高校数学[総目次]
数学B 第3章 統計的な推測
| スライド | ノート | |
| 1. 確率変数と確率分布 | ||
| 2. 確率変数の期待値と分散 | ||
| 3. 確率変数の変換 | ||
| 4. 確率変数の和と期待値 | ||
| 5. 独立な確率変数と期待値・分散 | ||
| 6. 二項分布 | ||
| 7. 正規分布 | ||
| 8. 母集団と標本 | ||
| 9. 推定 | ||
| 10. 仮説検定 |
10．仮説検定
10.1 仮説検定の手順
「数学Ⅰ データの分析」で仮説検定の考え方の基礎は学んだ．ここでは確率分布を用いて確率を計算するタイプを学んでいく．
例 硬貨を100回投げたところ，表の面が62回出た．この硬貨は表の面が出やすいと判断してよいか．
仮説検定の手順
① 主張と反対の仮定を立てる．
② 反対の仮定が正しいものとして，観測された出来事が起こりにくいかどうかを調べる．
③ ②で起こりにくいと判断されれば，その元となった「反対の仮定」が正しくないとする．
④ ③のとき，元の主張は正しいと判断してよい．
説明
① 主張と反対の仮定を立てる．
「表の面が出やすい」という主張したい訳だが，このときこれを否定する仮定，すなわち「表の面が出やすいとはいえない」という仮定を立てる．この仮定を更に「表と裏の出やすさは同じ」と言い換えるのであった．(データの分析 5．仮説検定の考え方参照)
用語
帰無仮説：主張と反対の仮定．
ここでは「表と裏の出やすさは同じ」
これを「無に帰したい」訳である．
対立仮説：主張したい事柄
ここでは「表の面が出やすい」
② 「表と裏のの出やすさは同じ」という仮定から，表の面が出る確率 $p$ を 0.5 とする．そして観測された出来事が起こりにくいという結論を下したい訳だが，「起こりにくい」の基準を例えば確率 0.05 としておく．観測された事象がこの確率以下ならば，起こりにくいと判断するのである．
表の面が出る回数を $X$ とすると，$X$ は二項分布 $B(100,0.5)$ に従う確率変数であり，
期待値$=100\cdot0.5=50$，
標準偏差$=\sqrt{100\cdot0.5(1-0.5)}=5$
であるから，
\[Z=\frac{X-50}5\]
で定める確率変数 $Z$ は近似的に標準正規分布 $N(0,1)$ に従う．
正規分布表によれば
\[P(-1.96\leqq Z\leqq 1.96)\fallingdotseq0.95\]
であるから，
$Z\leqq -1.96,\ 1.96\leqq Z\ \ \cdots$①
であれば，確率0.05以下の滅多に起こらない事柄だということになる．そこで今回観測された結果から $Z$ を計算してみると，$X=62$ であるから
\[Z=\frac{62-50}5=2.4\]
となり，①の範囲に入ってくる．つまり100回投げて62回表の面が出るというのは起こりにくい事柄であると判断する．
用語
有意水準：起こりにくさの基準となる確率．危険率ともいう．
ここでは0.05(すなわち5%)．
棄却域：起こりにくいと判定される確率変数の範囲．
ここでは $Z$ については$Z\leqq -1.96,\ 1.96\leqq Z$
これを「有意水準5%の $Z$ の棄却域」という．
③ ②で起こりにくいと判断されれば，その元となった「反対の仮定」が正しくないとする．
②で起こりにくいと判断されたから，帰無仮説「表と裏の出やすさが同じ」が否定される．
用語
棄却：仮説が正しくないと判断すること．
ここでは帰無仮説「表と裏の出やすさが同じ」が棄却された．
④ ③のとき，元の主張は正しいと判断してよい．
帰無仮説が棄却されたので，対立仮説「表の面が出やすい」が採択される．
注意
手順③で，帰無仮説のもとで，観測された出来事が起こりにくいと判断できないとき，換言すれば観測された出来事が起こることもあり得ると判断されたとき，その元となった帰無仮説の正しさが証明された訳ではない．観測された結果が帰無仮説と矛盾しなかったということがいえるだけである．
10.2 両側検定と片側検定
先の硬貨100回投げの例では，表の面の出方が多すぎても少なすぎても「起こりにくい」と判定するように棄却域を$Z\leqq -1.96, 1.96\leqq Z$ と両側に取った．このような検定を両側検定という．
これに対して棄却域を片側だけに取る場合もあり，これを片側検定という．上の例題を片側検定で考えてみよう．
例 硬貨を100回投げたところ，表の面が62回出た．この硬貨は表の面が出やすいと判断してよいか．有意水準5%で片側検定によって判断せよ．
答
表の面が出る確率を $p$ とする．
帰無仮説：$p=0.5$
対立仮説：$p>0.5$
正規分布表によれば，$P(Z\leqq 1.64)\fallingdotseq 0.5+0.45=0.95$ であるから，確率が上側5% となる $Z$ の範囲は 1.64 以上である．つまり棄却域は $Z\geqq1.64$．
先の計算により $Z=2.4>1.65$．
従って有意水準5% で帰無仮説 $p=0.5$ は棄却されるから，対立仮説 $p>0.5$ が支持される．
つまり表の面が出やすいと判断できる．
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