複素数と図形(内分・外分、円、直線のなす角、一直線上・垂直条件)

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数学Ⅲ　第4章　複素平面

	スライド	ノート	問題
1. 複素平面
2. 複素数が表す図形
3. 極形式
4. ド・モアブルの定理
5. 複素数と図形

5. 複素数と図形

5.1　線分の内分点，外分点

　平面ベクトルのときと全く同じ考え方により，複素平面での内分点，外分点は次のように表される：

2点A$(\alpha)$，B$(\beta)$ について，線分ABを \begin{align*} &m:n \mbox{に内分する点}:　\frac{n\alpha+m\beta}{m+n}\\ &m:n \mbox{に外分する点}:　\frac{-n\alpha+m\beta}{m-n} \end{align*}

補足

[ベクトルでは次のようであった．]

　${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$，${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$ について，線分ABを

　　$m:n$ に内分する点の位置ベクトル：$\dfrac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m+n}$
　　$m:n$ に外分する点の位置ベクトル：$\dfrac{-n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m-n}$

5.2　方程式の表す図形

円

　円とは，中心と呼ばれる1点から等しい距離にある点の集合であるから，その方程式は次のように表される：

　点 $\alpha$ を中心とする半径 $r$ の円の方程式 \begin{align*} &|z-\alpha|=r\\ \iff &(z-\alpha)(\overline{z}-\overline{\alpha})=r^2\\ \iff &z\overline{z}-\overline{\alpha}z-\alpha\overline{z}=r^2-|\alpha|^2 \end{align*}