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高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第5章　指数関数・対数関数

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2．指数関数

2.1　指数関数

　$a>0, a\neq1$ のとき，関数 $y=a^x$ を，$\boldsymbol{a}$ を底(てい)とする指数関数 という．

2.2　指数関数のグラフ

例1　$y=2^x$

例2　$\displaystyle y=\left(\frac12\right)^x$

$y=a^x$ のグラフ

$y=a^x$ のグラフの特徴

  • $a>1$ のとき，右上がりの曲線
    $0<a<1$ のとき，右下がりの曲線
  • 点$(0,1)$ を通る
  • $x$ 軸が漸近線となる

2.3　指数関数の性質

指数関数 $y=a^x$ のグラフより，次のことがわかる：

指数関数の性質\begin{array}{cl} [1]&\mbox{定義域：実数全体}\\ &\mbox{値　域：正の実数全体}\\ [2]&a>1\mbox{のとき，単調に増加する}\\ & 　　　(p<q\iff a^p<a^q)\\ &0<a<1\mbox{のとき，単調に減少する}\\ &　　　(p<q\iff a^p>a^q) \end{array}

補足

　[2]により，

\[p=q\iff a^p=a^q\]

が成り立つ．(指数方程式で利用)

例題1　方程式 $2^{x+1}=8$ を解け．

(与式) $\iff 2^{x+1}=2^3$
$\therefore x+1=3$
$\therefore$ $\boldsymbol{\underline{x=2}}$

例題2　不等式 $2^x<8$ を解け．

与式 $\iff 2^x<2^3$

　底の2は1より大きいから，

　　　$\underline{\boldsymbol{x<3}}$

例題3　不等式$\displaystyle\left(\frac12\right)^x<\frac18$ を解け．

与式 $\iff \left(\dfrac12\right)^x<\left(\dfrac12\right)^3$

　底の $\dfrac12$ は1より小さいから，

　　　$\underline{\boldsymbol{x>3}}$

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