高校数学[総目次]
数学C 第2章 複素平面
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 複素平面 | |||
| 2. 複素数が表す図形 | |||
| 3. 極形式 | |||
| 4. ド・モアブルの定理 | |||
| 5. 複素数と図形 |
演習問題
問題１【発展】
$xy$ 平面の放物線 $y=x^2$ 上の3点P，Q，Rが次の条件をみたしている．
△PQRは一辺の長さ $a$ の正三角形であり，点P，Qを通る直線の傾きは $\sqrt2$ である．
このとき，$a$ の値を求めよ．
(東京大)
東京大学(2004)の問題です．東大では他にも放物線上に3点をとって三角形を考えさせる問題(例えば1982年 ) があります．
もともとは旧課程にあった行列を利用して解く問題でしたが，現行過程では複素平面で扱う極形式を用いて同じことができます．
要するに，ある点を別の点を中心として回転移動させるという操作が必要になってくるのです．
方針自体は単純明快ですが，足腰の強い忍耐力を要する計算が必要です．解答にあるように定数部分をうまく文字で置き換えるなどできればよいのですが，入試本番では恐らくそのような余裕はないでしょう．諦めず，かつ正確に計算が続けられるかがカギとなりそうです．
解答の流れ
- P $(p,\ p^2)$ とおく
- Q の座標を $a$ と $p$ で表す
- Q が $y=x^2$ 上にあることから，$a$ と $p$ の関係を導く（…①）
- 複素平面を用いて，R の座標を $a$ と $p$ で表す
- R が $y=x^2$ 上にあることから，$a$ と $p$ の関係を導く（…②）
- ①と②を連立させて $a$ を導く
解答
直線PQの傾きが $\sqrt2$ であるから，△PQRが正三角形のとき，3点P，Q，Rは図のようにとってよい（補足参照 )．
Pの座標を $(p,\ p^2)$ とする．
\[\begin{align*}
\overrightarrow{\rm{OQ}}&=\overrightarrow{\rm{OP}}+\overrightarrow{\rm{PQ}}\\[5pt]
&=(p,\ p^2)+\left(a\cdot\dfrac1{\sqrt3},\ a\cdot\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\right)\\[5pt]
&=\left(p+\dfrac a{\sqrt3}\ ,\ \ p^2+\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}a\right)
\end{align*}\]
から，Q の座標は