高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第5章 指数関数・対数関数
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1. 指数の拡張 | [無料] | |
2. 指数関数 | [無料] | |
3. 対数とその性質 | [会員] | |
4. 対数関数 | [会員] | |
5. 常用対数 | [会員] |
4.対数関数
4.1 対数関数
$a > 0,a\neq1$ のとき, \[y=\log_a x\] を,$\boldsymbol{a}$ を底(てい)とする $\boldsymbol{x}$ の対数関数という.
4.2 対数関数のグラフ
例1 $y=\log_2x$


例2 $y=\log_{\frac12}x$


$y=\log_ax$ のグラフ

- $a>1$ のとき,右上がりの曲線
$0<a<1$ のとき,右下がりの曲線 - 点 $(1,0)$ を通る
- $y$ 軸が漸近線
4.3 対数関数の性質
対数関数 $y=\log_ax$ のグラフにより,次のことがわかる:
対数関数の性質\begin{array}{cl} [1]&\mbox{定義域:正の実数全体}\\ &\mbox{値 域:実数全体}\\ [2]&a>1\mbox{のとき,単調に増加する}\\ & (p<q\iff \log_ap<\log_aq)\\ &0<a<1\mbox{のとき,単調に減少する}\\ & (p<q\iff \log_ap>\log_aq) \end{array}
補足
[2]により,
が成り立つ.(対数方程式で利用.)
例1 $\log_5\sqrt{10}$ と $\log_53$ の大小関係は?
答 底の5が1より大きく,$\sqrt{10} > 3(=\sqrt 9)$ により, \[\underline{\boldsymbol{\log_5\sqrt{10} > \log_5 3}}\]
例2 $\log_3x+\log_3(x-8)=2$ を解け.
答 真数条件より,
$x > 0$ かつ $x-8 > 0\ \ \therefore x > 8\ \ \ \cdots$ ①
この条件の下で与式を変形して, \[\begin{align*} \log_3 x(x-8)&=2\\[5pt] \therefore x(x-8)&=3^2\\[5pt] x^2-8x-9&=0\\[5pt] (x+1)(x-9)&=0 \end{align*}\] 従って①より,$\underline{\boldsymbol{x=9}}$.
例3 $\log_{\frac13}(x-1)>-1$ を解け.
答 真数条件より,$x-1 > 0\ \ \therefore x > 1\ \ \cdots$ ①
この条件の下で与式を変形して,
\[\begin{align*}
\log_{\frac13}(x-1)& > -1\times\log_{\frac13}\frac13\\[5pt]
\log_{\frac13}(x-1)& > \log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-1}
\end{align*}\]
底の $\dfrac13$ が1より小さいから,不等号の向きが逆転して,
\[\begin{align*}
x-1 & < \left(\frac13\right)^{-1}\\[5pt]
x-1 & < 3\\[5pt]
\therefore x & < 4
\end{align*}\]
従って①とから,$\underline{\boldsymbol{1< x < 4}}$.
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