2．確率変数の期待値と分散【ノート】
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高校数学[総目次]

数学B　第3章　統計的な推測

2．確率変数の期待値と分散

2.1　確率変数の期待値

確率変数の期待値とは何か

　例えば，さいころを1回投げては出た目を

$$2,\ 5,\ 4,\ 1,\ 4,\ \cdots$$

というように記録することを繰り返す．このとき出た目の平均値は，さいころを振る回数が増えるにつれてどうなるだろうか？

　期待値とはこういった疑問に答えるものである．

　確率変数 $X$ の分布が次のようであるとする．

　このとき，

$$\sum_{k=1}^nx_kp_k=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n$$

を確率変数 $X$ の期待値(expectation)または平均といい，$E(X)$ で表す．

例題　確率変数 $X$ をさいころを1回投げたときに出た目の数とする．$X$ の平均 $E(X)$ を求めよ．

答

　さいころを1回投げたとき，どの目が出る確率も $\dfrac16$ であるから，期待値は

$$\begin{align*} E(X)&=1\cdot\frac16+2\cdot\frac16+3\cdot\frac16+4\cdot\frac16+5\cdot\frac16+6\cdot\frac16\\[5pt] &=\frac{1+2+3+4+5+6}6\\[5pt] &=\frac72=3.5 \end{align*}$$

2.2　確率変数の分散と標準偏差

確率変数の値の散らばり具合を表す分散と標準偏差

　「数学Ⅰ データの分析」でも学習した分散，標準偏差について，確率変数にまで拡張してみよう．

　確率変数 $X$ が次の分布に従うとする：

　確率変数 $X$ の期待値を $m$ とするとき，$X$ の $m$ からの差の2乗 $(X-m)^2$ の期待値

$$E\left((X-m)^2\right)=\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2p_k$$

を，$X$ の分散(variance)といい，$V(X)$ で表す．

　また，$V(X)$ の正の平方根 $\sqrt{V(X)}$ を，$X$ の標準偏差(standard deviation) といい，$\sigma (X)$ で表す．$\sigma$ は英語の s に相当するギリシャ文字で，「シグマ」と読む．因みに $\sigma$ は小文字で，大文字の方は数列のところでお馴染みの $\sum$．

まとめ　分散　　　$\displaystyle V(X)=E((X-m)^2)=\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2p_k$
　標準偏差　$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

例題　確率変数 $X$ をさいころを1回投げたときに出た目の数とする．$X$ の分散 $V(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求めよ．

答

　先程のさいころ1回投げの場合，$X$ の期待値（平均）が $3.5$ であったから，

$$\begin{align*} V(X)&=\sum_{k=1}^6\left(x_k-3.5\right)^2\,p_k\\[5pt] &=\left(1-3.5\right)^2\cdot\frac16+\left(2-3.5\right)^2\cdot\frac16+\cdots+\left(6-3.5\right)^2\cdot\frac16\\[5pt] &=\frac{17.5}6\\[5pt] &=\frac{35}{12}\ \ (=2.9166\cdots)\\[10pt] \sigma(X)&=\sqrt{V(X)}\\[5pt] &=\sqrt{\frac{35}{12}}\\[5pt] &=\frac{\sqrt{105}}6\ \ (=1.7078\cdots) \end{align*}$$

2.3　分散の書き換え

分散の計算を手軽に済ませる書き換え公式

　「数学Ⅰ データの分析」で出てきた分散の書き換えを確率変数 $X$ にまで拡張する．

　まずは簡単のために，確率変数 $X$ のとる値は $x_1, x_2$ の2つとし，$X$ の従う分布が次のようであるとする．

確率変数 $X$ の確率分布

　確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ を $m$ とおくと，

　確率変数 $X$ のとる値が $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$ の $n$ 個の場合も同様で，$X$ の従う分布が次のようであるとする．

$X$ の期待値（平均）を $m$ とおくと，

$$\begin{align*} V(X)&=\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2\,p_k\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n({x_k}^2-2mx_k+m^2)\,p_k\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n{x_k}^2\,p_k-2m\sum_{k=1}^nx_k\,p_k+m^2\sum_{k=1}^np_k\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n{x_k}^2\,p_k-2m\cdot m+m^2\cdot1\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n{x_k}^2\,p_k-m^2\\[5pt] &=E(X^2)-\{E(X)\}^2 \end{align*}$$

分散の書き換え $$V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$$

注意

　分散は大抵の場合，定義通りに計算するよりもこの書き換え公式を使う方が計算が簡単になるが，定義通りの計算の方が手早い場合もごく稀にある．例えば確率変数 $X$ のとる値に2桁の整数が入ってくると，2乗の期待値 $E(X^2)$ の計算がかなりしんどい．

例題　確率変数 $X$ をさいころを1回投げたときに出た目の数とする．$X$ の分散 $V(X)$ を上の書き換え公式から求めよ．

答

$$\begin{align*} E(X^2)&=1^2\cdot\frac16+2^2\cdot\frac16+\cdots6^2\cdot\frac16\\[5pt] &=\frac{1+4+9+16+25+36}6\\[5pt] &=\frac{91}6 \end{align*}$$

　となるから，

$$\begin{align*} V(X)&=E(X^2)-\{E(X)\}^2\\[5pt] &=\frac{91}6-\left(\frac72\right)^2\\[5pt] &=\frac{35}{12}\ \ (=2.9166\cdots) \end{align*}$$

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