4. 対数関数(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第5章　指数関数・対数関数

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4．対数関数

4.1　対数関数

　$a$ が正であって1でない数であるとき，$y=a^x$ は $x(>0)$ の値が1つ決まればそれに応じて $y$ の値がただ1つ決まった．すなわち $y$ は $x$ の関数である．大事なことはこの対応が1対1であるということだ．

$y=a^x$ の $x$ と $y$ は1対1対応

　つまり先に $y$ の値を決めても，その値に応じて $x$ の値はただ1つ定まるのであるから $x$ は $y$ の関数である．この性質は指数関数の単調性によっている．

例　$y=2^x$

　$x=0$ のとき $y=1$．逆に $y=1$ のとき $x=0$．
　$x=1$ のとき $y=2$．逆に $y=2$ となる $x=1$．
　$x=2$ のとき $y=4$．逆に $y=4$ となる $x=2$．
　　　　$\vdots$

　任意の実数 $y$ に対して，$y=a^x$ を満たす $x$ を $\log_ay$ と書き表した．つまり $x=\log_ay$ である．しかし数学では通常先に決める方の文字を $x$，それに伴って決まる数を $y$ とすることが多いので，

\[y=\log_ax\]

と書き表すのである．

4.2　対数関数のグラフ

　対数関数 $y=\log_ax$ のグラフはどのようになっているのであろうか．対数の値がわかり易い $x$ の値でいくつか調べたものを表にまとめて、それら $(x,y)$ の組を座標平面に書き入れて滑らかに連結してみよう．

例1　$y=\log_2x$

例2　$y=\log_{\frac12}x$

　底が，$2$ と $\dfrac12$ の2つだけを調べたが，共通点と相違点は何であろうか．

　共通点は，いずれのグラフも $y$ 軸の右側にあるということだ．つまり $\boldsymbol{x}$ は正の値しかとらない．一方 $\boldsymbol{y}$ は実数全体をとっている．また，2つのグラフは共に点 $\boldsymbol{(1,0)}$ を通っている．更に2つのグラフは共に $y$ 軸にどんどん近付いているが決して交わっていない．このように遠いところにおいて限りなく近付いていく直線を漸近線という．2つのグラフは共に $\boldsymbol{y}$ 軸が漸近線である．最後に上の2つのグラフは合同(平行移動・回転移動・対称移動で重なる)である．

　相違点は，$y=\log_2x$ は右上がり，$y=\log_{\frac12}x$ は右下がりである．これは決定的で重要な相違点である．ではそのような違いを生じさせる $a$ の値の範囲はどうなっているのか？それは

$a>1$　と　$0<a<1$

である．この違いがグラフの形，すなわち関数の特徴を決定付けるのである．

　上の考察のうちのいくつかは次の節で再び確認することになるが，とりあえずグラフの形や通る点についてまとめると次のようになる．

4.3　対数関数の性質

　すぐ上で見たように，対数関数 $y=\log_ax$ のグラフにより，次のことがわかる：

補足

　[2]により，

が成り立つ．（対数方程式で利用．）

例題1　$\log_5\sqrt{10}$ と $\log_53$ の大小関係を調べよ．

こたえ

　解答例を表示する >

　底の5が1より大きく，$\sqrt{10} > 3(=\sqrt 9)$ により， \[\underline{\boldsymbol{\log_5\sqrt{10} > \log_5 3}}\]

例題2　$\log_3x+\log_3(x-8)=2$ を解け．

こたえ

　解答例を表示する >

　真数条件より，

$x > 0$ かつ $x-8 > 0\ \ \therefore x > 8\ \ \ \cdots$ ①

　この条件の下で与式を変形して， \[\begin{align*} \log_3 x(x-8)&=2\\[5pt] \therefore x(x-8)&=3^2\\[5pt] x^2-8x-9&=0\\[5pt] (x+1)(x-9)&=0 \end{align*}\] 　従って①より，$\underline{\boldsymbol{x=9}}$．

例題3　$\log_{\frac13}(x-1)>-1$ を解け．

こたえ

　解答例を表示する >

　真数条件より，$x-1 > 0\ \ \therefore x > 1\ \ \cdots$ ①
　この条件の下で与式を変形して， \[\begin{align*} \log_{\frac13}(x-1)& > -1\times\log_{\frac13}\frac13\\[5pt] \log_{\frac13}(x-1)& > \log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-1} \end{align*}\] 　底の $\dfrac13$ が1より小さいから，不等号の向きが逆転して， \[\begin{align*} x-1 & < \left(\frac13\right)^{-1}\\[5pt] x-1 & < 3\\[5pt] \therefore x & < 4 \end{align*}\] 　従って①とから，$\underline{\boldsymbol{1< x < 4}}$．

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