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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ　第5章　指数関数・対数関数

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1. 指数の拡張 [無料]  
2. 指数関数 [無料]  
3. 対数とその性質 [会員]  
4. 対数関数 [会員]  
5. 常用対数 [会員]  

1．指数の拡張

1.1　0や負の整数の指数

　$a\neq0$ のとき，

　$a\neq0,\ n$ が正の整数のとき，\[a^0=1,\ a^{-n}=\frac1{a^n},\ \left(\mbox{特に，}a^{-1}=\frac1a\right)\]

1.2　整数の指数法則

　$a\neq0,\ b\neq0$ で，$m,\ n$ が整数のとき，\begin{align*} &[1]\ a^ma^n=a^{m+n}\\[5pt] &[2]\ (a^m)^n=a^{mn}\\[5pt] &[3]\ (ab)^n=a^nb^n\\[5pt] &[4]\ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\\[5pt] &[5]\ \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \end{align*}

例
　$[1]\ \ a^2a^{-3}=a^2\cdot\dfrac1{a^3}=\dfrac1a=a^{-1}=a^{2-3}$
　$[2]\ \ (a^2)^{-3}=\dfrac1{(a^2)^3}=\dfrac1{a^6}=a^{-6}=a^{2\cdot(-3)}$
　$[3]\ \ (ab)^{-2}=\dfrac1{(ab)^2}=\dfrac1{a^2b^2}=a^{-2}b^{-2}$

1.3　累乗根

　$n$ を正の整数とするとき，$n$ 乗して $a$ になる数を

$a$ の $n$ 乗根

という．

例
　$9$ の2乗根（平方根ともいう）
　　　　$3$ と $-3$
　$8$ の3乗根（立方根ともいう）
　　　$x^3=8$ より $x^3-8=0$
　　　$\therefore (x-2)(x^2+2x+4)=0$
　　　よって，$２$ と $\ -1+\sqrt3i$ と $-1-\sqrt3i$
　$-8$ の3乗根
　　　$x^3=-8$ より $x^3+8=0$
　　　$\therefore (x+2)(x^2-2x+4)=0$
　　　よって，$-2$ と $\ 1+\sqrt3i$ と $1-\sqrt3i$
　$16$ の4乗根　　　
　　　$x^4=16$ より $x^4-16=0$
　　　$\therefore (x^2-4)(x^2+4)=0$
　　　よって，$2$ と $-2$ と $2i$ と $-2i$

補足

①　2乗根，3乗根，4乗根，… をまとめて累乗根という．
②　一般に $a$ の $n$ 乗根は $n$ 個ある．

1.4　$n$ 乗根 $a$

$a$ の $n$ 乗根について

  1. $\boldsymbol{n}$ が奇数のとき
    どんな実数 $a$ にも $x^n=a$ となる実数 $x$ がただ1つだけ存在し，その $x$ を\[\sqrt[n]{a}\]と書き表し，「 $\boldsymbol{n}$ 乗根 $\boldsymbol{a}$ 」と読む．
    例1　$8$ の3乗根は，$2$ と $-1\pm\sqrt3i$
    　　よって，$2$ を $\sqrt[3]8$ と書き，
    　　　　「3乗根8」
    　　と読む：
    　　　　$\sqrt[3]8=2$
    例2　$-8$ の3乗根は，$-2$ と $1\pm\sqrt3i$
    　　よって，$-2$ を $\sqrt[3]{-8}$ と書き，
    　　　　「3乗根$-8$」
    　　と読む：
    　　　　$\sqrt[3]{-8}=-2$
  2. $\boldsymbol{n}$ が偶数のとき
    (i) $a > 0$ のとき
    　　$x^n=a$ となる $x$ が正負1個ずつある．
    　　その正の方を　$\sqrt[n]a$ で表す．
    　　　　負の方を $-\sqrt[n]a$ で表す．
    (ii) $a=0$ のとき
    　　　　$\sqrt[n]a=0$
    (iii) $a < 0$ のとき
    　　　　$\sqrt[n]a$ は存在しない
    例　$16$ の4乗根は，
    　　　$2$ と $-2$ と $2i$ と $-2i$
    　　　よって，
    　$2$ を $\sqrt[4]{16}$ と書き「4乗根16」と読む
    $-2$ を $-\sqrt[4]{16}$ と書き「マイナス4乗根16」と読む

補足

　$2$ 乗根 $a$ は，通常左上の $2$ を省略する：

\[\sqrt[2]a\ \to \ \sqrt a\]

　また，「$2$ 乗根 $a$」や「平方根 $a$」とは呼ばず，「ルート $\boldsymbol{a}$」と呼ぶのが通例である．

注意

　$\boldsymbol{a>0}$ のとき，$\sqrt[n]a$ は，その定義から $n$ の偶奇にかかわらず正の数である：

\[\boldsymbol{\sqrt[n]a>0}\]

　この事実は，次節「1.5　累乗根の性質」で利用される．

1.5　累乗根の性質

　$a>0, b>0$ で，$m,\ n,\ p$ が正の整数のとき，\begin{align*} &[1]\ \sqrt[n]a\,\sqrt[n]b=\sqrt[n]{ab\,}\\[5pt] &[2]\ \frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}=\sqrt[n]{\frac ab}\\[5pt] &[3]\ (\sqrt[n]a)^m=\sqrt[n]{a^m}\\[5pt] &[4]\ \sqrt[m]{\sqrt[n]a}=\sqrt[mn]a\\[5pt] &[5]\ \sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}} \end{align*}

証明の方針

　$a > 0$ のとき，$\sqrt[n]a$ という数は，
　　　　正の数　　　$\cdots$ ①
であって，かつ
　　　　$\boldsymbol{(\sqrt[n]a)^n=a}$　 $\cdots$ ②
を満たすただ1つの実数であることを利用．

証明

[1]　$\sqrt[n]{\mathstrut{a}}>0,\ \sqrt[n]b>0$ より，$\sqrt[n]{\mathstrut{a}}\,\sqrt[n]b>0$．[①]
　また，$(\sqrt[n]{\mathstrut{a}}\,\sqrt[n]b)^n=(\sqrt[n]{\mathstrut{a}})^n(\sqrt[n]b)^n=ab$．[②]
　よって，$\sqrt[n]{\mathstrut{a}}\,\sqrt[n]b$ という数は，
　　　　正の数 [①]であって，
　　　　$n$ 乗すると $ab$ [②]になる実数
　であるから，

$\sqrt[n]{\mathstrut a}\,\sqrt[n]b=\sqrt[n]{ab}$

[2]　[1] と同様に示される．

[3]　$\sqrt[n]a>0$ より，$(\sqrt[n]a)^m > 0$．[①]
　また，$\{(\sqrt[n]a)^m\}^n=\{(\sqrt[n]a)^n\}^m=a^m$．[②]
　よって，$(\sqrt[n]a)^m$ という数は，
　　　　正の数 [①]であって，
　　　　$n$ 乗すると $a^m$ [②]になる実数
　であるから，

$(\sqrt[n]a)^m=\sqrt[n]{a^m}$

[4]　$\sqrt[n]a>0$ より，$\sqrt[m]{\sqrt[n]a} > 0$．[①]
　また，
　　$\left(\sqrt[m]{\sqrt[n]a}\right)^{mn}=\left\{\left(\sqrt[m]{\sqrt[n]a}\right)^m\right\}^n=\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$．[②]
　よって，$\sqrt[m]{\sqrt[n]a}$ という数は，
　　　　正の数 [①]であって，
　　　　$mn$ 乗すると $a$ [②]になる実数
　であるから，

$\sqrt[m]{\sqrt[n]a}=\sqrt[mn\,]a$

[5]　$a^m>0$ より，$\sqrt[n]{a^m} > 0$．[①]
　また，
　　$\left(\sqrt[n]{a^m}\right)^{np}=\left\{\left(\sqrt[n]{a^m}\right)^n\right\}^p=\left(a^m\right)^p=a^{mp}$．[②]
　よって，$\sqrt[n]{a^m}$ という数は，
　　　　正の数 [①]であって，
　　　　$np$ 乗すると $a^{mp}$ [②]になる実数
　であるから，

$\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np\,]{a^{mp}}$

■

例
\[\begin{align*} \sqrt[3]4\,\sqrt[3]{54}&=\sqrt[3]4(\sqrt[3]2\sqrt[3]{27})\hspace{10mm}(\because [1])\\[5pt] &=\sqrt[3]8\,\sqrt[3]{27}\hspace{18mm}(\because [1])\\[5pt] &=2\cdot3\\[5pt] &=6 \end{align*}\]

\[\begin{align*} (\sqrt[8]9)^6&=\sqrt[8]{9^6}\hspace{22mm}(\because [3])\\[5pt] &=\sqrt[8]{(3^2)^6}\\[5pt] &=\sqrt[8]{3^{12}}\\[5pt] &=\sqrt[2\times4]{3^{3\times4}}\\[5pt] &=\sqrt[2]{3^{3}}\hspace{22mm}(\because [5])\\[5pt] &=(\sqrt3)^3\hspace{19mm}(\because [3])\\[5pt] &=3\sqrt3 \end{align*}\]

1.6　有理数の指数

復習（整数の指数法則） 　$a\neq0$ で，$m,n$ が整数のとき， \[\begin{align*} &[1]\ \ a^ma^n=a^{m+n}\\[5pt] &[2]\ \ (a^m)^n=a^{mn} \end{align*}\]

　いま，$a > 0$ として，上の指数法則において，$m,n$ が有理数でも成り立つとすると，例えば \[\begin{align*} \left(a^{\frac23}\right)^3&=a^{\frac23\times3}\ \ \ (\mbox{整数の指数法則}[2])\\[5pt] &=a^2 \end{align*}\] となり，$a^{\frac23}$ は3乗すると $a^2$ になるから，$a^{\frac23}$ は $a^2$ の3乗根$(\,\sqrt[3]{a^2}\,)$である： \[a^{\frac23}=\sqrt[3]{a^2}\] 　また， \[\begin{align*} a^{\frac13}a^{-\frac13}&=a^{\frac13-\frac13}\ \ \ (\mbox{整数の指数法則}[1])\\[5pt] &=a^0=1\\[5pt] \therefore a^{\frac13}a^{-\frac13}&=1 \end{align*}\] 　この両辺を $a^{\frac13}(\neq0)$ で割ると， \[a^{-\frac13}=\frac1{a^{\frac13}}\] 　よって，有理数の指数を次のように定義する：

　$a>0$で，$m,\ n$ が正の整数のとき， \begin{align*} & a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}\\[5pt] & a^{-\frac mn}=\frac1{a^{\frac mn}}=\frac1{\sqrt[n]{a^m}} \end{align*}

例

　$5^{\frac34}=\sqrt[4]{5^3}$
　$8^{\frac13}=\sqrt[3]8=2$
　$9^{-\frac32}=\dfrac1{\sqrt{9^3}}=\dfrac1{(\sqrt9)^3}=\dfrac1{3^3}=\dfrac1{27}$

1.7　有理数の指数法則

　$a>0,\ b>0$で，$r,\ s$が有理数のとき，\begin{align*} &[1]\ a^ra^s=a^{r+s}\\[5pt] &[2]\ (a^r)^s=a^{rs}\\[5pt] &[3]\ (ab)^r=a^rb^r\\[5pt] &[4]\ \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\\[5pt] &[5]\ \left(\frac ab\right)^r=\frac{a^r}{b^r} \end{align*}

例

　$8^{\frac16}\times 8^{\frac32}=8^{\frac16+\frac32}=8^{\frac53}= \left\{\begin{array}{l} (2^3)^{\frac53}=2^5=32\\[5pt] \sqrt[3]{8^5}=(\sqrt[3]8)^5=2^5=32 \end{array}\right.$

　$16^{-\frac12}= \left\{\begin{array}{l} (4^2)^{-\frac12}=4^{-1}=\dfrac14\\[5pt] \dfrac1{16^{\frac12}}=\dfrac1{\sqrt{16}}=\dfrac14 \end{array}\right.$

　$a > 0$ のとき，
　$\sqrt a\times\sqrt[6]a\div\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac12}\times a^{\frac16}\div a^{\frac23}=a^{\frac12+\frac16-\frac23}=a^0=1$

1.8　無理数の指数

例 　$2^{\sqrt2}\left(=2^{1.41421356\cdots}\right)$

　$2^1,\ 2^{1.4},\ 2^{1.41},\ 2^{1.414},\ 2^{1.4142} \cdots$
という数の列は，小数部分を増やしていくと，どんどん一定の値に近付いていく．
　その一定の値をもって，$2^{\sqrt2}$ とする．

補足

　指数を無理数にまで拡張したので，$a > 0$ のとき，任意の実数 $x$ で $a^x$ の値が定められた．
　1.2節で登場したすべての指数法則は，指数が実数になっても成り立つ．

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