2．確率変数の期待値と分散(ノート)｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学B　第3章　統計的な推測

2．確率変数の期待値と分散

2.1　確率変数の期待値

　例えば，さいころを1回投げては出た目を

\[2,\ 5,\ 4,\ 1,\ 4,\ \cdots\]

というように記録することを繰り返す．このとき出た目の平均値は，さいころを振る回数が増えるにつれてどうなるだろうか？

　期待値とはこういった疑問に答えるものである．

　確率変数 $X$ の分布が次のようであるとする．

　このとき，

\[\sum_{k=1}^nx_kp_k=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\]

を確率変数 $X$ の期待値(expectation)または平均といい，$E(X)$ で表す．

例題　確率変数 $X$ をさいころを1回投げたときに出た目の数とする．$X$ の平均 $E(X)$ を求めよ．

答

　さいころを1回投げたとき，どの目が出る確率も $\dfrac16$ であるから，期待値は

\[\begin{align*} E(X)&=1\cdot\frac16+2\cdot\frac16+3\cdot\frac16+4\cdot\frac16+5\cdot\frac16+6\cdot\frac16\\[5pt] &=\frac{1+2+3+4+5+6}6\\[5pt] &=\frac72=3.5 \end{align*}\]

例　[宝くじの期待値]

　ジャンボ宝くじの当選確率は概ね次のようになっている．

　　　　　　　　当たる確率
　1等5億円　　　1000万分の1
　前後賞1億円　　500万分の1
　組違賞10万円　10万分の1
　2等5万円　　　10万分の1
　3等1万円　　　1000分の1
　4等3000円　　100分の1
　5等300円　　　10分の1

　当選金額を $X$とすると，$X$ は確率変数で，その期待値 $E(X)$ は

　$E(X)=$5億円×(1千万分の1)+1億円×(500万分の1)$+\cdots+$300円×$\dfrac1{10}$
　　　　$= 50+20+1+0.5+10+30+30=141.5$

となり，理論上は 1枚300円のくじを買うと平均して140円ほど当たることになるが，これは特定のくじの当選金額が大きすぎることによるもので，当然ながら現実はもっと厳しい．例えば100本のくじのうち1本だけが100万円の当たりで，残りの99本はハズレのくじを，100人が1本ずつ引くときの当選金額の期待値は

100万円$\times\dfrac1{100}+0\times\dfrac{99}{100}=$1万円

となって平均的に1万円当たるくじということになるが，実際には当たるのは1人だけで，99人は0円なのであるから，宝くじの場合は期待値と現実との乖離は大きいといえる．

2.2　確率変数の分散と標準偏差

　「数学Ⅰ データの分析」でも学習した分散，標準偏差について，確率変数にまで拡張してみよう．

　確率変数 $X$ が次の分布に従うとする：

　確率変数 $X$ の期待値を $m$ とするとき，$X$ の $m$ からの差の2乗 $(X-m)^2$ の期待値

\[E((X-m)^2)=\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2p_k\]

を，$X$ の分散(variance)といい，$V(X)$ で表す．

　また，$V(X)$ の正の平方根 $\sqrt{V(X)}$ を，$X$ の標準偏差(standard deviation) といい，$\sigma (X)$ で表す．$\sigma$ は英語の s に相当するギリシャ文字で，「シグマ」と読む．因みに $\sigma$ は小文字で，大文字の方は数列のところでお馴染みの $\sum$．

まとめ　分散　　　$\displaystyle V(X)=E((X-m)^2)=\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2p_k$
　標準偏差　$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

例題　確率変数 $X$ をさいころを1回投げたときに出た目の数とする．$X$ の分散 $V(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求めよ．

答

　先程のさいころ1回投げの場合，$X$ の期待値（平均）が $3.5$ であったから，

\[\begin{align*} V(X)&=\sum_{k=1}^6\left(x_k-3.5\right)^2\,p_k\\[5pt] &=\left(1-3.5\right)^2\cdot\frac16+\left(2-3.5\right)^2\cdot\frac16+\cdots+\left(6-3.5\right)^2\cdot\frac16\\[5pt] &=\frac{17.5}6\\[5pt] &=\frac{35}{12}\ \ (=2.9166\cdots)\\[10pt] \sigma(X)&=\sqrt{V(X)}\\[5pt] &=\sqrt{\frac{35}{12}}\\[5pt] &=\frac{\sqrt{105}}6\ \ (=1.7078\cdots) \end{align*}\]

2.3　分散の書き換え

　「数学Ⅰ データの分析」で出てきた分散の書き換えを確率変数 $X$ にまで拡張する．

　確率変数 $X$ の期待値（平均）を $m$ とすると，

\[\begin{align*} V(X)&=\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2\,p_k\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n({x_k}^2-2mx_k+m^2)\,p_k\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n{x_k}^2\,p_k-2m\sum_{k=1}^nx_k\,p_k+m^2\sum_{k=1}^np_k\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n{x_k}^2\,p_k-2m\cdot m+m^2\cdot1\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n{x_k}^2\,p_k-m^2\\[5pt] &=E(X^2)-\{E(X)\}^2 \end{align*}\]

分散の書き換え\[V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\]

例題　確率変数 $X$ をさいころを1回投げたときに出た目の数とする．$X$ の分散 $V(X)$ を上の書き換え公式から求めよ．

答

\[\begin{align*} E(X^2)&=1^2\cdot\frac16+2^2\cdot\frac16+\cdots6^2\cdot\frac16\\[5pt] &=\frac{1+4+9+16+25+36}6\\[5pt] &=\frac{91}6 \end{align*}\]

　となるから，

\[\begin{align*} V(X)&=E(X^2)-\{E(X)\}^2\\[5pt] &=\frac{91}6-\left(\frac72\right)^2\\[5pt] &=\frac{35}{12}\ \ (=2.9166\cdots) \end{align*}\]

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