高校数学ノート[総目次]

数学B 第3章 統計的な推測

  スライド ノート
1. 確率変数と確率分布  
2. 確率変数の期待値と分散  
3. 確率変数の変換  
4. 確率変数の和と期待値  
5. 独立な確率変数と期待値・分散  
6. 二項分布  
7. 正規分布  
8. 母集団と標本  
9. 推定  
10. 仮説検定  

4.確率変数の和と期待値

4.1 同時分布

 確率変数 $X,Y$ について,$X=a$ かつ $Y=b$ である確率を

\[P(X=a,Y=b)\]

と表す.

 2つの確率変数 $X, Y$について,

  $X$ のとる値:$x_1,x_2,\cdots,x_n$ の $n$ 個
  $Y$ のとる値:$y_1,y_2,\cdots,y_m$ の $m$ 個

であるとし,$P(X=x_i,Y=y_j)$ を $p_{ij}$ で表すとき,次の表のようにまとめることができる:

$X\backslash Y$ $y_1\hspace{6mm}y_2\ \ \ \ \cdots\ \ \ y_m$
$x_1$ $p_{11}\hspace{5mm}p_{12}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{1m}$ $p_1$
$x_2$ $p_{21}\hspace{5mm}p_{22}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{2m}$ $p_2$
$\vdots$ $\cdots$ $\vdots$
$x_n$ $p_{n1}\hspace{5mm}p_{n2}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{nm}$ $p_n$
$q_1\hspace{6mm}q_2\ \ \ \ \cdots \ \ \ q_m$ 1

 また,$x_i\ \ (i=1,2,\cdots,n)$ について,$P(X=x_i)$ というのは,上の表で横に足していった合計となる:

\[\begin{align*} P(X=x_i)&=p_{\,i1}+p_{\,i2}+\cdots+p_{\,i\,m}\\[5pt] &=p_i \end{align*}\]

 従って,確率変数 $X$ の分布は次のようになる:

$X$ $x_1\hspace{5mm}x_2\ \ \ \cdots\ \ \ x_n$
$P$ $p_1\hspace{5mm}p_2\ \ \ \cdots \ \ \ p_n$ 1

 同様にして,$y_j\ \ (j=1,2,\cdots,m)$ について,$P(Y=y_j)$ というのは,上の表で縦に足していった合計となる:

\[\begin{align*} P(Y=y_j)&=p_{1j}+p_{2j}+\cdots+p_{nj}\\[5pt] &=q_j \end{align*}\]

 従って,確率変数 $Y$ の分布は次のようになる:

$Y$ $y_1\hspace{5mm}y_2\ \ \ \cdots\ \ \  y_m$
$P$ $q_1\hspace{5mm}q_2\ \ \ \cdots \ \ \ q_m$ 1

 これら $X, Y$ のそれぞれの確率分布を周辺分布という.

例題 赤玉3個と白玉2個の合計5個が入った袋から,Aがまず2個取り出し,玉を元に戻さず,次にBが1個取り出す.AとBが取り出した赤玉の個数をそれぞれ $X, Y$ とするとき,次の各問いに答えよ.
(1) $X$ と $Y$ の同時分布を求めよ.
(2) $X$ の周辺分布を求めよ.
(3) $Y$ の周辺分布を求めよ.

準備

\[\begin{align*} P(X=0)&=\frac{_3{\rm C}_0\times {_2}{\rm C}_2}{_5{\rm C}_2}=\frac1{10}\\[5pt] P(X=1)&=\frac{_3{\rm C}_1\times{_2}{\rm C}_1}{_5{\rm C}_2}=\frac6{10}\\[5pt] P(X=2)&=\frac{_3{\rm C}_2\times{_2}{\rm C}_0}{_5{\rm C}_2}=\frac3{10}\\[5pt] \end{align*}\]

 よって,

\[\begin{align*} P(X=0,Y=0)&=\frac1{10}\times\frac03=0\\[5pt] P(X=0,Y=1)&=\frac1{10}\times\frac33=\frac3{30}\\[5pt] P(X=1,Y=0)&=\frac6{10}\times\frac13=\frac6{30}\\[5pt] P(X=1,Y=1)&=\frac6{10}\times\frac23=\frac{12}{30}\\[5pt] P(X=2,Y=0)&=\frac3{10}\times\frac23=\frac6{30}\\[5pt] P(X=2,Y=1)&=\frac3{10}\times\frac13=\frac3{30}\\[5pt] \end{align*}\]

(1)

$X\backslash Y$ 0 1
0 $0$ $\dfrac3{30}$ $\dfrac1{10}$
1 $\dfrac6{30}$ $\dfrac{12}{30}$ $\dfrac35$
2 $\dfrac6{30}$ $\dfrac3{30}$ $\dfrac3{10}$
$\dfrac25$ $\dfrac35$ $1$

(2)

$X$ 0 1 2
$P$ $\dfrac1{10}$ $\dfrac35$ $\dfrac3{10}$$1$

(3)

$Y$ 0 1
$P$ $\dfrac25$ $\dfrac35$ $1$

4.2 確率変数の和の期待値

 確率変数 $X,Y$ の確率分布が次のようであるとする.

$X$ $x_1$ $x_2$
$P$ $p_1$ $p_2$$1$
$Y$ $y_1$ $y_2$
$P$ $q_1$ $q_2$$1$

 そして,$X,Y$ の同時分布が次のようであるとする.

$X\backslash Y$ $y_1$ $y_2$
$x_1$ $p_{11}$ $p_{12}$$p_1$
$x_2$ $p_{21}$ $p_{22}$$p_2$
$q_1$ $q_2$$1$

 このとき,確率変数 $Z$ を $Z=X+Y$ とすると,

\[Z=x_i+y_j\ \ (i,j=1,2)\]

であり,$Z$ のとる値は

\[x_1+y_1,\ x_1+y_2,\ x_2+y_1,\ x_2+y_2\]

の4つで,確率は上の同時分布表よりそれぞれ

\[p_{11},\hspace{4mm} p_{12},\hspace{4mm} p_{21},\hspace{4mm} p_{22}\]

であるから,$Z$ の期待値は

\[\begin{align*} &E(Z)\\[5pt] &=(x_1+y_1)p_{11}\!+\!(x_1\!+\!y_2)p_{12}\!+\!(x_2\!+\!y_1)p_{21}\!+\!(x_2\!+\!y_2)p_{22}\\[5pt] &=\{x_1(p_{11}\!+\!p_{12})\!+\!x_2(p_{21}\!+\!p_{22})\}\!+\!\{y_1(p_{11}\!+\!p_{21})\!+\!y_2(p_{12}\!+\!p_{22})\}\\[5pt] &=(x_1p_1+x_2p_2)+(y_1q_1+y_2q_2)\\[5pt] &=E(X)+E(Y) \end{align*}\]

よって,$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$,すなわち

「和の期待値=期待値の和」

が成り立つ.これは2つの確率変数について常に成り立つ重要な性質である.また,1節で見たように,$E(aX+b)=aE(X)+b$ であったから,次の2つの式を公式として挙げておく.

確率変数の和の期待値  $a,b$ が定数のとき,確率変数 $X,Y$ について次が成り立つ. \[\begin{align*} &[1]\ \ E(X+Y)=E(X)+E(Y)\\[5pt] &[2]\ \ E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) \end{align*}\]

例題 1円玉2枚と5円玉2枚を同時に投げるとき,表の面が出た硬貨の合計金額を $Z$ 円とする.$Z$ の期待値を求めよ.

 1円玉,5円玉の表が出る枚数をそれぞれ $X,Y$ とすると,$X,Y$ はともに0,1,2 をとる確率変数で,期待値(平均)はそれぞれ

\[\begin{align*} E(X)&=0\cdot\frac14+1\cdot\frac24+2\cdot\frac14=1\\[5pt] E(Y)&=0\cdot\frac14+1\cdot\frac24+2\cdot\frac14=1 \end{align*}\]

となるから,

\[\begin{align*} E(Z)&=E(1X+5Y)\\[5pt] &=1E(X)+5E(Y)\\[5pt] &=1\cdot1+5\cdot1\\[5pt] &=6 \end{align*}\]

補足

 「和の期待値=期待値の和」の公式を使わなければ

\[\begin{align*} E(Z)&=0\cdot\frac1{16}+1\cdot\frac2{16}+2\cdot\frac1{16}\\[5pt] &\hspace{5mm}+5\cdot\frac2{16}+6\cdot\frac4{16}+7\cdot\frac2{16}\\[5pt] &\hspace{10mm}+10\cdot\frac1{16}+11\cdot\frac2{16}+12\cdot\frac1{16}\\[5pt] &=\frac{0+2+2+10+24+14+10+22+12}{16}\\[5pt] &=\frac{96}{16}\\[5pt] &=6 \end{align*}\]

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