高校数学[総目次]
数学B 第3章 統計的な推測
スライド | ノート | |
1. 確率変数と確率分布 | ||
2. 確率変数の期待値と分散 | ||
3. 確率変数の変換 | ||
4. 確率変数の和と期待値 | ||
5. 独立な確率変数と期待値・分散 | ||
6. 二項分布 | ||
7. 正規分布 | ||
8. 母集団と標本 | ||
9. 推定 | ||
10. 仮説検定 |

2.確率変数の期待値と分散
2.1 確率変数の期待値
例えば,さいころを1回投げては出た目を
\[2,\ 5,\ 4,\ 1,\ 4,\ \cdots\]
というように記録することを繰り返す.このとき出た目の平均値は,さいころを振る回数が増えるにつれてどうなるだろうか?
期待値とはこういった疑問に答えるものである.
確率変数 $X$ の分布が次のようであるとする.
$X$ | $x_1\hspace{5mm}x_2\ \ \ \cdots\ \ \ x_n$ | 計 |
$P$ | $p_1\hspace{5mm}p_2\ \ \ \cdots \ \ \ p_n$ | 1 |
このとき,
\[\sum_{k=1}^nx_kp_k=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\]
を確率変数 $X$ の期待値(expectation)または平均といい,$E(X)$ で表す.
例題 確率変数 $X$ をさいころを1回投げたときに出た目の数とする.$X$ の平均 $E(X)$ を求めよ.
答
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例 [宝くじの期待値]
ジャンボ宝くじの当選確率は概ね次のようになっている.
当たる確率
1等5億円 1000万分の1
前後賞1億円 500万分の1
組違賞10万円 10万分の1
2等5万円 10万分の1
3等1万円 1000分の1
4等3000円 100分の1
5等300円 10分の1
当選金額を $X$とすると,$X$ は確率変数で,その期待値 $E(X)$ は
$E(X)=$5億円×(1千万分の1)+1億円×(500万分の1)$+\cdots+$300円×$\dfrac1{10}$
$= 50+20+1+0.5+10+30+30=141.5$
となり,理論上は 1枚300円のくじを買うと平均して140円ほど当たることになるが,これは特定のくじの当選金額が大きすぎることによるもので,当然ながら現実はもっと厳しい.例えば100本のくじのうち,1本だけが100万円で残りの99本はハズレのくじを100人が1本ずつ引くとき,当選金額の期待値は
100万円$\times\dfrac1{100}+0\times\dfrac{99}{100}=$1万円
となって平均的に1万円当たるくじということになるが,実際には当たるのは1人だけで,99人は0円なのであるから,宝くじの場合は期待値と現実との乖離は大きいといえる.

2.2 確率変数の分散と標準偏差
「数学Ⅰ データの分析」でも学習した分散,標準偏差について,確率変数にまで拡張してみよう.
確率変数 $X$ が次の分布に従うとする:
$X$ | $x_1\hspace{5mm}x_2\ \ \ \cdots\ \ \ x_n$ | 計 |
$P$ | $p_1\hspace{5mm}p_2\ \ \ \cdots \ \ \ p_n$ | 1 |
確率変数 $X$ の期待値を $m$ とするとき,$X$ の $m$ からの差の2乗 $(X-m)^2$ の期待値
\[E((X-m)^2)=\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2p_k\]
を,$X$ の分散(variance)といい,$V(X)$ で表す.
また,$V(X)$ の正の平方根 $\sqrt{V(X)}$ を,$X$ の標準偏差(standard deviation) といい,$\sigma (X)$ で表す.$\sigma$ は英語の s に相当するギリシャ文字で,「シグマ」と読む.因みに $\sigma$ は小文字で,大文字の方は数列で和の記号に用いた $\sum$.
まとめ 分散 $\displaystyle V(X)=E((X-m)^2)=\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2p_k$
標準偏差 $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
例題 確率変数 $X$ をさいころを1回投げたときに出た目の数とする.$X$ の分散 $V(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求めよ.
答
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2.3 分散の書き換え
「数学Ⅰ データの分析」で出てきた分散の書き換えを確率変数 $X$ にまで拡張する.
確率変数 $X$ の期待値(平均)を $m$ とすると,
\[\begin{align*} V(X)&=\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2\,p_k\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n({x_k}^2-2mx_k+m^2)\,p_k\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n{x_k}^2\,p_k-2m\sum_{k=1}^nx_k\,p_k+m^2\sum_{k=1}^np_k\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n{x_k}^2\,p_k-2m\cdot m+m^2\cdot1\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n{x_k}^2\,p_k-m^2\\[5pt] &=E(X^2)-\{E(X)\}^2 \end{align*}\]
分散の書き換え\[V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\]
例題 確率変数 $X$ をさいころを1回投げたときに出た目の数とする.$X$ の分散 $V(X)$ を上の書き換え公式から求めよ.
答
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