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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第5章 指数関数・対数関数

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1. 指数の拡張 無料     【ノート
2. 指数関数 無料      【ノート
3. 対数とその性質       【ノート
4. 対数関数          【ノート
5. 常用対数          【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

4.対数関数

4.1 対数関数

 $a > 0,a\neq1$ のとき, \[y=\log_a x\] を,$\boldsymbol{a}$ を底(てい)とする $\boldsymbol{x}$ の対数関数という.

4.2 対数関数のグラフ

例1 $y=\log_2x$

例2 $y=\log_{\frac12}x$

$y=\log_ax$ のグラフ

  • $a>1$ のとき,右上がりの曲線
    $0<a<1$ のとき,右下がりの曲線
  • 点 $(1,0)$ を通る
  • $y$ 軸が漸近線

4.3 対数関数の性質

 対数関数 $y=\log_ax$ のグラフにより,次のことがわかる:

対数関数の性質\begin{array}{cl} [1]&\mbox{定義域:正の実数全体}\\ &\mbox{値 域:実数全体}\\ [2]&a>1\mbox{のとき,単調に増加する}\\ &    (p<q\iff \log_ap<\log_aq)\\ &0<a<1\mbox{のとき,単調に減少する}\\ &   (p<q\iff \log_ap>\log_aq) \end{array}

補足

 [2]により,

\[\log_a p=\log_a q\iff p=q\]

が成り立つ.(対数方程式で利用.)

例1 $\log_5\sqrt{10}$ と $\log_53$ の大小関係は?

 底の5が1より大きく,$\sqrt{10} > 3(=\sqrt 9)$ により, \[\underline{\boldsymbol{\log_5\sqrt{10} > \log_5 3}}\]

例2 $\log_3x+\log_3(x-8)=2$ を解け.

 真数条件より,

$x > 0$ かつ $x-8 > 0\ \ \therefore x > 8\ \ \ \cdots$ ①

 この条件の下で与式を変形して, \[\begin{align*} \log_3 x(x-8)&=2\\[5pt] \therefore x(x-8)&=3^2\\[5pt] x^2-8x-9&=0\\[5pt] (x+1)(x-9)&=0 \end{align*}\]  従って①より,$\underline{\boldsymbol{x=9}}$.

例3 $\log_{\frac13}(x-1)>-1$ を解け.

 真数条件より,$x-1 > 0\ \ \therefore x > 1\ \ \cdots$ ①
 この条件の下で与式を変形して, \[\begin{align*} \log_{\frac13}(x-1)& > -1\times\log_{\frac13}\frac13\\[5pt] \log_{\frac13}(x-1)& > \log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-1} \end{align*}\]  底の $\dfrac13$ が1より小さいから,不等号の向きが逆転して, \[\begin{align*} x-1 & < \left(\frac13\right)^{-1}\\[5pt] x-1 & < 3\\[5pt] \therefore x & < 4 \end{align*}\]  従って①とから,$\underline{\boldsymbol{1< x < 4}}$.


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数学Ⅱ 第5章 指数関数・対数関数

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1. 指数の拡張 無料     【ノート
2. 指数関数 無料      【ノート
3. 対数とその性質       【ノート
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5. 常用対数          【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.