (\cos\theta +i\sin\theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta \]

4.2 1の $n$ 乗根

 1の $n$ 乗根( $n$ 乗すると1になる数)を $z$ とする:

\[z^n=1\]

 すると,$|z|^n$ は \[|z|^n=|z^n|=1\] であり,$|z|$ は非負の実数であるから,$|z|=1$.従って,$z$ は複素平面上の原点を中心とする単位円周上の点であるから,極形式で $z=\cos\theta+i\sin\theta$ とおけて, \[\begin{align*} z^n&=1\\[5pt] \iff \cos n\theta+i\sin n\theta&=\cos 0+i\sin 0\\[5pt] \iff n\theta&=0+2k\pi\ \ (k\,\mbox{は整数})\\[5pt] \iff \theta&=\frac{2k\pi}n \end{align*}\]

$\cos$ と $\sin$ の周期は $2\pi$ であるから,$z=\cos\dfrac{2k\pi}n+i\sin\dfrac{2k\pi}n$ ($k$ は整数)のうち,異なるものは \[k=0,1,2,\cdots,n-1\] の $n$ 個である.

まとめ 1の $n$ 乗根は次の $n$ 個: \begin{align*} \cos\frac{2k\pi}n&+i\sin\frac{2k\pi}n\\ &(k=0,\ 1,\, \cdots ,\ n-1) \end{align*}

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