高校数学[総目次]

数学B 第3章 確率分布と統計的な推測

  スライド ノート
1. 確率変数と確率分布  
2. 確率変数の期待値と分散  
3. 確率変数の変換  
4. 確率変数の和と期待値  
5. 独立な確率変数と期待値・分散  
6. 二項分布  
7. 正規分布  
8. 母集団と標本  
9. 推定  
10. 仮説検定  

1.確率変数と確率分布

1.1 確率変数とは

 2枚の硬貨を同時に投げたとき,表の面が出た枚数を $X$ とすると,$X$ の値は 0,1,2 のいずれかである.そして,それぞれの値をとる確率 $P$ は次のようになる:

$X$012
$P$$\dfrac14$$\dfrac12$$\dfrac14$1

 この $X$ のように,試行によって値が決まる変数を確率変数(random variable)という.確率変数は $X$ のように通常大文字を用いて表す.

 確率変数と通常の変数との違いは,確率変数には各値に対して背後に確率が1つ対応しているというところである.

 $X=k$ のときの確率を $P(X=k)$ と表す.上の例では,

\[P(X=0)=\frac14,\ P(X=1)=\frac12,\ P(X=2)=\frac14\]

となる.確率であるからこれらの合計は必ず1になる:

\[\begin{align*} P(&X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\[5pt] =\ &\frac14+\frac12+\frac14\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]

 また,

\[\begin{align*} P(X\geqq1)&=P(X=1)+P(X=2)\\[5pt] &=\frac12+\frac14\\[5pt] &=\frac34 \end{align*}\]

といったように,カッコ内に不等式で条件を与えることもできる.

確率変数  試行の結果によって値が決まる変数を確率変数という.確率変数には各値に対して確率が与えられている.

発展的補足

 確率変数について例を用いてやや詳細に説明する.

 例として,さいころ1回投げを考える.しかしここではわかり易くするために,さいころには1から6ではなく,「ア,イ,ウ,エ,オ,カ」の文字が1つずつ書かれているとする.

 この場合の「試行」とは

さいころを1回投げる

である.この試行の結果さいころの目の出方は

ア,イ,ウ,エ,オ,カ

の6通りであり,これら1つ1つを根元事象という.この根元事象の集合を $U$ とする:

$U=\{$ア,イ,ウ,エ,オ,カ$\}$

 次に集合 $U$ の3つの部分集合 $A_1,A_2,A_3$ を次のように定める.

$A_1=\{$ア,イ,ウ$\},\ A_2=\{$エ,オ$\},\ A_3=\{$カ$\}$

 $A_1,A_2,A_3$ はそれぞれさいころを1回投げて「ア,イ,ウの目が出る事象」「エ,オの目が出る事象」「カの目が出る事象」に対応している.このように「集合」と「事象」は同じものとみなすことは既に数学Aで学んだところである.また,

$A_1\cup A_2\cup A_3=U$
$A_1\cap A_2=\emptyset,\ A_2\cap A_3=\emptyset,\ A_3\cap A_1=\emptyset$

であることも注意しておく.

 ここで確率変数 $X$ を導入する.確率変数とは試行の結果によって現れた事象について定まる「」であるから,例えば次のようなものである.

試行の結果が集合 $A_1$ の要素のとき,$X=10$
試行の結果が集合 $A_2$ の要素のとき,$X=20$
試行の結果が集合 $A_3$ の要素のとき,$X=30$

 つまり確率変数 $X$ が取りうる値は $10,20, 30$ の3つである.

 確率変数の背後には確率が対応している.それらは

\[\begin{align*} &P(X=10)=P(A_1)=\frac36=\frac12\\[5pt] &P(X=20)=P(A_2)=\frac26=\frac13\\[5pt] &P(X=10)=P(A_3)=\frac16 \end{align*}\]

であり,

\[\begin{align*} &P(X=10)+P(X=20)+P(X=30)\\[5pt] =\ &P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)\\[5pt] =\ &\frac36+\frac26+\frac16\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]

となっている.$A_1,A_2,A_3$ は排反かつ $A_1\cup A_2\cup A_3=U$ より

\[\begin{align*} &P(X=10)+P(X=20)+P(X=30)\\[5pt] =\ &P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)\\[5pt] =\ &P(A_1\cup A_2\cup A_3)\\[5pt] =\ &P(U)\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]

と計算することもできる.

 今,先に全体集合 $U$ の部分集合 $A_1,A_2,A_3$ を決めたのちに確率変数 $X$ を導入したが,今度は逆に確率変数 $X$ を先に導入することもできる.例えば,$X$ が3つの数 $10,20,30$ をとるとし,

$X=10$ のとき,対応する集合(事象)は $A_1$
$X=20$ のとき,対応する集合(事象)は $A_2$
$X=30$ のとき,対応する集合(事象)は $A_3$

とすればよい.

 以上により,確率変数 $X$ を導入するということは,全事象 $U$ をある特徴,性質等々によって互いに排反な事象 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ に分けることに他ならず,かつそれらが

\[A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n=U\]

となっているのである.

1.2 確率分布

 確率変数 $X$ の値と,そのときの確率との対応関係を確率分布(probability distribution),あるいは単に分布という.前節で例に挙げた2枚の硬貨を同時に投げるときの表の面が出た枚数を表す確率変数 $X$ の分布を再掲すると,次のようになる.

\[P(X=0)=\frac14,\ P(X=1)=\frac12,\ P(X=2)=\frac14\]

 確率分布は次のように表にすると見やすい.

$X$012
$P$$\dfrac14$$\dfrac12$$\dfrac14$1
確率変数 $X$ の確率分布

 また,$X$ がこのような確率になっているとき,$\boldsymbol{X}$ はこの分布に従うという.

確率分布  確率変数 $X$ に対して,それぞれの値のとる確率が \[P(X=x_k)=f(x_k)\] で与えられるとき,$f(x)$ を$X$ の確率分布という.$X$ のとりうる値が $x_1,x_2,\cdots,x_n$ の $n$ 個のとき, \[\begin{align*}  &f(x_k)\geqq0\ \ (k=1,2,\cdots ,n)\\[5pt]  &\sum_{k=1}^nf(x_k)=1 \end{align*}\] が成り立っている.

高校数学[総目次]

数学B 第3章 確率分布と統計的な推測

  スライド ノート
1. 確率変数と確率分布  
2. 確率変数の期待値と分散  
3. 確率変数の変換  
4. 確率変数の和と期待値  
5. 独立な確率変数と期待値・分散  
6. 二項分布  
7. 正規分布  
8. 母集団と標本  
9. 推定  
10. 仮説検定