数学C 複素平面
複素数が表す図形【演習問題】

高校数学[総目次]

数学C　第2章　複素平面

	スライド	ノート	問題
1. 複素平面
2. 複素数が表す図形
3. 極形式
4. ド・モアブルの定理
5. 複素数と図形

2．複素数が表す図形

演習問題

解答

(1)
$|z| = |2 + 3\,i| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

(2)
$z \times w = (2 + 3\,i)(4-i) = 8-2\,i + 12\,i-3\,i^2$
　　　$= 8 + 10\,i + 3 = 11 + 10\,i$

$|z \times w| = \sqrt{11^2 + 10^2} = \sqrt{121 + 100} = \sqrt{221}$

(3)
$|w| = |4-i| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$
$|z| \times |w| = \sqrt{13} \times \sqrt{17} = \sqrt{221} = |z \times w|$

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解答

$z\neq-1$ であるから $\dfrac{z + 1}{z-1} \neq0$．
また，$\dfrac{z + 1}{z-1}$ の実部の2倍は，$|z|=1$ より $z\overline{z}=1$ に注意すると，

$$\begin{align*} \dfrac{z + 1}{z-1}+\overline{\left(\dfrac{z + 1}{z-1}\right)}&=\dfrac{z + 1}{z-1}+\dfrac{\overline{z} + 1}{\overline{z}-1}\\[5pt] &=\dfrac{(z+1)(\overline{z}-1)+(\overline{z}+1)(z-1)}{(z-1)(\overline{z}-1)}\\[5pt] &=\frac{(z\overline{z}-z+\overline{z}-1)+(\overline{z}z-\overline{z}+z-1)}{|z-1|^2}\\ &=0 \end{align*}$$

従って，複素数 $\dfrac{z + 1}{z-1}$ は0でなく，かつ実部が0であるから純虚数である．

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