数学Ⅱ

第5章　指数関数・対数関数

1. 指数の拡張

1.1　0や負の整数の指数

　$a\neq0,\ n$が正の整数のとき，\[a^0=1,\ a^{-n}=\frac1{a^n},\ \left(\mbox{特に，}a^{-1}=\frac1a\right)\]

1.2　整数の指数法則

　$a\neq0,\ b\neq0$で，$m,\ n$が整数のとき，\begin{align*} &[1]\ a^ma^n=a^{m+n}\\[5pt] &[2]\ (a^m)^n=a^{mn}\\[5pt] &[3]\ (ab)^n=a^nb^n\\[5pt] &[4]\ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\\[5pt] &[5]\ \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \end{align*}

1.3　累乗根

1.4　$n$乗根$a$

補足

1.5　累乗根の性質

　$a>0, b>0$で，$m,\ n,\ p$ が正の整数のとき，\begin{align*} &[1]\ \sqrt[n]a\sqrt[n]b=\sqrt[n]{ab}\\[5pt] &[2]\ \frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}=\sqrt[n]{\frac ab}\\[5pt] &[3]\ (\sqrt[n]a)^m=\sqrt[n]{a^m}\\[5pt] &[4]\ \sqrt[m]{\sqrt[n]a}=\sqrt[mn]a\\[5pt] &[5]\ \sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}} \end{align*}

例

1.6　有理数の指数

　$a>0$で，$m,\ n$ が正の整数のとき，\begin{align*} & a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}\\[5pt] & a^{-\frac mn}=\frac1{a^{\frac mn}}=\frac1{\sqrt[n]{a^m}} \end{align*}

例

1.7　有理数の指数法則

　$a>0,\ b>0$で，$r,\ s$が有理数のとき，\begin{align*} &[1]\ a^ra^s=a^{r+s}\\[5pt] &[2]\ (a^r)^s=a^{rs}\\[5pt] &[3]\ (ab)^r=a^rb^r\\[5pt] &[4]\ \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\\[5pt] &[5]\ \left(\frac ab\right)^r=\frac{a^r}{b^r} \end{align*}

例

1.8　無理数の指数

補足