高校数学[総目次]
数学B 第3章 統計的な推測
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 確率変数と確率分布 | |||
| 2. 確率変数の期待値と分散 | |||
| 3. 確率変数の変換 | |||
| 4. 確率変数の和と期待値 | |||
| 5. 独立な確率変数と期待値・分散 | |||
| 6. 二項分布 | |||
| 7. 正規分布 | |||
| 8. 母集団と標本 | |||
| 9. 推定 | |||
| 10. 仮説検定 |
6．二項分布
6.1 二項分布とは
まずは例から
1つのさいころを3回投げたとき，2以下の目がでる回数を $X$ とする．
$X=0,\ 1,\ 2,\ 3$ のいずれかであり，これら4通りに対して確率がそれぞれ決まるから，$X$ は確率変数である．
1回の試行において
2以下の目が出る確率： $\dfrac26=\dfrac13$
2以下の目が出ない確率： $1-\dfrac13=\dfrac23$
であるから，$X$ の分布は次のように計算される：
\[\begin{align*}
P(X=0)&=\ {_3\rm C_0}\ \left(\frac23\right)^3\ =\ \frac8{3^3}\\[5pt]
P(X=1)&={_3\rm C_1}\frac13\cdot\left(\frac23\right)^2=\frac{12}{3^3}\\[5pt]
P(X=2)&={_3\rm C_2}\left(\frac13\right)^2\cdot\frac23=\frac6{3^3}\\[5pt]
P(X=3)&=\ {_3\rm C_3}\ \left(\frac13\right)^3\ =\ \frac1{3^3}\\[5pt]
\end{align*}\]
横軸に「2以下の目が出る回数」を，縦軸に対応する確率をとって図示すると，次のようになる：
この例のように，$n$ 回の反復試行で事象Aが起こる回数を表す確率変数 $X$ が従う分布は，次に説明するように二項分布と呼ばれている．
次に一般論
1回の試行で事象 $A$ の起こる確率が $p$ とする．
このとき事象 $A$ が起こらない確率を $q$ とすると，
\[q=1-p\]
である．
この試行を $n$ 回繰り返したとき，事象 $A$ の起こる回数を $X$ とすると，$X$ は確率変数となり，
\[P(X=r)={_n{\rm C}}_r\ p^rq^{n-r}\]
である．
従って確率変数 $X$ の分布は次のようになる．
この確率変数 $X$ が従う分布を二項分布(binomial distribution)といい，
\[B(n,\ p)\]
で表す．
二項分布 1回において事象Aが起こる確率が $p$ である試行を $n$ 回繰り返したとき，事象Aが起こる回数を $X$ とすると，$X$ は確率変数となり，二項分布 $B(n,\ p)$ に従う．
「二項」という用語は二項定理
\[(a+b)^n={_n\rm C}_0\,a^n\!+\!{_n\rm C}_1\,a^{n-1}b\!+\!{_n\rm C}_2\,a^{n-2}b^2\!+\!\cdots\!+\!{_n\rm C}_n\,b^n\]
からきており，この展開項において $a$ を $q$ に，$b$ を $p$ に置き換えると，上の表の確率が現れる．
また，この式の左辺は
\[\begin{align*}
(a+b)^n&=(q+p)^n\\[5pt]
&=\{(1-p)+p\}^n\\[5pt]
&=1^n\\[5pt]
&=1
\end{align*}\]
であるから，確かに確率の合計は1である．
例1 さいころを5回投げるとき，1の目が出る回数を $X$ とすると，$X$ は二項分布 $B\left(5,\dfrac16\right)$ に従う確率変数である．
例2 硬貨を3回投げるとき，表の面が出る回数を $X$ とすると，$X$ は二項分布 $B\left(3,\dfrac12\right)$ に従う確率変数である．
6.2 二項分布の期待値と分散
ある試行で事象 $A$ の起こる確率が $p$ であるとし，この試行を $n$ 回繰り返す．
そして $n$ 回の試行のうちの $k$ 回目に注目して，$k$ 回目で $A$ が起これば 1，起こらなければ 0 をとるような確率変数を $X_k$ としよう．
この $X_k$ の従う分布は次のようになる．
