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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第5章 指数関数・対数関数

スライド↓     ノート↓
1. 指数の拡張 無料     【ノート
2. 指数関数 無料      【ノート
3. 対数とその性質       【ノート
4. 対数関数          【ノート
5. 常用対数          【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

5.常用対数

5.1 常用対数とは

 10を底とする対数を常用対数という。

5.2 常用対数の応用1(桁数)

例題 $5^{30}$ の桁数を求めよ.ただし,$\log_{10}2=0.3010$ とする.

\[\begin{align*} \log_{10}5^{30}&=30\log_{10}5\\[5pt] &=30\log_{10}\frac{10}2\\[5pt] &=30(\log_{10}10-\log_{10}2)\\[5pt] &=30(1-0.3010)\\[5pt] &=20.97 \end{align*}\]  よって, \[20\leqq \log_{10}5^{30} < 21\] \[\therefore \log_{10}10^{20}\leqq \log_{10}5^{30} < \log_{10}10^{21}\]  底の10は1より大きいから, \[10^{20}\leqq 5^{30} < 10^{21}\]  よって $5^{30}$ は21桁の数.

5.3 常用対数の応用2(小数第 $n$ 位)

例題 $0.5^{10}$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか.ただし,$\log_{10}2=0.3010$ とする.

 $0.5=\dfrac12=2^{-1}$ より,$\log_{10}0.5=\log_{10}2^{-1}=-\log_{10}2$ となるから, \[\begin{align*} \log_{10}0.5^{10}&=10\log_{10}0.5\\[5pt] &=10\times(-\log_{10}2)\\[5pt] &=-3.010 \end{align*}\]  よって, \[-4\leqq\log_{10}0.5^{10} < -3\] \[\log_{10}10^{-4}\leqq\log_{10}0.5^{10} < \log_{10}10^{-3}\]  底の10が1より大きいから, \[10^{-4}\leqq 0.5^{10} < 10^{-3}\]  よって $0.5^{20}$ は 小数第4位 に初めて0以外の数が現れる.

5.4 常用対数の応用3(最高位の数)

例題 $5^{30}$ の最高位の数を求めよ.ただし,$\log_{10}3=0.4771$ とする.

 5.2節の例の結果から,$5^{30}$ が21桁の数であることがわかったので,その最高位の数を $a(=1,2,\cdots,9)$ とすると, \[a\times10^{20}\leqq 5^{30} < (a+1)\times10^{20}\] と表せる.各辺の常用対数をとると, \[\log_{10}a+20\leqq \log_{10}5^{30} < \log_{10}(a+1)+20\]  中辺の $\log_{10}5^{30}$ は $20.97$ であったから, \[\log_{10}a+20\leqq 20.97 < \log_{10}(a+1)+20\]  各辺から20を引くと, \[\log_{10}a\leqq 0.97 < \log_{10}(a+1)\]  ここで,$\log_{10}9=2\log_{10}3=0.9542$,$\log_{10}(9+1)=1$ であるから,$a=9$.
 よって,$5^{30}$ の最高位の数は 9

5.5 常用対数の応用4(小数第 $n$ 位の数)

例題 $0.5^{10}$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか.またその数字を求めよ.ただし,$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$ とする.
[以下,小数第4位で初めて0でない数字が現れることが,第5.3節でやったようにしてわかったという前提で,それ以降を記す.]

 小数第4位の数を $a(=1,2,\cdots,9)$ とすると, \[a\times10^{-4}\leqq 0.5^{10} < (a+1)\times10^{-4}\]  各辺の常用対数をとると, \[\log_{10}a-4\leqq \log_{10}0.5^{10} < \log_{10}(a+1)-4\]  5.3節において,中辺の $\log_{10}0.5^{10}$ は $-3.010$ であるとわかったから, \[\log_{10}a-4\leqq -3.010 < \log_{10}(a+1)-4\]  各辺に4を加えて, \[\log_{10}a\leqq 0.99 < \log_{10}(a+1)\]  ここで,$\log_{10}9=2\log_{10}3=0.9542$,$\log_{10}(9+1)=1$ であるから,$a=9$.
 よって,$0.5^{10}$ の小数第4位の数は 9


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2. 指数関数 無料      【ノート
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※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.