高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第5章 指数関数・対数関数
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1. 指数の拡張 | [無料] | |
2. 指数関数 | [無料] | |
3. 対数とその性質 | [会員] | |
4. 対数関数 | [会員] | |
5. 常用対数 | [会員] |
2.指数関数
2.1 指数関数
$a>0, a\neq1$ のとき,関数 $y=a^x$ を,$\boldsymbol{a}$ を底(てい)とする指数関数 という.
2.2 指数関数のグラフ
例1 $y=2^x$


例2 $\displaystyle y=\left(\frac12\right)^x$


$y=a^x$ のグラフ

$y=a^x$ のグラフの特徴
- $a>1$ のとき,右上がりの曲線
$0<a<1$ のとき,右下がりの曲線 - 点$(0,1)$ を通る
- $x$ 軸が漸近線となる
2.3 指数関数の性質
指数関数 $y=a^x$ のグラフより,次のことがわかる:
指数関数の性質\begin{array}{cl} [1]&\mbox{定義域:実数全体}\\ &\mbox{値 域:正の実数全体}\\ [2]&a>1\mbox{のとき,単調に増加する}\\ & (p<q\iff a^p<a^q)\\ &0<a<1\mbox{のとき,単調に減少する}\\ & (p<q\iff a^p>a^q) \end{array}
補足
[2]により,
が成り立つ.(指数方程式で利用)
例題1 方程式 $2^{x+1}=8$ を解け.
(与式) $\iff 2^{x+1}=2^3$
$\therefore x+1=3$
$\therefore$ $\boldsymbol{\underline{x=2}}$
例題2 不等式 $2^x<8$ を解け.
与式 $\iff 2^x<2^3$
底の2は1より大きいから,
$\underline{\boldsymbol{x<3}}$
例題3 不等式$\displaystyle\left(\frac12\right)^x<\frac18$ を解け.
与式 $\iff \left(\dfrac12\right)^x<\left(\dfrac12\right)^3$
底の $\dfrac12$ は1より小さいから,
$\underline{\boldsymbol{x>3}}$
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