6．二項分布(ノート)｜スライドで学ぶ高校数学

数学B　第3章　統計的な推測

6．二項分布

　1回の試行で事象 $A$ の起こる確率が $p$ とする．このとき事象 $A$ が起こらない確率を $q$ とすると， $q=1-p$ である．

　この試行を $n$ 回繰り返したとき，事象 $A$ の起こる回数を $X$ とすると，$X$ は確率変数となり，

\[P(X=k)={_n{\rm C}}_k\ p^kq^{n-k}\]

である．従って確率変数 $X$ の分布は次のようになる．

この確率変数 $X$ の従う分布を二項分布(binomial distribution)といい，$B(n,p)$ で表す．

例1　さいころを5回投げるとき，2以下の目が出る回数を $X$ とすると，$X$ は二項分布 $B\left(5,\dfrac13\right)$ に従う確率変数である．

例2　硬貨を3回投げるとき，表の面が出る個数を $X$ とすると，$X$ は二項分布 $B\left(3,\dfrac12\right)$ に従う確率変数である．

　ある試行で事象 $A$ の起こる確率が $p$ であるとし，この試行を $n$ 回繰り返す．$k$ 回目の試行で $A$ が起これば 1，起こらなければ 0 をとる確率変数を $X_k$ とすると，$X_k$ の期待値 $E(X_k)$ は

\[E(X_k)=0\cdot(1-p)+1\cdot p=p\]

である．この試行を $n$ 回繰り返したとき $A$ が起こる回数を $X$ とすると，$X$ の期待値 $E(X)$ は

\[\begin{align*} E(X)&=E(X_1+X_2+\cdots+X_n)\\[5pt] &=E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_n)\\[5pt] &=p+p+\cdots+p\\[5pt] &=np \end{align*}\]

　また，

\[E({X_k}^2)=0^2\cdot (1-p)+1^2\cdot p=p\]

であるから，

\[\begin{align*} V(X_k)&=E({X_k}^2)-\{E(X_k)\}^2\\[5pt] &=p-p^2\\[5pt] &=p(1-p) \end{align*}\]

となり，反復試行では各回の試行は独立であるから，確率変数 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ も独立で，

\[\begin{align*} V(X)&=V(X_1+X_2+\cdots+X_n)\\[5pt] &=V(X_1)+V(X_2)+\cdots+V(X_n)\\[5pt] &=np(1-p) \end{align*}\]

が成り立つ．

まとめ　確率変数 $X$ が二項分布 $B(n,p)$ に従うとき， \[\begin{align*} &E(X)=np\\[5pt] &V(X)=np(1-p)\\[5pt] &\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)} \end{align*}\]

例題　さいころを50回投げて，2以下の目が出た回数を $X$ とするとき，$E(X), V(X)$ を求めよ．

答

　確率変数 $X$ は，二項分布 $B\left(50,\dfrac 13\right)$ に従うから，

\[\begin{align*} E(X)&=50\cdot\frac13=\frac{50}3\\[5pt] V(X)&=50\cdot\frac13\left(1-\frac13\right)=\frac{100}9 \end{align*}\]

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