高校数学[総目次]

数学B 第3章 統計的な推測

  スライド ノート
1. 確率変数と確率分布  
2. 確率変数の期待値と分散  
3. 確率変数の変換  
4. 確率変数の和と期待値  
5. 独立な確率変数と期待値・分散  
6. 二項分布  
7. 正規分布  
8. 母集団と標本  
9. 推定  
10. 仮説検定  

2.確率変数の期待値と分散

2.1 確率変数の期待値

 例えば,さいころを1回投げては出た目を

\[2,\ 5,\ 4,\ 1,\ 4,\ \cdots\]

というように記録することを繰り返す.このとき出た目の平均値は,さいころを振る回数が増えるにつれてどうなるだろうか?

 期待値とはこういった疑問に答えるものである.

 確率変数 $X$ の分布が次のようであるとする.

$X$ $x_1\hspace{5mm}x_2\ \ \ \cdots\ \ \  x_n$
$P$ $p_1\hspace{5mm}p_2\ \ \ \cdots \ \ \ p_n$ 1

 このとき,

\[\sum_{k=1}^nx_kp_k=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\]

を確率変数 $X$ の期待値(expectation)または平均といい,$E(X)$ で表す.

例題 確率変数 $X$ をさいころを1回投げたときに出た目の数とする.$X$ の平均 $E(X)$ を求めよ.

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コラム 宝くじの期待値

 ジャンボ宝くじの当選確率は概ね次のようになっている.

        当たる確率
 1等5億円   1000万分の1
 前後賞1億円  500万分の1
 組違賞10万円 10万分の1
 2等5万円   10万分の1
 3等1万円   1000分の1
 4等3000円  100分の1
 5等300円   10分の1

 当選金額を $X$とすると,$X$ は確率変数で,その期待値 $E(X)$ は

 $E(X)=$5億円×(1千万分の1)+1億円×(500万分の1)$+\cdots+$300円×$\dfrac1{10}$
    $= 50+20+1+0.5+10+30+30=141.5$

となり,理論上は 1枚300円のくじを買うと平均して140円ほど当たることになるが,これは特定のくじの当選金額が大きすぎることによるもので,当然ながら現実はもっと厳しい.例えば100本のくじのうち1本だけが100万円の当たりで,残りの99本はハズレのくじを,100人が1本ずつ引くときの当選金額の期待値は

100万円$\times\dfrac1{100}\!+0$円$\times\dfrac{99}{100}\!=$1万円

となって平均的に1万円当たるくじということになるが,実際には当たるのは1人だけで,99人は0円なのであるから,宝くじの場合は期待値と現実との乖離は大きいといえる.

2.2 確率変数の分散と標準偏差

 「数学Ⅰ データの分析」でも学習した分散,標準偏差について,確率変数にまで拡張してみよう.

 確率変数 $X$ が次の分布に従うとする:

$X$ $x_1\hspace{5mm}x_2\ \ \ \cdots\ \ \  x_n$
$P$ $p_1\hspace{5mm}p_2\ \ \ \cdots \ \ \ p_n$ 1

 確率変数 $X$ の期待値を $m$ とするとき,$X$ の $m$ からの差の2乗 $(X-m)^2$ の期待値

\[E\left((X-m)^2\right)=\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2p_k\]

を,$X$ の分散(variance)といい,$V(X)$ で表す.

 また,$V(X)$ の正の平方根 $\sqrt{V(X)}$ を,$X$ の標準偏差(standard deviation) といい,$\sigma (X)$ で表す.$\sigma$ は英語の s に相当するギリシャ文字で,「シグマ」と読む.因みに $\sigma$ は小文字で,大文字の方は数列のところでお馴染みの $\sum$.

まとめ 分散   $\displaystyle V(X)=E((X-m)^2)=\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2p_k$
 標準偏差 $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

例題 確率変数 $X$ をさいころを1回投げたときに出た目の数とする.$X$ の分散 $V(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求めよ.

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2.3 分散の書き換え

 「数学Ⅰ データの分析」で出てきた分散の書き換えを確率変数 $X$ にまで拡張する.

 まずは簡単のために,確率変数 $X$ のとる値は $x_1, x_2$ の2つとし,$X$ の従う分布が次のようであるとする.

$X$ $x_1\hspace{5mm}x_2 $
$P$ $p_1\hspace{5mm}p_2 $ 1

確率変数 $X$ の確率分布

 確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ を $m$ とおくと,

\[\begin{align*} V(X)&=(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2\\[5pt] &=({x_1}^2-2mx_1+m^2)p_1+({x_2}^2-2mx_2+m^2)p_2\\[5pt] &=({x_1}^2p_1+{x_2}^2p_2)-2m(x_1p_1+x_2p_2)+m^2(p_1+p_2)\\[5pt] &=E(X^2)-2m\cdot m+m^2\cdot1\\[5pt] &=E(X^2)-m^2\\[5pt] &=E(X^2)-\{E(x)\}^2 \end{align*}\]

 確率変数 $X$ のとる値が $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$ の $n$ 個の場合も同様で,$X$ の従う分布が次のようであるとする.

$X$ $x_1\hspace{5mm}x_2\ \ \ \cdots\ \ \  x_n$
$P$ $p_1\hspace{5mm}p_2\ \ \ \cdots \ \ \ p_n$ 1

$X$ の期待値(平均)を $m$ とおくと,

\[\begin{align*} V(X)&=\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2\,p_k\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n({x_k}^2-2mx_k+m^2)\,p_k\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n{x_k}^2\,p_k-2m\sum_{k=1}^nx_k\,p_k+m^2\sum_{k=1}^np_k\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n{x_k}^2\,p_k-2m\cdot m+m^2\cdot1\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n{x_k}^2\,p_k-m^2\\[5pt] &=E(X^2)-\{E(X)\}^2 \end{align*}\]

分散の書き換え\[V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\]

例題 確率変数 $X$ をさいころを1回投げたときに出た目の数とする.$X$ の分散 $V(X)$ を上の書き換え公式から求めよ.

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4. 確率変数の和と期待値  
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6. 二項分布  
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