高校数学[総目次]

数学C　第2章　複素平面

  スライド ノート 問題
1. 複素平面      
2. 複素数が表す図形      
3. 極形式      
4. ド・モアブルの定理      
5. 複素数と図形      

2．複素数が表す図形

演習問題

問題１【基本】
複素数 $ z = 2 + 3\,i $，$ w = 4-i $ について，次の各問いに答えよ．
(1) $ |z| $ を求めよ．
(2) $ z \times w $ を計算し，その絶対値 $ |z \times w| $ を求めよ．
(3) $ |z \times w| = |z| \times |w| $ であることを確認せよ．

問題２【基本】
複素数 $ z $ が $ |z| = 1 $ かつ $z\neq\pm1$ を満たすとき，$ \dfrac{z + 1}{z-1} $ が純虚数となることを示せ．

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問題１【基本】

複素数 $ z = 2 + 3\,i $，$ w = 4-i $ について，次の各問いに答えよ．
(1) $ |z| $ を求めよ．
(2) $ z \times w $ を計算し，その絶対値 $ |z \times w| $ を求めよ．
(3) $ |z \times w| = |z| \times |w| $ であることを確認せよ．

解答

(1)
$ |z| = |2 + 3\,i| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $

(2)
$ z \times w = (2 + 3\,i)(4-i) = 8-2\,i + 12\,i-3\,i^2 $
　　　$= 8 + 10\,i + 3 = 11 + 10\,i $

$ |z \times w| = \sqrt{11^2 + 10^2} = \sqrt{121 + 100} = \sqrt{221} $

(3)
$ |w| = |4-i| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} $
$ |z| \times |w| = \sqrt{13} \times \sqrt{17} = \sqrt{221} = |z \times w| $

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問題２【基本】

複素数 $ z $ が $ |z| = 1 $ かつ $z\neq\pm1$ を満たすとき，$ \dfrac{z + 1}{z-1} $ が純虚数となることを示せ．

複素数 $\alpha$ が純虚数であることは，$\alpha$ の実部が0，かつ $\alpha$ 自身が0でないことと同値です．$\alpha$ の実部は $\dfrac{\alpha+\overline{\alpha}}2$ で表されます．

解答