高校数学[総目次]

数学B　第3章　統計的な推測

  スライド ノート
1. 確率変数と確率分布  
2. 確率変数の期待値と分散  
3. 確率変数の変換  
4. 確率変数の和と期待値  
5. 独立な確率変数と期待値・分散  
6. 二項分布  
7. 正規分布  
8. 母集団と標本  
9. 推定  
10. 仮説検定  

5．独立な確率変数と期待値・分散

5.1　確率変数の独立

確率変数の独立 　2つの確率変数 $X,Y$ について，$X$ のとる任意の値 $a$ と，$Y$ のとる任意の値 $b$ について， \[P(X=a, Y=b)=P(X=a)P(Y=b)\] が成り立つとき，確率変数 $X$ と $Y$ は互いに独立(independent)であるという．

　「互いに」というのは，$X$ は $Y$ から独立し，かつ $Y$ は $X$ から独立しているということである．実際，この式を $P(Y=b)$ で割ると，

\[\frac{P(X=a,Y=b)}{P(Y=b)}=P(X=a)\]

となるが，この左辺は $Y=b$ という条件の下で $X=a$ となる条件付き確率を表すから左辺を書き換えると

\[P_{Y=b}(X=a)=P(X=a)\]

となる．この式は $Y=b$ という条件を付けても $X=a$ となる確率に何の影響を及ぼしていないことを表しており，従って $X$ は $Y$ から「独立」しているといえる．

　一方，今度は両辺を $P(X=a)$ で割ると，

\[\frac{P(X=a,Y=b)}{P(X=a)}=P(Y=b)\]

\[\therefore P_{X=a}(Y=b)=P(Y=b)\]

となって，$Y$ は $X$ から「独立」しているといえる．

　従って $X$ と $Y$ は「互いに」独立しているといえる．

　2つの互いに独立な確率変数 $X,Y$ が，それぞれ次の確率分布に従うとする．

$X$ $x_1$ $x_2$ 計
$P$ $p_1$ $p_2$$1$
$Y$ $y_1$ $y_2$ 計
$P$ $q_1$ $q_2$$1$

　このとき $X$ と $Y$ の同時分布は，$X$ と $Y$ が独立であるから次のようになる．

$X\backslash Y$ $y_1$ $y_2$ 計
$x_1$ $p_1q_1$ $p_1q_2$$p_1$
$x_2$ $p_2q_1$ $p_2q_2$$p_2$
計 $q_1$ $q_2$$1$

　この表からわかるように，$X,Y$ が互いに独立のとき，$X$ と $Y$ の同時分布は周辺分布を知るだけで求められるのである．

5.2　事象の独立と従属

　4つの赤玉と4つの白玉合計8個の玉があり，それぞれの色の玉にはAとBが書かれた玉が2個ずつある．

赤A，赤A，赤B，赤B，白A，白A，白B，白B

　この8個の玉が入った袋からランダムに1個取り出し，玉に書かれた文字を当てるゲームを考えよう。

　今1個取り出したところ，玉の色が赤であった．この玉に書かれた文字がAである確率は，赤玉を取り出す確率が $\dfrac48$，赤玉かつAである確率は $\dfrac28$ であるから，玉の色が赤であるという条件の下，書かれた文字がAである条件付き確率は，

\[\frac{\frac28}{\frac48}=\frac12\]

である．

　一方，袋からランダムに玉を1個取り出したとき，書かれた文字がAである確率は

\[\frac48=\frac12\]

であり，先ほどの確率と同じ値である．つまり「玉の色が赤である」という情報は，玉の文字を当てるのに何の役にも立たない．(取り出された玉の色を教えてもらっても，もらわなくても，玉に書かれた文字を当てる確率は同じ．)

　一般に，2つの事象 $A,B$ について，事象 $A$ が起こる条件の下で事象 $B$ が起こる確率 $P_A(B)$ と，条件を付けずに事象 $B$ が起こる確率 $P(B)$ が等しい，すなわち

$P_A(B)=P(B)\ \ \cdots$①

が成り立つとき，事象 $B$ は事象 $A$ に独立であるという．これは，事象 $A$ が事象 $B$ に何の影響も与えていないということである．

　実はこのとき，逆の「事象 $A$ は事象 $B$ に独立である」もいえる．というのも，確率の乗法定理

\[P(A\cap B)=P(A)P_A(B)\]

に上の①を代入すると

\[P(A\cap B)=P(A)P(B)\]

　$P(B)\neq0$ のとき，この両辺を $P(B)$ で割ると，

\[\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=P(A)\]

\[\therefore P_B(A)=P(A)\]

となるから，事象 $A$ は事象 $B$ に独立である．

　従って，「事象 $A$ は事象 $B$ に独立である」ことと，「事象 $B$ は事象 $A$ に独立である」ことは同値で，このとき

\[P(A\cap B)=P(A)P(B)\]

が成り立つ．

　一方，2つの事象 $A,B$ が独立でないとき，$A$ と $B$ は従属であるという．

独立事象の乗法定理 　　　2つの事象 $A,B$ が互いに独立
　　　$\iff\ P(A\cap B)=P(A)P(B)$

補足

　この関係は $P(A)=0$ や $P(B)=0$ のとき，両辺が共に0となるから，これらの場合にも成り立つ．また，$P(A)=0$ のときは，$P_A(B)=P(B)$ と定義する．$P(B)=0$ のときも同様．つまり空事象はどんな事象とも独立である．

5.3　確率変数の独立と積の期待値

　4節で「和の期待値＝期待値の和」を学んだが、「積の期待値＝期待値の積」すなわち

\[E(XY)=E(X)E(Y)\]

は成り立つのであろうか？

　結論から言うと，この関係は一般には成り立たないが，$X$ と $Y$ がある条件を満たしていれば，上の関係は成り立つのである．そのある条件とは，$X$ と $Y$ は互いに独立であるという条件である．

　それでは2つの確率変数が互いに独立のとき，冒頭で示した「積の期待値＝期待値の積」を示していく．

　独立な2つの確率変数 $X,Y$ がそれぞれ次の確率分布に従うとする．

$X$ $x_1$ $x_2$ 計
$P$ $p_1$ $p_2$$1$
$Y$ $y_1$ $y_2$ 計
$P$ $q_1$ $q_2$$1$

　このとき $X$ と $Y$ の同時分布は，$X$ と $Y$ が独立であるから次のようになる．

$X\backslash Y$ $y_1$ $y_2$ 計
$x_1$ $p_1q_1$ $p_1q_2$$p_1$
$x_2$ $p_2q_1$ $p_2q_2$$p_2$
計 $q_1$ $q_2$$1$

　従って，積の確率変数 $XY$ の期待値(平均)は，

\[\begin{align*} &E(XY)\\[5pt] &=(x_1y_1)(p_1q_1)\!+\!(x_1y_2)(p_1q_2)\!+\!(x_2y_1)(p_2q_1)\!+\!(x_2y_2)(p_2q_2)\\[5pt] &=(x_1p_1+x_2p_2)(y_1q_1+y_2q_2)\\[5pt] &=E(X)E(Y) \end{align*}\]

独立な確率変数の積の期待値 　2つの確率変数 $X,Y$ が互いに独立であるとき， \[E(XY)=E(X)E(Y)\]

　3つ以上の確率変数の独立性も，2つの場合と同様に定義される．例えば，3つの確率変数 $X,Y,Z$ が互いに独立であるとは，

\[P(X=a,Y=b,Z=c)=P(X=a)P(X=b)P(Z=c)\]

が成り立つときをいう．そしてこのとき，積の期待値についても

\[E(XYZ)=E(X)E(Y)E(Z)\]

が成り立つことが，2つの場合と同様にして示される．このように確率変数が互いに独立であるときは，様々な関係が成り立つのである．

発展的補足

　上では簡単のため，$X,Y$ のとる値は2つずつとしたが，一般の場合は次のように示される．

　$X,Y$ が独立のとき，$E(X)=\mu$ (定数)とおくと，

\[\begin{align*} E(XY)&=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n (x_i\,y_j\cdot p_i\,q_j)\\[5pt] &=\sum_{j=1}^n \left\{y_j\,q_j\left(\sum_{i=1}^m x_i\,p_i\right)\right\}\\[5pt] &=\sum_{j=1}^n (y_j\,q_j\cdot \mu)\\[5pt] &=\mu\sum_{j=1}^n y_j\,q_j\\[5pt] &=\mu\cdot E(Y)\\[5pt] &=E(X)E(Y) \end{align*}\]

■

5.4　独立な確率変数の和の分散

　確率変数 $X,Y$ について，$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ はいつでも（つまり独立などの仮定を要件とせずとも)成り立つ関係であったが，分散の方はどうだろう．$V(X+Y)=V(X)+X(Y)$ は成り立つのだろうか？

　実はこれは無条件では成り立たない．しかし $X$ と $Y$ が互いに独立であるならば成り立つのである．

　以下このことを確認する．2つの確率変数 $X,Y$ が互いに独立であるとき，$E(XY)=E(X)E(Y)$ が成り立つから，

\[\begin{align*} &V(X+Y)\\[5pt] &=E((X+Y)^2)-\{E(X+Y)\}^2\\[5pt] &=E(X^2+2XY+Y^2)-\{E(X)+E(Y)\}^2\\[5pt] &=E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2)\\[5pt] &\hspace{10mm}-\bigl[\{E(X)\}^2+2E(X)E(Y)+\{E(Y)\}^2\bigr]\\[5pt] &=\bigl[E(X^2)-\{E(X)\}^2\bigr]+\bigl[E(Y^2)-\{E(Y)\}^2\bigr]\\[5pt] &=V(X)+V(Y) \end{align*}\]

　2つの確率変数 $X,Y$ が互いに独立であるとき， \[V(X+Y)=V(X)+V(Y)\]

　また，$X$ と $Y$ が独立ならば，$a,b$ を定数として $aX$ と $bY$ も独立である．何故なら

\[P(X=x_,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)\]

が成り立つとき，

\[P(aX=ax,bY=by)=P(aX=ax)P(bY=by)\]

は明らかに成り立つからである．従って既出の公式 $V(aX+b)=a^2V(X)$ により次も成り立つ．

　$a,b$ を定数とする．2つの確率変数 $X,Y$ が互いに独立であるとき， \[V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)\]

注意

　$V(X-Y)=V(X)-V(Y)$ とはならない．正しくは上の式から

\[\begin{align*} V(X-Y)&=1^2\cdot V(X)+(-1)^2\cdot V(Y)\\[5pt] &=V(X)+V(Y) \end{align*}\]

例題 　$X,Y$ が互いに独立で，$V(X)=2,V(Y)=3$ のとき， $V(3X-2Y)$ の値を求めよ．

こたえ

　解答例を表示する >

　互いに独立な3つ以上の確率変数 $X,Y,Z$ についても

\[\begin{align*} &V(X+Y+Z)\\[5pt] &=E((X+Y+Z)^2)-\{E(X+Y+Z)\}^2\\[5pt] &=E(X^2\!+\!Y^2\!+\!Z^2\!+\!2XY\!+\!2YZ\!+\!2ZX)-\{E(X)\!+\!E(Y)\!+\!E(Z)\}^2\\[5pt] &=\cdots\\[5pt] &=\bigl[E(X^2)\!-\!\{E(X)\}^2\bigr]\!+\!\bigl[E(Y^2)\!-\!\{E(Y)\}^2\bigr]\!+\!\bigl[E(Z^2)\!-\!\{E(Z)\}^2\bigr]\\[5pt] &=V(X)+V(Y)+V(Z) \end{align*}\]

など，同様の計算によって加法性が成り立つことが示される．また，

\[V(aX+bY+cZ)=a^2V(X)+b^2V(Y)+c^2V(Z)\]

も成り立つ．

発展的補足1

　すぐ上の「$\cdots$」で省略された計算過程で，3つの確率変数 $X,Y,Z$ が互いに独立であるとき，任意に選んだ2つも独立であるという事実を用いた．どれも同じであるから $X$ と $Y$ の2つが独立であることを示す．

\[Z=z_1,z_2,\cdots,z_n\]

とする．$X,Y,Z$ が独立であるから，$X,Y,Z$ がとり得る任意の $x_i,y_j,z_k$ について，

\[P(X\!=\!x_i,Y\!=\!y_j,Z\!=\!z_k)\!=\!P(X\!=\!x_i)P(Y\!=\!y_j)P(Z\!=\!z_k)\]

が成り立つ．いま $i$ と $j$ を固定して，上の両辺を $k$ で和をとると，

\[\sum_{k=1}^n P(X\!=\!x_i,Y\!=\!y_j,Z\!=\!z_k)\!=\!\sum_{k=1}^n\{P(X\!=\!x_i)P(Y\!=\!y_j)P(Z\!=\!z_k)\}\]

となる．

　左辺について．「$X=x_i$ かつ $Y=y_j$ となる事象」を細かく分けて考えると「$Z=z_1$ となる事象，$Z=z_2$ となる事象，$\cdots$，$Z=z_n$ となる事象」の $n$ 個の事象に分けることができ，これらは互いに排反である．左辺はこれらの和事象の確率なので $P(X=x_i,Y=y_j)$ となる．

　一方右辺は，

\[\begin{align*} (\mbox{右辺})&=P(X=x_i)P(Y=y_j)\displaystyle\sum_{k=1}^nP(Z=z_k)\\[5pt] &=P(X=x_i)P(Y=y_j)\cdot 1\\[5pt] &=P(X=x_i)P(Y=y_j) \end{align*}\]

となるから

\[P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)\]

となり，確率変数 $X,Y$ の独立性が示された．

発展的補足2

　上では $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ を導くのに $V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$ の公式を利用したが，定義通り計算して導くと次のようになる．

　$E(X)=m_X,\ E(Y)=m_Y$ とすると，$E(X+Y)=m_X+m_Y$ であるから，

\[\begin{align*} &V(X+Y)\\[5pt] &=E\left[\ \{\,(X+Y)-(m_X+m_Y)\,\}^2\ \right]\\[5pt] &=E\left[\ \{\,(X-m_X)+(Y-m_Y)\,\}^2\ \right]\\[5pt] &=E\left\{\ (\!X\!-m_X)^2\!+\!2(X\!-\!m_X)(Y\!-\!m_Y)\!+\!(Y\!-\!m_Y)^2\ \right\}\\[5pt] &=E\left\{(X\!-\!m_X)^2\right\}\!+\!2E\left\{(X\!-\!m_X)(Y-m_Y)\right\}\!+\!E\left\{(Y\!-\!m_Y)^2\right\}\\[5pt] &=V(X)+V(Y)+2{\rm Cov}(X,Y) \end{align*}\]

　ただし，$E\left\{(X-m_X)(Y-m_Y)\right\}={\rm Cov}(X,Y)$ とおいた．${\rm Cov}(X,Y)$ は確率分布を用いた $X$ と $Y$ の共分散(covariance)であり，「数学Ⅰ データの分析」に出てきた共分散 $s_{xy}$ の一般形である．

　更に $X$ と $Y$ の相関係数 $\rho_{XY}$ を

\[\rho_{XY}=\frac{{\rm Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)}\sqrt{V(Y)}}\]

で定義すると，

\[{\rm Cov}(X,Y)=\rho_{XY}\cdot\sqrt{V(X)}\sqrt{V(Y)}\]

であるから，相関係数 $\rho_{XY}$ が0，すなわち確率変数 $X,Y$ が無相関であるならば，${\rm Cov}(X,Y)=0$ となり，$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ が導かれるのである．

　確率変数 $X,Y$ が無相関のとき， \[V(X+Y)=V(X)+V(Y)\]

　最初に示したときには「$X,Y$ が独立であるとき」という仮定をおいたが，ここでの仮定は「$X,Y$ が無相関のとき」となっていることに注意する．一般に $X,Y$ が独立ならば，$E(XY)=E(X)E(Y)$ より

\[\begin{align*} {\rm Cov}(X,Y)&=E\left\{(X-m_X)(Y-m_Y)\right\}\\[5pt] &=E(X-m_X)E(Y-m_Y)\\[5pt] &=0 \end{align*}\]

となるから「独立 $\Longrightarrow$ 無相関」だが，この逆はいえない．$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ が成り立つのは，「$X,Y$ が独立である」という強い仮定をおかなくても「$X,Y$ が無相関である」という少しゆるめた仮定でも成り立つのである．

　これまでに学習したことをまとめると次のようになる：

まとめ \[\begin{align*} &E(aX+b)=aE(X)+b\\[5pt] &V(aX+b)=a^2V(X)\\[5pt] &E(X+Y)=E(X)+E(Y)\\[5pt] \end{align*}\] 　以下は， $X$ と $Y$ が独立のとき成り立つ． \[\begin{align*} &E(XY)=E(X)E(Y)\\[5pt] &V(X+Y)=V(X)+V(Y)\\[5pt] &V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y) \end{align*}\]

高校数学[総目次]

数学B　第3章　統計的な推測

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1. 確率変数と確率分布  
2. 確率変数の期待値と分散  
3. 確率変数の変換  
4. 確率変数の和と期待値  
5. 独立な確率変数と期待値・分散  
6. 二項分布  
7. 正規分布  
8. 母集団と標本  
9. 推定  
10. 仮説検定