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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第5章 指数関数・対数関数

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1. 指数の拡張 無料     【ノート
2. 指数関数 無料      【ノート
3. 対数とその性質       【ノート
4. 対数関数          【ノート
5. 常用対数          【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

3.1 対数とは

 $y=2^x$

 $y=2^x$ の単調性により,
  $y=1$ のとき,$x=0$
  $y=2$ のとき,$x=1$
  $y=4$ のとき,$x=2$
  $y=8$ のとき,$x=3$
と $y$ の値に対して,$x$ の値がただ1つ定まる.そこで,「$y=P$ のとき,$P=2^x$ となる $x$ の値」を \[\log_2P\] で表すと, \[\begin{align*} \log_21&=0\\[5pt] \log_22&=1\\[5pt] \log_24&=2\\[5pt] \log_28&=3 \end{align*}\] となる.

 一般に, $a>0,a\neq1,b>0$ のとき,$a^p=b$ を満たす $p$ がただ1つ存在し,これを \[\log_ab\] と書き,$\boldsymbol{a}$ を底(てい)とする $\boldsymbol{b}$ の対数という.また,$b$ を真数という.

対数 $a>0,\ a\neq1,\ b>0$ のとき,\[a^p=b \iff p=\log_ab \]

補足

対数の底や真数となるための条件

 底の条件:正の数であって1ではない
      ($a>0,\ a\neq1$)

 真数条件:正の数
      ($b>0$)

 $\log_3 81=\square \iff 3^\square=81\ \therefore \square=4$

 $\log_2 \dfrac18=\square \iff 2^\square=\dfrac18\ \therefore \square=-3$

例題 $\log_48$ の値を求めよ.

 $\log_48=x$ とおくと, \[\begin{align*} 4^x&=8\\[5pt] (2^2)^x&=2^3\\[5pt] 2^{2x}&=2^3 \end{align*}\]  よって, \[2x=3\ \ \ \therefore x=\underline{\boldsymbol{\frac32}}\]

3.2 対数の性質

 $a>0,\ a\neq1$ のとき, \[a^0=1,\ \ a^1=a,\ ,\ a^{-1}=\frac1a\] により,次が成り立つ:

\[\log_a1=0,\ \log_aa=1,\ \log_a\frac1a=-1\]

対数の性質 $a>0,\ a\neq1$ で,$M,\ N$がともに正の数,$k$が実数のとき,\begin{align*} &[1]\ \log_aMN=\log_aM+\log_aN\\[5pt] &[2]\ \log_a\frac MN=\log_aM-\log_aN\\[5pt] &[3]\ \log_aM^k=k\log_aM \end{align*}

証明のポイント

指数法則を利用するため,
すべて □$^{\mbox{☆}}$ の形に!

 $r=\log_aM,s=\log_aN$ とおくと, \[M=a^r,\ \ N=a^s\] である.

[1] $MN=a^ra^s=a^{r+s}.$
   ($\boldsymbol{a}$ を $\boldsymbol{(r+s)}$ 乗すると $\boldsymbol{MN}$)
  故に, \[\log_aMN=r+s=\log_aM+\log_aN\]

[2] $\dfrac MN=\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}.$
   ($\boldsymbol{a}$ を $\boldsymbol{(r-s)}$ 乗すると $\boldsymbol{\dfrac MN}$)
  故に, \[\log_a\dfrac MN=r-s=\log_aM-\log_aN\]

[3] $M^k=(a^r)^k=a^{kr}.$
   ($\boldsymbol{a}$ を $\boldsymbol{kr}$ 乗すると $\boldsymbol{M^k}$)
  故に, \[\log_a M^k=kr=k\log_aM\]

\[\begin{align*} \log_{10}2+\log_{10}5&=\log_{10}(2\times5)\ \ [\mbox{←性質}1]\\[5pt] &=\log_{10}10\\[5pt] &=\underline{1} \end{align*}\]

\[\begin{align*} \log_2 5-\log_2 40&=\log_2 \frac5{40}\ \ [\mbox{←性質}2]\\[5pt] &=\log_2 \frac18\\[5pt] &=\log_2 2^{-3}\\[5pt] &=\underline{-3} \end{align*}\]

\[\begin{align*} 6\log_5 \sqrt[3]5&=6\log_5 5^{\frac13}\\[5pt] &=6\times \frac13\log_5 5\ \ [\mbox{←性質}3]\\[5pt] &=\underline{2} \end{align*}\]

3.3 底の変換公式

 $a,b,c$ が底の条件(正であって1でない)を満たすとする.
 $\log_ab=p$ とおくと, \[b=a^p\]  この両辺は正であるから,$c$ を底とする対数をとると, \[\begin{align*} \log_cb&=\log_ca^p\\[5pt] \log_cb&=p\times\log_ca\ \ [\mbox{←性質}3] \end{align*}\]  $a\neq1$ より$\log_ca\neq0$ であるから, \[p=\frac{\log_cb}{\log_ca}\]  $p=\log_ab$ であったから置き換えると,次の底の変換公式と呼ばれる等式が得られる:

\[\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\]

 またこの式で,$c$ を $b$ とおくと, \[\log_ab=\frac{\log_bb}{\log_ba}=\frac1{\log_ba}\]

 即ち,底と真数を入れ替えると,その数の逆数と等しくなる.

底の変換公式 $a,\ b,\ c$ が正であって1でないとき(すなわち底の条件を満たすとき),\[\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\] 特に,\[\log_ab=\frac1{\log_ba}\]

\[\begin{align*} &\log_48=\frac{\log_28}{\log_24}=\frac32\\[5pt] &\log_{27}9=\frac{\log_39}{\log_327}=\frac23\\[5pt] &\log_23\!\times\!\log_38\!=\!\log_23\!\times\!\frac{\log_28}{\log_23}\!=\!\log_28\!=\!3 \end{align*}\]

補足

 3番目の例で分かるように,一般に次の関係が成り立つ:

\[\log_ab\times\log_bc=\log_ac\]


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2. 指数関数 無料      【ノート
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