高校数学[総目次]

数学B　第3章　確率分布と統計的な推測

  スライド ノート
1. 確率変数と確率分布  
2. 確率変数の期待値と分散  
3. 確率変数の変換  
4. 確率変数の和と期待値  
5. 独立な確率変数と期待値・分散  
6. 二項分布  
7. 正規分布  
8. 母集団と標本  
9. 推定  
10. 仮説検定  

1．確率変数と確率分布

1.1　確率変数とは

例　2枚の硬貨を同時に投げたとき，表の面が出た枚数を $X$ とすると，$X$ の値は 0，１，２ のいずれかである．そして，それぞれの値をとる確率 $P$ は次のようになる：

$X$012計
$P$$\dfrac14$$\dfrac12$$\dfrac14$1

　この $X$ のように，試行によって値が決まる変数を確率変数(random variable)という．確率変数は $X$ のように通常大文字を用いて表す．

　確率変数と通常の変数との違いは，確率変数には各値に対して背後に確率が1つ対応しているというところである．

　$X=k$ のときの確率を $P(X=k)$ と表す．上の例では，

\[P(X=0)=\frac14,\ P(X=1)=\frac12,\ P(X=2)=\frac14\]

となる．確率であるからこれらの合計は必ず1になる：

\[\begin{align*} P(&X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\[5pt] =\ &\frac14+\frac12+\frac14\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]

　また，

\[\begin{align*} P(X\geqq1)&=P(X=1)+P(X=2)\\[5pt] &=\frac12+\frac14\\[5pt] &=\frac34 \end{align*}\]

といったように，カッコ内に不等式で条件を与えることもできる．

確率変数 　試行の結果によって値が決まる変数を確率変数という．確率変数には各値に対して確率が与えられている．

発展的補足

　確率変数について例を用いてやや詳細に説明する．

　例として，さいころ1回投げを考える．しかしここではわかり易くするために，さいころには1から6ではなく，「ア，イ，ウ，エ，オ，カ」の文字が1つずつ書かれているとする．

　この場合の「試行」とは

さいころを1回投げる

である．この試行の結果さいころの目の出方は

ア，イ，ウ，エ，オ，カ

の6通りであり，これら1つ1つを根元事象という．この根元事象の集合を $U$ とする：

$U=\{$ア，イ，ウ，エ，オ，カ$\}$

　次に集合 $U$ の3つの部分集合 $A_1,A_2,A_3$ を次のように定める．

$A_1=\{$ア，イ，ウ$\},\ A_2=\{$エ，オ$\},\ A_3=\{$カ$\}$

　$A_1,A_2,A_3$ はそれぞれさいころを1回投げて「ア，イ，ウの目が出る事象」「エ，オの目が出る事象」「カの目が出る事象」に対応している．このように「集合」と「事象」は同じものとみなすことは既に数学Aで学んだところである．また，

$A_1\cup A_2\cup A_3=U$
$A_1\cap A_2=\emptyset,\ A_2\cap A_3=\emptyset,\ A_3\cap A_1=\emptyset$

であることも注意しておく．

　ここで確率変数 $X$ を導入する．確率変数とは試行の結果によって現れた事象について定まる「数」であるから，例えば次のようなものである．

試行の結果が集合 $A_1$ の要素のとき，$X=10$
試行の結果が集合 $A_2$ の要素のとき，$X=20$
試行の結果が集合 $A_3$ の要素のとき，$X=30$

　つまり確率変数 $X$ が取りうる値は $10,20, 30$ の3つである．

　確率変数の背後には確率が対応している．それらは

\[\begin{align*} &P(X=10)=P(A_1)=\frac36=\frac12\\[5pt] &P(X=20)=P(A_2)=\frac26=\frac13\\[5pt] &P(X=10)=P(A_3)=\frac16 \end{align*}\]

であり，

\[\begin{align*} &P(X=10)+P(X=20)+P(X=30)\\[5pt] =\ &P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)\\[5pt] =\ &\frac36+\frac26+\frac16\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]

となっている．$A_1,A_2,A_3$ は排反かつ $A_1\cup A_2\cup A_3=U$ より

\[\begin{align*} &P(X=10)+P(X=20)+P(X=30)\\[5pt] =\ &P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)\\[5pt] =\ &P(A_1\cup A_2\cup A_3)\\[5pt] =\ &P(U)\\[5pt] =\ &1 \end{align*}\]

と計算することもできる．

　今，先に全体集合 $U$ の部分集合 $A_1,A_2,A_3$ を決めたのちに確率変数 $X$ を導入したが，今度は逆に確率変数 $X$ を先に導入することもできる．例えば，$X$ が3つの数 $10,20,30$ をとるとし，

$X=10$ のとき，対応する集合(事象)は $A_1$
$X=20$ のとき，対応する集合(事象)は $A_2$
$X=30$ のとき，対応する集合(事象)は $A_3$

とすればよい．

　以上により，確率変数 $X$ を導入するということは，全事象 $U$ をある特徴，性質等々によって互いに排反な事象 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ に分けることに他ならず，かつそれらが

\[A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n=U\]

となっているのである．

1.2　確率分布

　確率変数 $X$ の値と，そのときの確率との対応関係を確率分布(probability distribution)，あるいは単に分布という．前節で例に挙げた2枚の硬貨を同時に投げるときの表の面が出た枚数を表す確率変数 $X$ の分布を再掲すると，次のようになる．

\[P(X=0)=\frac14,\ P(X=1)=\frac12,\ P(X=2)=\frac14\]

　確率分布は次のように表にすると見やすい．

$X$012計
$P$$\dfrac14$$\dfrac12$$\dfrac14$1
確率変数 $X$ の確率分布

　また，$X$ がこのような確率になっているとき，$\boldsymbol{X}$ はこの分布に従うという．

確率分布 　確率変数 $X$ に対して，それぞれの値のとる確率が \[P(X=x_k)=f(x_k)\] で与えられるとき，$f(x)$ を$X$ の確率分布という．$X$ のとりうる値が $x_1,x_2,\cdots,x_n$ の $n$ 個のとき， \[\begin{align*} 　&f(x_k)\geqq0\ \ (k=1,2,\cdots ,n)\\[5pt] 　&\sum_{k=1}^nf(x_k)=1 \end{align*}\] が成り立っている．

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