高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第5章 指数関数・対数関数
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5．常用対数
5.1 常用対数とは
10を底とする対数を常用対数という。
5.2 常用対数の応用1（桁数）
例えば，2桁の自然数 $n$ $(10\leqq n<100)$ は常用対数をとると，$1\leqq\log_{10}n<2$ となる：
例題 $5^{30}$ の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$ とする．
答
\[\begin{align*} \log_{10}5^{30}&=30\log_{10}5\\[5pt] &=30\log_{10}\frac{10}2\\[5pt] &=30(\log_{10}10-\log_{10}2)\\[5pt] &=30(1-0.3010)\\[5pt] &=20.97 \end{align*}\] よって， \[20\leqq \log_{10}5^{30} < 21\] \[\therefore \log_{10}10^{20}\leqq \log_{10}5^{30} < \log_{10}10^{21}\] 底の10は1より大きいから， \[10^{20}\leqq 5^{30} < 10^{21}\] よって $5^{30}$ は21桁の数．
5.3 常用対数の応用2（小数第 $n$ 位）
例えば，小数第2位に初めて0以外の数が現れる数 $p$ $(0.01\leqq p<0.1)$ は，常用対数をとると，$-2\leqq \log_{10}p<-1$ となる：
例題 $0.5^{10}$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか．ただし，$\log_{10}2=0.3010$ とする．
答
$0.5=\dfrac12=2^{-1}$ より，$\log_{10}0.5=\log_{10}2^{-1}=-\log_{10}2$ となるから， \[\begin{align*} \log_{10}0.5^{10}&=10\log_{10}0.5\\[5pt] &=10\times(-\log_{10}2)\\[5pt] &=-3.010 \end{align*}\] よって， \[-4\leqq\log_{10}0.5^{10} < -3\] \[\log_{10}10^{-4}\leqq\log_{10}0.5^{10} < \log_{10}10^{-3}\] 底の10が1より大きいから， \[10^{-4}\leqq 0.5^{10} < 10^{-3}\] よって $0.5^{20}$ は 小数第4位 に初めて0以外の数が現れる．
5.4 常用対数の応用3（最高位の数）
例題 $5^{30}$ の最高位の数を求めよ．ただし，$\log_{10}3=0.4771$ とする．
答
5.2節の例の結果から，$5^{30}$ が21桁の数であることがわかったので，その最高位の数を $a(=1,2,\cdots,9)$ とすると，
\[a\times10^{20}\leqq 5^{30} < (a+1)\times10^{20}\]
と表せる．各辺の常用対数をとると，
\[\log_{10}a+20\leqq \log_{10}5^{30} < \log_{10}(a+1)+20\]
中辺の $\log_{10}5^{30}$ は $20.97$ であったから，
\[\log_{10}a+20\leqq 20.97 < \log_{10}(a+1)+20\]
各辺から20を引くと，
\[\log_{10}a\leqq 0.97 < \log_{10}(a+1)\]
ここで，$\log_{10}9=2\log_{10}3=0.9542$，$\log_{10}(9+1)=1$ であるから，$a=9$．
よって，$5^{30}$ の最高位の数は 9 ．
5.5 常用対数の応用4（小数第 $n$ 位の数）
例題 $0.5^{10}$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか．またその数字を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$ とする．
[以下，小数第4位で初めて0でない数字が現れることが，第5.3節でやったようにしてわかったという前提で，それ以降を記す．]
答
小数第4位の数を $a(=1,2,\cdots,9)$ とすると，
\[a\times10^{-4}\leqq 0.5^{10} < (a+1)\times10^{-4}\]
各辺の常用対数をとると，
\[\log_{10}a-4\leqq \log_{10}0.5^{10} < \log_{10}(a+1)-4\]
5.3節において，中辺の $\log_{10}0.5^{10}$ は $-3.010$ であるとわかったから，
\[\log_{10}a-4\leqq -3.010 < \log_{10}(a+1)-4\]
各辺に4を加えて，
\[\log_{10}a\leqq 0.99 < \log_{10}(a+1)\]
ここで，$\log_{10}9=2\log_{10}3=0.9542$，$\log_{10}(9+1)=1$ であるから，$a=9$．
よって，$0.5^{10}$ の小数第4位の数は 9 ．
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