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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第5章 指数関数・対数関数

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1. 指数の拡張 無料     【ノート
2. 指数関数 無料      【ノート
3. 対数とその性質       【ノート
4. 対数関数          【ノート
5. 常用対数          【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

1.指数の拡張

1.1 0や負の整数の指数

 $a\neq0,\ n$が正の整数のとき,\[a^0=1,\ a^{-n}=\frac1{a^n},\ \left(\mbox{特に,}a^{-1}=\frac1a\right)\]

1.2 整数の指数法則

 $a\neq0,\ b\neq0$で,$m,\ n$が整数のとき,\begin{align*} &[1]\ a^ma^n=a^{m+n}\\[5pt] &[2]\ (a^m)^n=a^{mn}\\[5pt] &[3]\ (ab)^n=a^nb^n\\[5pt] &[4]\ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\\[5pt] &[5]\ \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \end{align*}


 $[1]\ \ a^2a^{-3}=a^2\cdot\dfrac1{a^3}=\dfrac1a=a^{-1}=a^{2-3}$
 $[2]\ \ (a^2)^{-3}=\dfrac1{(a^2)^3}=\dfrac1{a^6}=a^{-6}=a^{2\cdot(-3)}$
 $[3]\ \ (ab)^{-2}=\dfrac1{(ab)^2}=\dfrac1{a^2b^2}=a^{-2}b^{-2}$

1.3 累乗根

 $n$ を正の整数とするとき,$n$ 乗して $a$ になる数を

$a$ の $n$ 乗根

という.


 $9$ の2乗根(平方根ともいう)
    $3$ と $-3$
 $8$ の3乗根(立方根ともいう)
   $x^3=8$ より $x^3-8=0$
   $\therefore (x-2)(x^2+2x+4)=0$
   よって,$2$ と $\ -1+\sqrt3i$ と $-1-\sqrt3i$
 $-8$ の3乗根
   $x^3=-8$ より $x^3+8=0$
   $\therefore (x+2)(x^2-2x+4)=0$
   よって,$-2$ と $\ 1+\sqrt3i$ と $1-\sqrt3i$
 $16$ の4乗根   
   $x^4=16$ より $x^4-16=0$
   $\therefore (x^2-4)(x^2+4)=0$
   よって,$2$ と $-2$ と $2i$ と $-2i$

補足

① 2乗根,3乗根,4乗根,… をまとめて累乗根という.
② 一般に $a$ の $n$ 乗根は $n$ 個ある.

1.4 $n$ 乗根 $a$

$a$ の $n$ 乗根について

  1. $\boldsymbol{n}$ が奇数のとき
    どんな実数 $a$ にも $x^n=a$ となる実数 $x$ がただ1つだけ存在し,その $x$ を\[\sqrt[n]{a}\]と書き表し,「 $\boldsymbol{n}$ 乗根 $\boldsymbol{a}$ 」と読む.
    例1 $8$ の3乗根は,$2$ と $-1\pm\sqrt3i$
      よって,$2$ を $\sqrt[3]8$ と書き,
        「3乗根8」
      と読む:
        $\sqrt[3]8=2$
    例2 $-8$ の3乗根は,$-2$ と $1\pm\sqrt3i$
      よって,$-2$ を $\sqrt[3]{-8}$ と書き,
        「3乗根$-8$」
      と読む:
        $\sqrt[3]{-8}=-2$
  2. $\boldsymbol{n}$ が偶数のとき
    (i) $a > 0$ のとき
      $x^n=a$ となる $x$ が正負1個ずつある.
      その正の方を $\sqrt[n]a$ で表す.
        負の方を $-\sqrt[n]a$ で表す.
    (ii) $a=0$ のとき
        $\sqrt[n]a=0$
    (iii) $a < 0$ のとき
        $\sqrt[n]a$ は存在しない
     $16$ の4乗根は,
       $2$ と $-2$ と $2i$ と $-2i$
       よって,
     $2$ を $\sqrt[4]{16}$ と書き「4乗根16」と読む
    $-2$ を $-\sqrt[4]{16}$ と書き「マイナス4乗根16」と読む

補足

 $2$ 乗根 $a$ は,通常左上の $2$ を省略する:

\[\sqrt[2]a\ \to \ \sqrt a\]

 また,「$2$ 乗根 $a$」や「平方根 $a$」とは呼ばず,「ルート $\boldsymbol{a}$」と呼ぶのが通例である.

注意

 $\boldsymbol{a>0}$ のとき,$\sqrt[n]a$ は,その定義から $n$ の偶奇にかかわらず正の数である:

\[\boldsymbol{\sqrt[n]a>0}\]

 この事実は,次節「1.5 累乗根の性質」で利用される.

1.5 累乗根の性質

 $a>0, b>0$で,$m,\ n,\ p$ が正の整数のとき,\begin{align*} &[1]\ \sqrt[n]a\sqrt[n]b=\sqrt[n]{ab}\\[5pt] &[2]\ \frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}=\sqrt[n]{\frac ab}\\[5pt] &[3]\ (\sqrt[n]a)^m=\sqrt[n]{a^m}\\[5pt] &[4]\ \sqrt[m]{\sqrt[n]a}=\sqrt[mn]a\\[5pt] &[5]\ \sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}} \end{align*}

証明の方針

 $a > 0$ のとき,$\sqrt[n]a$ という数は,
    正の数   $\cdots$ ①
であって,かつ
    $\boldsymbol{(\sqrt[n]a)^n=a}$  $\cdots$
を満たすただ1つの実数であることを利用.

証明

[1] $\sqrt[n]{\mathstrut{a}}>0,\ \sqrt[n]b>0$ より,$\sqrt[n]{\mathstrut{a}}\,\sqrt[n]b>0$.[①]
 また,$(\sqrt[n]{\mathstrut{a}}\,\sqrt[n]b)^n=(\sqrt[n]{\mathstrut{a}})^n(\sqrt[n]b)^n=ab$.[②]
 よって,$\sqrt[n]{\mathstrut{a}}\,\sqrt[n]b$ という数は,
    正の数 [①]であって,
    $n$ 乗すると $ab$ [②]になる実数
 であるから,

$\sqrt[n]{\mathstrut a}\,\sqrt[n]b=\sqrt[n]{ab}$

[2] [1] と同様に示される.

[3] $\sqrt[n]a>0$ より,$(\sqrt[n]a^m > 0$.[①]
 また,$\{(\sqrt[n]a)^m\}^n=\{(\sqrt[n]a)^n\}^m=a^m$.[②]
 よって,$(\sqrt[n]a)^m$ という数は,
    正の数 [①]であって,
    $n$ 乗すると $a^m$ [②]になる実数
 であるから,

$(\sqrt[n]a)^m=\sqrt[n]{a^m}$

[4] $\sqrt[n]a>0$ より,$\sqrt[m]{\sqrt[n]a} > 0$.[①]
 また,
  $\left(\sqrt[m]{\sqrt[n]a}\right)^{mn}=\left\{\left(\sqrt[m]{\sqrt[n]a}\right)^m\right\}^n=\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$.[②]
 よって,$\sqrt[m]{\sqrt[n]a}$ という数は,
    正の数 [①]であって,
    $mn$ 乗すると $a$ [②]になる実数
 であるから,

$\sqrt[m]{\sqrt[n]a}=\sqrt[mn\,]a$

[5] $a^m>0$ より,$\sqrt[n]{a^m} > 0$.[①]
 また,
  $\left(\sqrt[n]{a^m}\right)^{np}=\left\{\left(\sqrt[n]{a^m}\right)^n\right\}^p=\left(a^m\right)^p=a^{mp}$.[②]
 よって,$\sqrt[n]{a^m}$ という数は,
    正の数 [①]であって,
    $np$ 乗すると $a^{mp}$ [②]になる実数
 であるから,

$\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np\,]{a^{mp}}$


\[\begin{align*} \sqrt[3]4\sqrt[3]{54}&=\sqrt[3]4(\sqrt[3]2\sqrt[3]{27})\hspace{10mm}(\because [1])\\[5pt] &=\sqrt[3]8\,\sqrt[3]{27}\hspace{18mm}(\because [1])\\[5pt] &=2\cdot3\\[5pt] &=6 \end{align*}\]

\[\begin{align*} (\sqrt[8]9)^6&=\sqrt[8]{9^6}\hspace{22mm}(\because [3])\\[5pt] &=\sqrt[8]{(3^2)^6}\\[5pt] &=\sqrt[8]{3^{12}}\\[5pt] &=\sqrt[2\times4]{3^{3\times4}}\\[5pt] &=\sqrt[2]{3^{3}}\hspace{22mm}(\because [5])\\[5pt] &=(\sqrt3)^3\hspace{19mm}(\because [3])\\[5pt] &=3\sqrt3 \end{align*}\]

1.6 有理数の指数

復習(整数の指数法則)  $a\neq0$ で,$m,n$ が整数のとき, \[\begin{align*} &[1]\ \ a^ma^n=a^{m+n}\\[5pt] &[2]\ \ (a^m)^n=a^{mn} \end{align*}\]

 いま,$a > 0$ として,上の指数法則において,$m,n$ が有理数でも成り立つとすると,例えば \[\begin{align*} \left(a^{\frac23}\right)^3&=a^{\frac23\times3}\ \ \ (\mbox{整数の指数法則}[2])\\[5pt] &=a^2 \end{align*}\] となり,$a^{\frac23}$ は3乗すると $a^2$ になるから,$a^{\frac23}$ は $a^2$ の3乗根$(\,\sqrt[3]{a^2}\,)$である: \[a^{\frac23}=\sqrt[3]{a^2}\]  また, \[\begin{align*} a^{\frac13}a^{-\frac13}&=a^{\frac13-\frac13}\ \ \ (\mbox{整数の指数法則}[1])\\[5pt] &=a^0=1\\[5pt] \therefore a^{\frac13}a^{-\frac13}&=1 \end{align*}\]  この両辺を $a^{\frac13}(\neq0)$ で割ると, \[a^{-\frac13}=\frac1{a^{\frac13}}\]  よって,有理数の指数を次のように定義する:

 $a>0$で,$m,\ n$ が正の整数のとき, \begin{align*} & a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}\\[5pt] & a^{-\frac mn}=\frac1{a^{\frac mn}}=\frac1{\sqrt[n]{a^m}} \end{align*}

 $5^{\frac34}=\sqrt[4]{5^3}$
 $8^{\frac13}=\sqrt[3]8=2$
 $9^{-\frac32}=\dfrac1{\sqrt{9^3}}=\dfrac1{(\sqrt9)^3}=\dfrac1{3^3}=\dfrac1{27}$

1.7 有理数の指数法則

 $a>0,\ b>0$で,$r,\ s$が有理数のとき,\begin{align*} &[1]\ a^ra^s=a^{r+s}\\[5pt] &[2]\ (a^r)^s=a^{rs}\\[5pt] &[3]\ (ab)^r=a^rb^r\\[5pt] &[4]\ \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\\[5pt] &[5]\ \left(\frac ab\right)^r=\frac{a^r}{b^r} \end{align*}

 $8^{\frac16}\times 8^{\frac32}=8^{\frac16+\frac32}=8^{\frac53}= \left\{\begin{array}{l} (2^3)^{\frac53}=2^5=32\\[5pt] \sqrt[3]{8^5}=(\sqrt[3]8)^5=2^5=32 \end{array}\right.$

 $16^{-\frac12}= \left\{\begin{array}{l} (4^2)^{-\frac12}=4^{-1}=\dfrac14\\[5pt] \dfrac1{16^{\frac12}}=\dfrac1{\sqrt{16}}=\dfrac14 \end{array}\right.$

 $a > 0$ のとき,
 $\sqrt a\times\sqrt[6]a\div\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac12}\times a^{\frac16}\div a^{\frac23}=a^{\frac12+\frac16-\frac23}=a^0=1$

1.8 無理数の指数

 $2^{\sqrt2}\left(=2^{1.41421356\cdots}\right)$

 $2^1,\ 2^{1.4},\ 2^{1.41},\ 2^{1.414},\ 2^{1.4142} \cdots$
という数の列は,小数部分を増やしていくと,どんどん一定の値に近付いていく.
 その一定の値をもって,$2^{\sqrt2}$ とする.

補足

 指数を無理数にまで拡張したので,$a > 0$ のとき,任意の実数 $x$ で $a^x$ の値が定められた.
 1.2節で登場したすべての指数法則は,指数が実数になっても成り立つ.


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