高校数学[総目次]

数学B　第3章　統計的な推測

  スライド ノート 問題
1. 確率変数と確率分布      
2. 確率変数の期待値と分散      
3. 確率変数の変換      
4. 確率変数の和と期待値      
5. 独立な確率変数と期待値・分散      
6. 二項分布      
7. 正規分布      
8. 母集団と標本      
9. 推定      
10. 仮説検定      

2．確率変数の期待値と分散

2.1　確率変数の期待値

確率変数の期待値とは何か

　例えば，さいころを1回投げては出た目を

\[2,\ 5,\ 4,\ 1,\ 4,\ \cdots\]

というように記録することを繰り返す．

　このとき出た目の平均値は，さいころを振る回数が増えるにつれてどうなるだろうか？

　期待値とはこういった疑問に答えるものである．

　確率変数 $X$ の分布が次のようであるとする．

$X$ $x_1$ $x_2$ $\cdots$ $x_n$ 計
$P$ $p_1$ $p_2$ $\cdots$ $p_n$ 1

　このとき，

\[\sum_{k=1}^nx_kp_k=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\]

を確率変数 $X$ の期待値(expectation)または平均といい，$E(X)$ で表す．

例題　確率変数 $X$ をさいころを1回投げたときに出た目の数とする．$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ．

解答例を表示する

　$X$ は次の分布に従う：

$X$ 1 2 3 4 5 6 計
$P$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ 1

　よって $X$ の期待値 $E(X)$ は

\[\begin{align*} E(X)&=1\cdot\frac16+2\cdot\frac16+3\cdot\frac16+4\cdot\frac16+5\cdot\frac16+6\cdot\frac16\\[5pt]
&=\frac{1+2+3+4+5+6}6\\[5pt]
&=\frac72=3.5 \end{align*}\]

コラム　宝くじの期待値

　ジャンボ宝くじの当選確率は概ね次のようになっている．

　　　　　　　　当たる確率
　1等5億円　　　1000万分の1
　前後賞1億円　　500万分の1
　組違賞10万円　10万分の1
　2等5万円　　　10万分の1
　3等1万円　　　1000分の1
　4等3000円　　100分の1
　5等300円　　　10分の1

　当選金額を $X$とすると，$X$ は確率変数で，その期待値 $E(X)$ は

　$E(X)=$5億円×(1千万分の1)+1億円×(500万分の1)$+\cdots+$300円×$\dfrac1{10}$
　　　　$= 50+20+1+0.5+10+30+30=141.5$

となり，理論上は 1枚300円のくじを買うと平均して140円ほど当たることになるが，これは特定のくじの当選金額が大きすぎることによるもので，当然ながら現実はもっと厳しい．

　例えば100本のくじのうち1本だけが100万円の当たりで，残りの99本はハズレであるくじの期待値は

100万円$\times\dfrac1{100}\!+0$円$\times\dfrac{99}{100}\!=$1万円

となって平均的に1万円当たるくじということになるが，実際には当たるのは1人だけで，99人は0円なのであるから，宝くじの場合は期待値と現実との乖離は大きいといえる．

2.2　確率変数の分散と標準偏差

確率変数の値の散らばり具合を表す分散と標準偏差

　「数学Ⅰ データの分析」でも学習した分散，標準偏差について，確率変数にまで拡張してみよう．

　例として，コインを投げて，表が出れば10円，裏が出れば40円もらえるゲームをするとしよう．

　ただし，このコインはゆがんでいて，表の出る確率が $\dfrac23$，裏の出る確率が $\dfrac13$ であるとする．

　もらえる金額を $X$ とすれば，$X$ は確率変数で，次の分布に従う：

$X$ 10 40 計
$P$ $\dfrac{2}{3}$ $\dfrac{1}{3}$ 1

　このとき，$X$ の期待値 $E(X)$ は

\[E(X)=10\cdot\dfrac23+40\cdot\dfrac13=\dfrac{60}3=20\]

である．

　ここでの私たちの目標は

確率変数 $X$ の散らばり具合

を調べることにある．

偏差の期待値は常に0となる

　試しに，期待値である $20$ からのずれを考えてみよう．

Q．　$Y=X-20$ のとき，$E(Y)$ を求めよ．

※$X-20$ を偏差という．

A．　$Y$ の分布は次のようになる：

$Y$ $-10$ $20$ 計
$P$ $\dfrac{2}{3}$ $\dfrac{1}{3}$ 1

　従って

\begin{align*}
E(Y)&=-10\cdot\dfrac23+20\cdot\dfrac13\\[5pt]
&=0
\end{align*}

　結果が0となってしまった．

　実はいかなる確率変数も，偏差の期待値は常に0となり，散らばり具合を調べる統計量としてふさわしくない。

偏差の期待値が常に0になることの証明はこちら

確率変数 $X$ が次の分布に従うとする：

$X$ $x_1$ $x_2$ $\cdots$ $x_n$ 計
$P$ $p_1$ $p_2$ $\cdots$ $p_n$ 1

このとき，

\[E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\]

であり，この値を $m$ とする．

いま，偏差 $X-m$ の期待値 $E(X-m)$ を計算してみると，

\begin{align*}
E(X-m)&=(x_1-m)p_1+(x_2-m)p_2+\cdots+(x_n-m)p_n\\[5pt]
&=(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)-m(p_1+p_2+\cdots+p_n)\\[5pt]
&=m-m\cdot1\\[5pt]
&=0
\end{align*}

■

(偏差)²の期待値ならどうか

　そこで次に，$(X-20)^2$ の期待値を考えてみよう。これならば，常に非負の値であるから値が0になることは，通常の統計ならまずあるまい．

Q．　$Z=(X-20)^2$ のとき，$E(Z)$ を求めよ．

A．　$Z$ の分布は次のようになる：