高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第5章 指数関数・対数関数
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4．対数関数
4.1 対数関数
$a > 0，a\neq1$ のとき， \[y=\log_a x\] を，$\boldsymbol{a}$ を底(てい)とする $\boldsymbol{x}$ の対数関数という．
4.2 対数関数のグラフ
例1 $y=\log_2x$
例2 $y=\log_{\frac12}x$
$y=\log_ax$ のグラフ
- $a>1$ のとき，右上がりの曲線
$0<a<1$ のとき，右下がりの曲線 - 点 $(1,0)$ を通る
- $y$ 軸が漸近線
4.3 対数関数の性質
対数関数 $y=\log_ax$ のグラフにより，次のことがわかる：
対数関数の性質\begin{array}{cl} [1]&\mbox{定義域：正の実数全体}\\ &\mbox{値 域：実数全体}\\ [2]&a>1\mbox{のとき，単調に増加する}\\ & (p<q\iff \log_ap<\log_aq)\\ &0<a<1\mbox{のとき，単調に減少する}\\ & (p<q\iff \log_ap>\log_aq) \end{array}
補足
[2]により，
が成り立つ．（対数方程式で利用．）
例1 $\log_5\sqrt{10}$ と $\log_53$ の大小関係は？
答 底の5が1より大きく，$\sqrt{10} > 3(=\sqrt 9)$ により， \[\underline{\boldsymbol{\log_5\sqrt{10} > \log_5 3}}\]
例2 $\log_3x+\log_3(x-8)=2$ を解け．
答 真数条件より，
$x > 0$ かつ $x-8 > 0\ \ \therefore x > 8\ \ \ \cdots$ ①
この条件の下で与式を変形して， \[\begin{align*} \log_3 x(x-8)&=2\\[5pt] \therefore x(x-8)&=3^2\\[5pt] x^2-8x-9&=0\\[5pt] (x+1)(x-9)&=0 \end{align*}\] 従って①より，$\underline{\boldsymbol{x=9}}$．
例3 $\log_{\frac13}(x-1)>-1$ を解け．
答 真数条件より，$x-1 > 0\ \ \therefore x > 1\ \ \cdots$ ①
この条件の下で与式を変形して，
\[\begin{align*}
\log_{\frac13}(x-1)& > -1\times\log_{\frac13}\frac13\\[5pt]
\log_{\frac13}(x-1)& > \log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-1}
\end{align*}\]
底の $\dfrac13$ が1より小さいから，不等号の向きが逆転して，
\[\begin{align*}
x-1 & < \left(\frac13\right)^{-1}\\[5pt]
x-1 & < 3\\[5pt]
\therefore x & < 4
\end{align*}\]
従って①とから，$\underline{\boldsymbol{1< x < 4}}$．
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